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把握数学课堂教学中的“度”赵绪昌【专题名称】初中数学教与学【专 题 号】G352【复印期号】2010年08期【原文出处】中小学教师培训(长春)2010年2期第5255页【作者简介】赵绪昌，中学特级教师，四川省学术和技术带头人，苏步青数学教育奖和国务院政府特殊津贴获得者，四川省宣汉县中小学教学研究室(636150)。【关 键 词】EEUU凡事应有“度”，教学也不例外。这里的“度”是指一定事物保持自己质的数量界限，在这个界限内，量的增减不改变事物的质，超出界限，就要引起质变。控制论中的“度”是指控制者按其需要与目的，限制某种事物变化、活动的范围和程度，超出限制以外的范围和程度为“失控”，失控就达不到控制者的需要与目的。教学控制论认为，教学系统是一个可控制的系统，只有对教学系统施行有效的调控，使教师、学生和知识这三个子系统相“匹配”且协调一致，才能提高教学效益。下面就把握数学课堂教学中的“度”谈点粗浅的看法和体会，以期与同行交流、切磋。一、把握时度学习效率的高低与学习过程中大脑兴奋持续时间的长短有关，现代教育心理学和统计学的研究证明：学生在课堂思维活动的水平是随时间而变化的，学生在课堂教学活动中思维集中程度S与时间t的变化关系如图1所示。图1学生在课堂活动中思维集中程度与时间变化的关系这一曲线表明，在课堂教学开始的10分钟内，学生的思维逐渐集中，在这一段时间内，要增强输入信息的强度，唤起学生的学习兴趣和学习动机。在1030分钟内，思维处于最佳活动状态，在这一段时间内，输入信息的强度可以有所下降，对比较抽象的概念、理论等知识能够较好地掌握；在3045分钟内，思维活动水平逐渐下降，输入信息的强度应有所增强，以减少学生因大脑疲劳而引起的注意力分散。最好的方法是用多种感官进行学习，组织讨论，全班交流，习题检测，等等。这些方法可降低大脑皮层的疲劳程度，相对延长最佳思维时间，提高学习效率。课堂教学中，在课题的引入时、遇到重点难点时、迷惑混沌时、一题多解时、概括归纳时、深化拓展时、反思小结时，教师要引导学生质疑问难，组织学生讨论交流，便可牵一发而动全身，起到事半功倍的效果。如，在学习利用“AAS”判定三角形全等时，为了进一步巩固“AAS”的判定方法，一位教师设置了以下问题：“你知道在两个三角形中有两个角、一条边相等的两个三角形一定全等吗?为什么?”让笔者始料不及的是几乎全班学生都肯定是“全等”。一位学生还慷慨陈词：“因为已经告诉我们有两个角相等，根据三角形的内角和为180埃硗庖桓鼋强隙蚕嗟龋偌由匣褂幸惶醣呦嗟龋谩瓵SA或AAS总能判定它们全等!”几个学生还添油加醋：“对，讲得完全有道理，我同意!”怎么办?此时此刻，这位教师并不是直接把正确答案告诉学生，而是组织学生分组讨论、交流，学生发现这个问题与书本的判定方法有区别：这个问题中没有“对应”两个字，判定方法中有“对应”两个字，这时，笔者听到学生在嘀咕：“对应两个字写与不写有什么区别?”这时，这位教师因势利导：你们是怎样理解“对应”这个词的?教室里顿时一片安静，大多数学生拿起笔试着用画图来帮助理解。过了许久，有学生回答：“对应相等是指相等角所对的边相等，相等的边所对的角也必须相等!”于是教师追问：“没有对应两个字会怎样?”这时，学生面面相觑，有学生画出了图2并指着其中的右图说：“不对啦，没有对应两字，虽然两个三角形的三个内角都相等，那就可以用45八缘谋連C与55八缘谋逥F相等，这样就不会全等了!”当学生出现的知识错误具有典型性时，老师不是急于做出评价，而是组织学生讨论、交流，充分暴露学生错误的思维过程，将错就错，巧妙地和用学生的错误答案，引导他们进行验证，让他们自己发现矛盾，解决问题，加深理解。图2用“AAS”判定三角形全等图例思考问题必须有一定的时间，这可以说是人人皆知的常识。但就本人所见，时下有相当数量的教师在课堂提问中没有注意到这一点，为此，教师应该有两个最重要的等待时间，“第一等待时”是指教师提出一个问题后，要等待足够的时间，不能马上重复问题或指定学生回答；“第二等待时”是指学生回答问题后，教师也要等待足够的一段时间，才能评价学生的答案或提出另一个问题。