高三数学限时规范每日一题.pdf

脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 1 高三限时规范每日一题 2015.4 最后一个多月，应该不会有什么大的思路观念层面上的提高了，熟练度、准确度更为重要 熟练度更重要。其实，能把现有的知识熟练掌握并灵活运用就足够了。要向程咬金学习，招式不在多而在精。我们开展每日一题，针对中档题做限时规范训练，提高综合运用知识的能力；搭建一个大家交流解题的平台，不要胡思乱想，将精力集中到解决具体的问题中来。具体要求：1.限时规范训练当天代号的题；2.反思做题感受，准备课堂展示；3.同学交流互评；4.平时练习中填空题在后面黑板征集解答。“脚力尽时山更好”，这是我在鼓浪屿日光岩下看到的一块石壁上的题词。看似很平常的一句话，却让我不由驻足很久，细细咀嚼，余味悠长。回来在网上查了一下，这句话原来出自苏轼的登玲珑山。它的意思是，只有在腿脚酸软、四肢无力、筋疲力尽的时候，才会觉得高山景色的美好。没有登山经历的人也许觉得这七个字很平常，但凡跋山登高、攀临极顶的人，就会对这七个字的含义有切身的体会。其实生活中也是一样，人都会有目标，并为之而努力，只有当你努力付出时，你才会享受到成功的喜悦，也只有全力以赴，你才会觉得前面的风景更美，你才会觉得你的付出是值得的。如果没有艰苦的付出，你所看到的永远只是你眼前的风景，你也不会知道山外有山，更高更远的地方还有绝佳的景色。不过，当我们吟读这句“脚力尽时山更好”时，切不可忘了，它的下句是：“莫将有限趁无穷”！一个人的能力毕竟是有限的，远处的风景固然很美，但人的脚力却有尽时。为了看到更美的风景，我们应当努力，但却更应量力而行。真正的智者，是那些充分了解自身的能力，并且知道自己的能力能够做到怎样成绩的人。他们绝不轻易放弃自己的理想和追求，但也决不会过多的奢望超出自己的能力所能达到的成绩。人生有限，欲念无穷。切不可把有限的生命，在对无穷欲望的无休无止的追求中消磨殆尽。如果那样，我们会活得很累，我们会整日辛劳，疲于奔命，永远体会不到生命的乐趣。“人心不足蛇吞象”，为了满足这些欲望，我们精疲力竭，又怎能体会人生的美好？美景没有尽处，人的脚力和精力却有竭时，无论怎样努力，又怎能看遍天下所有美景？好一句“脚力尽时山更好，莫将有限趁无穷”！也许，只有像苏东坡这样经历了跌宕起伏的人生后才会有此感悟吧。面对将要到来的高考，成绩出现一些起伏也是其中必然要经历的过程，关键要调整好心态，你准备好了吗？脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 2 A.圆锥曲线部分 A01.在平面直角坐标系 xoy中，椭圆 C：)0(12222babyax的离心率为21，右焦点 F（1,0），点 P 在椭圆 C 上，且在第一象限内，直线 PQ 与圆 O：222byx相切于点 M.（1）求椭圆 C 的方程；（2）求 PMPF 的取值范围；（3）若 OPOQ，求点 Q 的纵坐标 t 的值.A02.(14 年北京)已知椭圆22:24C xy，（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y 上，且OAOB，求直线AB与圆222xy的位置关系，并证明你的结论.A03.(14 年新课标)设1F,2F分别是椭圆 C:222210yxabab的左,右焦点，M 是 C 上一点且2MF与x 轴垂直，直线1MF与 C 的另一个交点为 N.（1）若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且15MNFN，求 a，b.A04.(14 年重庆)设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上且在轴的下方，的面积为.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.A05.(14年浙江)如图，设椭圆,01:2222babyaxC动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k，用kba,表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为ba.A06.(14 年天津)设椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B.已知1232ABFF.（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点的直线l与该圆相切.求直线的斜率.22221(0)xyabab12,F FDx112DFFF121|2 2|FFDF12DFF22yxy x O P M Q F x y 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 3 A07.椭圆 C:22221(0)xyabab的左、右焦点分别是12,F F，离心率为32，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 P 是椭圆 C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点 P 作直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设 l 与y 轴的交点为 A，过点 P 作与 l 垂直的直线 m，设 m 与 y 轴的交点为 B，求证：PAB 的外接圆经过定点 A08.在平面直角坐标系 xOy 中，设 A(-1，0)，B(1，0),C(m，n)，且ABC 的周长为2 22（1）求证：点 C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；（2）设直线 l：220mxny 判断直线 l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 H证明：点 H 在定圆上，并求出定圆的方程 A09.已知直线:1l yx，圆223:2O xy，直线l被圆截得的弦长与椭圆2222:1(0)yxCabab的短轴长相等，椭圆的离心率22e.(1)求椭圆C的方程；(2)过点1(0,)3M的动直线l交椭圆C于,A B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.A10.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yxabab的右焦 点为(1 0)F，离心率为22 分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OEEF（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值 A11.