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《排列组合、二项式定理及复数》
第一部分：高考地位浅析及复习设想
蕲春县李时珍中学 王清林
目前正处于高三一轮复习阶段，对于普通高中的学生，一轮复习尤为重要。因此如何加强复习的针对性、怎样提高教学效果是当前值得我们所有高三一线教师深思的问题。复习过程中我们将《排列组合、二项式定理及复数》作为一个专题来组织复习。

一、考纲要求：
最新考纲对本专题所含内容有如下要求：
（1） 理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能利用排列组合解决简单的实际问题。
（2） 能用计数原理证明二项式定理．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
（3） 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，会进行代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

二、考点分析：
下面是本专题内容近三年在部分省份理科高考中的命题情况：
排列组合
二项式定理
复数
2014大纲卷（5）(选)
2014年全国卷（Ⅰ）(13) （填）
2014年湖北卷（1）（选）
2014四川卷（6）(选)
2014年全国卷（Ⅱ）(13) （填）
2014年大纲卷(1) （选）
2014安徽卷（8）(选)
2014年大纲卷(13) （填）
2014年四川卷（11）（填）
2014浙江卷（14填)
2014年安徽卷（13）（填）
2014年重庆卷（1）（选）
2013四川卷（8）（选）
2014年湖北卷（2）（选）
2013年福建卷（1）（选）
2013福建卷（5）（选）
2013年全国卷（Ⅰ）(9) （选）
2013年全国卷（1）（选）
2013北京卷（12）（填）
2013年全国卷（Ⅱ）(5）（选）
2013年湖北卷（1）（选）
2013重庆卷（13）（填）
2013年大纲卷(7) （选）
2013年天津卷（9）（选）
2012大纲卷（11）（选）
2013年安徽卷（11）（填）
2012年大纲卷（1）（选）
2012浙江卷（6）（选）

2012年大纲卷（15）（填）
2012年全国卷（3）（选）
2012辽宁卷（5）（选）
2012年湖北卷（5）（选）
2012年江苏卷（3）(填)
2012山东卷（11）（选）
2012年全国卷（15）（填）
2012年安徽卷（1）（选）
……
……
……

从以上统计信息可以看出：
（1） 高考中本专题的试题几乎年年都有，分值一般为5～10分。多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择或填空题出现。
（2） 排列组合主要考查了利用它和两个计数原理解决实际的计数问题，有时会和概率问题相结合；二项式定理的热点是利用通项公式求展开式的项及系数问题。复数主要是围绕其概念和运算进行考查。
三、复习进度安排：
根据该考点的命题特点，特安排此专题的复习进度如下：
(1) 排列组合分4个课时进行：第一课时主要复习排列的概念及排列数的性质；第二课时复习组合的概念及组合数的性质；第三课时复习排列组合的应用，第四课时总结排列组合问题的常用解题策略。
(2) 二项式定理分3个课时进行：第一课时复习二项展开式和通项；第二课时，复习二项式系数的性质；第三课时，主要复习二项式定理的应用。
(3) 复数分2个课时进行：第一课时复习复数的有关概念及其性质；第二课时复习复数代数形式及加减乘除运算法则。

四、常见题型及其解题策略：
（1）排列组合实际计数问题常用方法有：特殊位置（元素）优先法、相邻捆绑法、相隔插空法、定序问题用除法、分排问题直排法、复杂问题排除法、多元问题分类法、综合问题先选后排法等。
（2）求二项式中特定项及特定项的系数的问题：一般只要准确写出通项公式即可求，注意字母和数字分离开；求展开式的系数和采用赋值法。
（3）复数的代数运算问题：在熟练掌握虚数i和共轭复数等性质的基础上、利用复数的代数形式以代入法即可解题；考查复数的几何意义时要注意数形结合的思想将复数问题实数化、解析化。

五、难点突破策略：
对于排列组合的综合问题和二项式定理的应用这两个难点，可通过精选例题，由学生“自主探究、合作交流、归纳总结”的方法来突破。

六、训练题的选择意图：
高考源于课本而又高于课本，针对这一特点及结合学生对象实际情况，训练题的编写上，以课本为参考，在认真研究近几年各省市高考对该专题内容设置的基础上，依据考纲要求精心设计试题，题量和难度应适中，要反应层次性和选拨性，以充分体现新课标精神。

第二部分：《二项式定理》（第一课时）复习教学设计

说课流程：
教学目标
教学反思
教学过程
教法与学法
教学内容与对象
教学重点与难点

→ → → → →

一、教学内容与教学对象分析：
1、教学内容分析
二项式定理是高中数学选修2-3第一章第三小节的内容，它是初中学习的多项式乘法的继续，掌握好二项式定理可对学生初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用。同时，它也是排列组合的直接应用，还与概率理论中的二项分布有着密切联系，利用二项式定理还可以解决一些比较典型的数学问题，如近似计算、整除问题、不等式的证明等。本节内容虽不多，但贯穿了多种数学方法，尤其对培养学生的发散性思维能力和逆向思维能力等都有很大的帮助。

2、教学对象分析
我校是一所普通高中，学生的基础较薄弱，普遍感到数学难学。虽然学生在高二时通过学习，对本节内容已经有了初步的认识，但大部分同学都对相应的方法细节忘记得差不多了，所以有必要进行系统有效的复习。