在课堂教学中，当数学问题有多种解法需要择优时，当学生理解某个数学问题有偏差需要纠正时，当学生对某个数学问题难以即时解决需要新信息时，当教师难以即时评价需要充分思考时等，教师应当“延时评价”，给学生提供一个充分自由思考的时间，让他们畅所欲言、相互启发。面对学生丰富多彩的答案，教师一方面允许有不同的想法，另一方面，也要引导学生作理性选择，使其观点具有可行性和逻辑性。这样，摒弃单一“即时评价”中赞赏多于引导、情境多于过程、封闭多于开放等诸多弊端，学生个性思维得到充分展示，使学生喜欢数学，主动地探究数学，培养思维能力。如，学习完“一元二次方程”后，一位教师在第一节复习课上出示了这样一道练习题：已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。当时有一部分学生这样认为，因为方程有两个不相等的实数根，所以必须满足，即，解得k-1/4。听完学生的分析，这位教师不是马上否定学生的回答，并给出正确答案，而是请同学们发表自己的看法。一位同学提出，由题意可知此方程是一元二次方程，故还须保证二次项系数3k+10，即k-1/3，故本题k的取值范围为k-1/4且k-1/3。这时教师看了同学们的反应，好多学生都为他投去了赞许的目光。这时班上有学生马上站起来发表自己的看法，认为刚才这位同学的分析是对的，但最后的结论是错误的，因为k-1/3不在k-1/4的范围内，因此k的取值范围为k-1/4。教师立即表示有道理，这时课堂的气氛开始活跃起来，趁机教师又问，还有不同意见吗?过了不一会，教室里传来了几位同学的声音：丢了k0这个条件。教师立即加以肯定，于是教师请其中一位学生发言，学生经过深思后说：k的取值范围应同时满足：k-1/4且k-1/3且k0。故本题k的取值范围为k0。这样紧扣学生可能产生的困惑，利用“延时评价”，通过一波三折的过程，将易错、易混的知识通过学生的积极参与分析得一清二楚，也使学生从更高层次上深化了对基础知识的理解。二、把握难(深)度心理学认为，人的认知水平可划分为三个层次：“已知区”“最近发展区”和“未知区”。人的认知水平就是在“已知区”“最近发展区”和“未知区”间循环往复，不断变化，螺旋式上升。因而需要针对学生的实际认知水平和思维能力进行教学，不宜停留在“已知区”与“未知区”，也就是教学内容不能太易也不能太难。如果问题太易，则激不起学生的兴趣，浪费课堂时间；太难则会使学生失去学习信心，不仅无法使学生保持持久的探索心理，反而使教学内容失去价值。所以，难易适度的教学内容，有助于原有认知结构的巩固，也便于将新知识同化，使认知结构更加完美，并最终使学生认知结构中的“最近发展区”上升为“已知区”。中学数学教材体系是依据数学知识和中学生的心理特点编制而成的，数学课标和教材对某一知识点的难度和深度都给出了明确的要求，教师在教学时，必须紧紧依据课标、教材和学生的认知水平，把握好知识的难度和深度，从而避免盲目提高教学要求或随意降低教学要求。如，“二次根式”的教学，根据学生的学习实际和课标教材的要求，在讨论二次根式的被开方数中字母的取值范围时，只限于用在一元一次不等式解决的范围内，不宜扩充到较复杂的情况，同时，对于二次根式的性质，教材中仅考虑了这种情况，对的情形不做考虑。又如，在讲圆的面积公式时，教师只需对“在圆内作内接正多边形”作描述性讲解，而不可在课堂上大讲特讲用极限的方法来推导，否则，不但偏离了教材和课标的要求，而且超越了学生的认识水平；相反，如果把学生的水平估计过高，该讲的不讲，这样也达不到教学目的。同样，课堂设问也要有一定的难度和深度，如果问题缺少应有的难度和深度，就达不到预期的目的，“好不好”“是不是”“对不对”之类的问题，学生无需动脑就可答出，因而设问应重在“为什么”上，这样学生在思考问题时，不仅思路广阔，而且能抓住问题的本质深入下去，从而达到举一反三、触类旁通的效果。当然，也并非问题越深越好，适当的问题表现为：问题一提出，个别或少数学生能答出，经过思考多数能答出，再经过思考大多数甚至全体学生能回答，这类思考性问题的发问点应放在课中具有思维价值的地方。三、把握梯度人类认识事物都是由浅入深、由易到难、由具体到抽象、由感性到理性。因此，在课堂教学中，教师要善于在已知与未知之间架桥、设阶，既不能让学生“坐着吃桃子”坐享其成，也不能“跳起来摘月亮”劳而无获，要以能不能激发学生“跳起来摘到果子”的热情和欲望为标志，了解学生知识基础和智力水平，面向全体学生，精心构建教学结构，设计教学环节，突出教学重点，分化教学难点，梯度的大小做到由平到陡、由低到高、由易到难、由简到繁、由具体到抽象、由感性到理性，拾级而上，循序渐进。