扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试卷.doc

江苏省扬州中学高三数学试卷
2013.5.22
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
（第4题）
开始
结束
A1, S1
SS+
AA+ 1
输出S
N
Y
A≤M
1.复数在复平面上对应的点在第 象限．
2.已知集合,则= ．
3.已知直线：和：，则的充要条件是 ．
4.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数的值是 ．
5.若命题“，使得”为假命题，则实数的范围 ．
6.已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为___________．
7.已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为 ．
8.已知奇函数的图像关于直线对称，当时，，则＝ ．
9.若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 ．
10.已知为的外心，若，则等于 ．
11.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为 ．
12.已知成等差数列，点在直线上的射影点为，点，则的最大值为_____ ．
13.对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用符号表示．已知无穷数列满足如下条件：①；②．当时，对任意都有，则的值为 ．
14.已知函数，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点，使得成立，则的最小值为_____________．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.15、16为14分，17、18为15分19、20为16分）
15.己知在锐角ΔABC中，角所对的边分别为，且
（1）求角大小；
（2）当时，求的取值范围．
[来源:Z&xx&k.Com]
[来源:学+科+网]
[来源:学科网ZXXK]
16.如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.
C
A
B
D
P
E
第16题
(1)求证:面；
(2)求证:平面平面.

第17题
A
D
C
B
O
x
y
17．在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为.
(1)试分别求出函数、的表达式；
(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

18．已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示，并求的单调区间；
（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,若线段MP与曲线f(x)有异于M，P的公共点，试确定的取值范围。

20.已知直角的三边长，满足
（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；
（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；
（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.

附加题部分
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
A
B
C
P
O
·
E
D
如图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点，过 点的圆的切线交的延长线于.
求证：.

B．（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线：变为直线，求直线的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.

D.（选修4—5：不等式选讲）
已知均为正数，求证：.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．
（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数，且，使得”的概率；
（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望．

23.记的展开式中，的系数为，的系数为,其中
(1)求
（2）是否存在常数p,q(p四 　2. 3. 4. 4 5. 6. 7.55
8. 9. 10. 11. 12. 13. 或 14.
二、解答题
15.（1）由已知及余弦定理，得 ……………4分
因为为锐角，所以 …………………………………6分

16. （1）证明:设,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以………4分
而,所以面…………………………………………………7分
(2)连接PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以…………10分
而面,面,,所以面…………………………13分
又面,所以面面………………………………………………………14分
17. 解:(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D的坐标为…2分
所以点到的距离为,而,则
……………4分
对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D的坐标为……6分
所以点到的距离为,而,所以…………8分
(2)因为,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值为……………………………………………10分
又,而,所以当时,取得最大值为…………………12分
因为,所以, 故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米……………………………15分
18. 解：（1），，椭圆方程为．…4分
（2），设，则．
直线：，即，……………………………5分
代入椭圆得．…………………………6分
，．
，………………………………………………8分
（定值）．………………………10分
（3）设存在满足条件，则．
，，…………………………13分
则由得 ，从而得．
存在满足条件．…………………………………………………………15分
19. 解：(Ⅰ)依题意,得，由.
从而
令
①当a>1时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x

+
－
+

单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
（2）由得，，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，故M().N()。直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M，P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为
20. 解：（1）是等差数列，∴，即.………2分
所以，的最小值为；……………………………4分
（2）设的公差为，则……5分
设三角形的三边长为，面积，，.………………………………7分
由得， 当时，
，经检验当时，，当时，.………9分
综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4.……………10分
（3）证明：因为成等比数列，.
由于为直角三角形的三边长，知，，………11分
又，得，
于是
.…………12分
，则有.
故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14分
因为 ，
，……………………………………………………15分
由，同理可得，
故对于任意的都有是正整数.………………………………………16分
数学附加题部分
21．A. 证明：连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分
故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC，
故PD2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分
B. 易得……3分, 在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，∴，即……………8分
代入中得,∴直线的方程为…………………10分
C. 解：的方程化为，两边同乘以，得
由,得……………5分
其圆心坐标为，半径,又直线的普通方程为,
∴圆心到直线的距离,∴弦长…………10分
D. 证明:由柯西不等式得…………………5分
则,即……10分
22．解：（1）由数字1,2,3,4组成的五位数共有个数，满足条件的数分为
两类：①只有一个数组成共有4个；②由两个数字组成，共有个，
∴所求的概率为. ……………4分
（2） 的可能取值为2,3,4,5，则，，
，. ………6分
∴的分布为：

2
3
4
5

[来源:Zxxk.Com]
. ……9分
答：的数学期望为． …………10分

考场号_____ 学号_____ 班级___________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
高三数学模拟答题纸
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩

1． 2． 3． 4． 5．

6． 7． 8． 9． 10．

11． 12． 13． 14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．解：

16．解：
C
A
B
D
P
E
第16题

第17题
A
D
C
B
O
x
y
17．解：

18．解：

19．解：

（20题做在反面）

考场号_____ 学号_____ 班级___________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
数学Ⅱ(附加题)
A
B
C
P
O
·
E
D
21A．[选修4 - 1：几何证明选讲]
解：

21B．[选修4 - 2：矩阵与变换]
解：

21C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]
解：

21D．[选修4 - 5：不等式选讲]
解：

22．解：

23．解：

17