二、 教学目标分析：
本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。根据对教学内容和学生对象的分析，我将本节课的教学目标确定如下：
1、知识与技能：
（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。
（2）会运用通项公式求展开式的特定项及特定项的系数。

2、过程与能力：
（1）教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。（2）树立由一般到特殊的解决问题的意识，了解解决问题时运用的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，树立学好数学的信心。有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，让他们有自信在明年的高考中也能得分。

三、重难点分析：
为了更好的完成本节课的教学目标，确定本节课的重难点如下：
重点：（1）理解并掌握二项式定理。
（2）会运用展开式的通项公式求项与系数的问题。
难点：求项与系数的问题。

四、 教法分析与学法指导：
（1）教法：本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用“多媒体引导点拨”的教学方法以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。
（2）学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。

五、教学过程：

教学环节
教学内容与设计
设计说明

基础
知识
回顾
1、 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的 ，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做 ．式中的 叫做二项展开式的 ，用Tr＋1表示，即展开式的第 项；Tr＋1＝ .
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为 .
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 .
(3)字母a按 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从 ，C，一直到C， .

设计意图：①通过对基本知识的回顾、巩固二项式定理通项公式，加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，
②通过这些比较基础的问题，吸引学生的注意力，以便更好地组织教学。
③在比较分析公式的特点，记规律的过程中，教给学生记忆的方法。
④锻炼学生的数学语言表达能力，培养学生的数学品质

典型
例题
解析

典型
例题
解析
例1：求的展开式的第4项的二项式系数和第4项的系数

例2：求二项式的展开式并求展开式中的不含的项？
讲解过程：
设问：①不含的x项是什么样的项？即这一项具有什么性质？ ②问题转化为第几项是常数项，谁能看出哪一项是常数项？
   师生讨论 “看不出哪一项是常数项，怎么办？”
 变式：求展开式中的有理项？

例3：在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．

选题意图：①本题来自课本，体现回归课本，掌握基础知识的新课标理念。
②本题中写展开式的第4项是学生的易错点，通过此题可加深学生对项数的理解：展开式中 Can－rbr 是第r+1项，而不是第r项。
③帮助学生学会区别项的系数与项的二项式系数：在Tr＋1＝Can－rbr中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tr＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如二项式，Tr＋1＝C2n－r·3rxn－ryr，其中C2n－r3r就是Tr＋1项的系数．以此突出本节课重点。

共同探讨思路：先设第 r项为不含x 的项，利用这一项x的指数是零，得到关于r的方程，解出r后，代回通项公式，便可得到常数项。
选题意图：①巩固运用展开式的通项公式求展开式的特定项，形成基本数学技能。
②选择此题作为例2是因为它在解题时运用了多种数学思想方法：判断第几项是常数项运用方程的思想；找到这一项的项数后，实现了转化，体现转化的数学思想。

选题意图：①此题的设计是想增加题目的综合性，解题时先要运用等差数列、组合数等知识求出n后，再化归为前面的问题，从而达到加深知识间的纵横联系，以形成知识网络的目的。②本题考查了系数最大项的求法，有助于本节课重难点的突破。

高考真题训练
①.（2014年湖北，2）若二项式的展开式中的系数是84，则实数=（ ）A.2      B.  C.1    D.
②.（2012年大纲卷，15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________
③. （2013年浙江卷，11）设二项式的常数项为A,则A=______

选题意图：
①这几题都是关于二项展开式的项和系数的问题，紧扣本节重点。
②精选的是本节内容在近几年高考中的考查情况，有利于引起学生的重视。让学生更加贴近高考，适应高考题型。

课堂小结
①．二项式定理：

②. 二项展开式的通项公式：=
③. 应用：求展开式及展开式中的指定项,求二项展开式某一项的二项式系数和系数。

让学生对本节复习课的内容进行小结或者谈自己的心得，教师再给予学生充分的肯定和鼓励，这样有利于更多的学生参与到总结活动中，便于抓住课堂的主体知识板块，也培养他们在学习中的反思习惯，有助于查漏补缺。

作业布置

A. 必做题：1．复习资料《创新设计》P377基础巩固题组
B. 选做题： 在 展开式中，若存在常数项，则的最小值.

通过课后练习，巩固所学知识，熟练掌握本节重点，另外作业设置了一定的梯度，体现层次性和针对性，以满足不同层次学生的需求。

板书设计
二项式定理（一）
一、基础知识回顾：

二、典型例题
例1：
例:2：

例3：

三、高考真题随堂练：
①

②

③
四、小结：

五、作业：

六、教学反思：
这节课的教学目的是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要，还是“使学生掌握二项式定理”重要？我反复斟酌，也听取了备课组老师们的意见，认为如果作为新授课固然前者更重要，但是这是一节复习课，考虑到整体进度及课堂容量等因素，确定后者为本节课教学目标。那么，这就必然导致课堂上学生感到被动，课堂显得呆板、单调。因此，怎样使二项式定理这堂复习课的教学内容既丰富有效而又生动有趣，有待进一步思考，也是我今后教学中应该努力的方向。