梯度过大，学生无法接受，容易产生惧怕心理和厌学情绪；梯度过小，则容易使学生有“轻而易举”之感，造成学生思维肤浅，不善于动脑分析问题，不利于学生求知的意志和品格的培养。如，在进行“一元二次方程根与系数的关系”的教学时，如果让学生求出方程的两根为2和-3，就马上问学生能不能找到一元二次方程根与系数的关系，这样就缺少一定的思维梯度，学生很难想到计算两根之和与两根之积，不能激发学生的思维。若做如下设计：(1)先出示两组方程(分二次项系数为1和不为1的两组)，要求计算出方程的根；(2)然后教师引导学生观察第一组方程(二次项系数为1)，它们的根与一次项系数、常数项之间有什么共同规律?出示方程，让学生用式子表示两根之和与两根之积；(3)再观察第二组方程(二次项系数不为1），启发学生：是否能得到相似的结论?最后师生共同归纳出一般结论。这样设计问题梯度符合学生的接受能力，体现了思维渐进发展的过程，学生发言踊跃，学习情绪高涨，教学效果很好。练习题的编制也要设计梯度：(1)低起点：第一组(道)题要按当堂课的最低要求设计，一般是直接应用概念、定理、公式或模仿例题，基本属于“记忆”的层次；(2)密台阶：从第二组(道)题开始不论在能级上、难度上还是在模式上都要有提高、有深化，要一组(道)一个台阶，使学生每完成一组(道)题后都能有所提高；(3)小坡度：要保证所有学生在教师启发点拨下都能上得去，做到“有坡度无难度”以保证学生的学习水平在整个学习过程中逐步深化和提高。如，在学习勾股定理后设计以下习题：(1)已知一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则第三边长为多少?(2)已知一个直角三角形中，有两边长分别为3和4，则第三边长为多少?(3)已知一个三角形中，有两边长分别为3和4，则第三边长能确定吗?能否用不等式列出第三边长的取值范围?(4)已知一个三角形中，有两边长分别为3和4，且第三边长为整数，第三边长为多少?有了前面的问题作铺垫，学生再进行探究，后面的问题就能水到渠成地得以解决。四、把握量度课堂教学内容的容量大体上可分为“基本性容量”和“发展性容量”两个方面。所谓“基本性容量”是指依据教学课时对教材进行分配的基本知识内容，这是课堂教学必须完成的“基本量”；“发展性容量”是指继教材的基本知识后，适当伸展知识内容、探求知识规律、提高解题技巧、发展学生能力所进行的教学容量，这就是“调控量”。笔者听了一节复习课，课题为“平移”。教师先播放了一个事先做好的短片，让学生回顾了本节的主要内容，包括图形的平移、平移的特征等部分内容(涉及的知识点有10多个)，然后是六道基本练习题(从单个来看，这些都算得上是“好题”)，再接着是四道例题(每道题都有一定的难度，且有二道还各安排了三个变式题)，最后是小结，期间还安排了许多学生活动。课后笔者同师生交流时，大部分学生认为，对这节课最大的感受是教师讲得太快，根本接受不了；多数学生对有的题根本没弄清是怎么回事，甚至连题目都未看完。听课教师一致认为，容量太大。执教教师本人也意识到这一点，但还是认为，复习课容量应大些；造成容量大的另一原因是，备课时找到了一些好题，不愿意舍弃。应当指出的是，复习课适当加大容量，有利于提高复习效率，但并非容量越大越好，其实本节课将基本练习减少到三道，例题减少到两道是比较合理的。课堂教学过程中，学生学习的环境以及学生的情绪制约着他们思维的积极性，教师的启发引导亦对学生的思维起着很大的影响。教师在确定课堂教学知识容量时，除依据课标、教参、教材及学生学习实际确定的“基本量”外，应设置课堂教学知识的“调控量”。当教师的讲解与引导能充分调动学生积极思维，引起思维共鸣，并在较顺利地完成“基本量”后学生还意犹未尽，思维正处于高度活跃状态，同时教学时间也允许的情况下，应适时对知识进行延伸和扩展，使得学生较全面透彻地理解知识，总结其规律，以提高解决问题的能力。在讲授“代数式”一节时，在教师引导下，如学生能顺利完成本节课的内容，则可补充设计实际生活中有关代数式的例题或习题，作为本节课的“调控量”，以加深对代数式的理解和培养学生应用数学的意识。相反，当课堂上学生的思维积极性不高或思维受阻时，教师必须通过积极的引导，使学生理解本节课的基本内容，确保“基本量”的完成，而不应强行延伸。此外，同一节课的知识内容，在教授不同水平的班级时，应根据学生实际调整“调控量”，不可千篇一律。五、把握谐度谐，即课堂教学的和谐。温暖和谐而有鼓励性的教学气氛能够在心理上给学生一种安全感，让学生体会到尊重、理解和信任。课堂教学的和谐度取决于教师的亲和力，即教师在教学中对学生亲近行为的动力、水平和能力。教师亲和力的高低关键取决于教师的人格、责任感、职业心。富有亲和力的教师更多地表现出热情、活力、谦和、真诚、关怀、温暖和移情的能力，教师身上最宝贵、最值得赞美的品质就是理解、尊重和激励学生。一个人成年后回想过去的学生时代，会欣赏那些善于对自己的情绪管理、善于对学生给予移情性理解的优秀教师，更会对那些触动过他们心灵的教师心存感激。教师在教学中，无论是讲授知识，还是对待学生，都应亲切，富有情感。特别是对待差生，更应做到这一点，以此维护他们的自尊心，激励他们的上进心。教师还应细心寻找他们的“闪光点”，从而给予“表扬和鼓励”，使他们感到自己的进步，激发他们的学习动机；即使学生错了，也用委婉的话语指出其不足。当然，表扬、激励、鼓舞都必须有的放矢，不失分寸。相反，教师如果对学生的错误过多地批评、指责，甚至讽刺、挖苦，那么就会使学生失去学习数学的信心，由厌恶数学老师到厌恶数学学科，这不能不说是教学的失败。如，著名数学教育家波利亚非常注意这一点，有时他一眼就看出学生的计算是错误的，但却还是喜欢以温和的态度、亲切的语调、慈祥的目光和学生一行一行地查看：“你一开头做得很好。你的第一行是对的，第二行也是对的，现在关于这一行你是怎么想的?”学生回答问题时，用“你答得很好”“你并不比别人差”“你也许课前忘了复习，若课前看了，我相信你是能够回答的”等等。又如，一位教师在“轴对称图形”一课的教学中，学生判断平行四边形是不是轴对称图形时，出现了如下的争论：生甲：我觉得平行四边形是轴对称图形，因为只要把这个左边的三角形剪下来，拼在右边的这个三角形上面师：挺有道理。生乙：我觉得平行四边形不是轴对称图形。因为把它对折后，两边的图形没有完全重合，所以我认为平行四边形不是轴对称图形。师：(走过去)我想跟你握一下手。握手不是意味着我赞同你的观点，而是因为你，为我们的课堂创造出了两种不同的声音。同学们想一想，要是课堂上只有一种声音，那多单调啊!由于教师不是作简单的肯定或否定评价，而是出于对学生的尊重和激励，用智慧性语言，真诚地呼唤课堂上更多的声音。对于平行四边形是不是轴对称图形，同学们展开了热烈的讨论。生丙：我认为平行四边形(对折后)的两边只是面积相等，而不是轴对称图形。师：你认为剪下来以后，只是面积相等，但图形的性质可能会发生变化。是这个意思吗?生丙：是。生丁：因为那个(对折后剪下来的)三角形移过去以后，不再是平行四边形了，而是一个长方形，所以，我认为平行四边形不是轴对称图形。师：你的意思是说，我们在讨论这个平行四边形的特征，而不是讨论“改装”以后的其他图形的特征。是这个意思吗?生丙：是。师：(回头问生甲)你怎么看?生甲：如果说，就这个平行四边形不裁剪的话，它就不是轴对称图形。师：你的认同，让我们进一步接近了真理。谢谢!由于教师以亲切、富有情感的语言引导学生，让学生保持一种轻松的、没有压力的、愉快的心情学习，学生充分发表意见，讲错了教师也不批评、指责，而是组织学生自由讨论，不仅实现了各学习者个体对知识意义的即时构建，而且学生在自由地变化着、生长着。这样，做到多鼓励，少指责；多正面指导，少板起面孔训人。让学生在学习上有信心，有奔头，有积极性，使他们能“亲其师而信其道”。正如苏霍姆林斯基曾说：“教师的语言是一种什么也代替不了的影响学生心灵的工具。教育的艺术首先包括说话的艺术，同人心交流的艺术。”【参考文献】1俞剑波，郑勇.新课程数学课堂教学中的应变艺术J.中学数学教学参考：初中版，2006,(7).2王晓萍.数学课堂中问题的设置J.中学数学教学参考：初中版，2007,(10).3许光新，吴建亚.课堂教学应突出五个“度”J.江苏教育研究，2006,(4).4羌建中.生成，让数学课堂绽放生命的光彩J.中学数学教学参考：初中版，2008,(4).5许盈.数学多元学习方式的有效教学策略J.中学数学教学参考：初中版，2008,(7).NU1