如图，设A，B分别为椭圆2222:1(0)xyEabab的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），ABC和ABD的面积分别为1S与2S（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为13yx，求椭圆的离心率；（2）当点M在线段AB上运动时，求12SS的最大值 xyPABoO M D A C B 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 4 x y O E D O x y M N A12.已知椭圆2222:1(0)xyCabab上任一点 P 到两个焦点的距离的和为 2 3，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为23设直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，交椭圆 C 于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）若OAOB4tanAOB(O为坐标原点)，求|y1y2|的值；（2）当直线 l 与两坐标轴都不垂直时，在 x 轴上是否总存在点 Q，使得直线 QA，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由 A13.已知椭圆22221(0)xyabab的左顶点为 A，左、右焦点分别为12,F F，且圆 C：223360 xyxy过2,A F两点 （1）求椭圆标准的方程；（2）设直线2PF的倾斜角为，直线1PF的倾斜角为，当 23时，证明：点 P 在一定圆上；（3）设椭圆的上顶点为 Q，在满足条件（2）的情形下证明：PQ1PF+2PF A14.如图，12FF，为椭圆C：22221yxab(ab0)的左、右焦点，DE，是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32e，2DEF的面积为312 若00()M xy，在椭圆C上，则点00(,)xyNab称为点M的一个“椭点”直线l与椭圆交于AB，两点，AB，两点的“椭点”分别为PQ，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由 A15.已知椭圆)0(1:22221babyaxC过点)3,2(，且它的离心率21e 直线tkxyl:与椭圆1C交于M、N两点（1）求椭圆的标准方程；（2）当23k时，求证：M、N两点的横坐标的平方和为定值；（3）若直线l与圆1)1(:222yxC相切，椭圆上一点P 满足OPONOM，求实数的取值范围 A16.在矩形ABCD中，已知6AD，2AB，E、F 为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，BEG的外接圆为H以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（1）求以 F、E 为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的方程；（2）求H的方程；（3）设点(0,)Pb，过点 P 作直线与H交于 M，N 两点，若点 M 恰 好是线段 PN 的中点，求实数b的取值范围 E F D A B C x G y O 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 5 A17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：221xy与 x 轴的两 个交点（点 B 在点 A 右侧），点(2,0)Q，x 轴上方的动点 P 使直线 PA，PQ，PB 的斜率存在且依次成等差数列(1)求证：动点 P 的横坐标为定值；(2)设直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S，T，求证：点 Q，S，T 三点共线 A18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)xyabab 的左、右焦点分别为12,F F，动直线l与椭圆相切于点P，作1F A、2F B垂直于直线l，垂足分别为A、B.记21BFAF，当P为左顶点时，9.且当1时，四边形12AFF B的周长为22.（1）试确定椭圆的标准方程；（2）求证：1F A2F B为定值.A19.在平面直角坐标系 xOy 中，设 A(-1，0)，B(1，0),C(m，n)，且ABC 的周长为2 22 （1）求证：点 C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；（2）设直线 l：220mxny 判断直线 l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 H证明：点 H 在定圆上，并求出定圆的方程 A20.已知椭圆22221(0)xyabab的右准线9 5:5l x，离心率53e，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足OPOAOB，（其中为常数）（1）求椭圆标准方程；（2）当1且直线AB与OP斜率均存在时，求|ABOPkk的最小值；（3）若G是线段AB的中点，且OAOBOGABkkkk，问是否存在常数和平面内两定点M，N，使得动点P 满足18PMPN，若存在,求出的值和定点M，N;若不存在，请说明理由 A21.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆22221(0)yxabab的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD 当直线AB斜率为 0 时，7ABCD（1）求椭圆的方程；（2）求ABCD的取值范围 y x F O 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 6 B.函数与导数部分 B01.设*nN，函数()nnfxx xa()xa，其中常数 a0 （1）求函数2()fx的极值；（2）设一直线与函数3()fx的图象切于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且12xxa 求2212xx的值；求证：12yy B02.(14 年重庆)已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.(1)确定的值；(2)若，判断的单调性；(3)若有极值，求的取值范围.B03.(14 年山东)设函数)ln2(2xxkxexfx（k为常数，2.71828e是自然对数的底数）（1）当0k 时，求函数 f x的单调区间；（2）若函数 f x在0,2内存在两个极值点，求 k 的取值范围.B04.(14 年新课标全国文)设函数 21ln12af xaxxbx a，曲线 11yf xf在点，处的切线斜率为 0.（1）求 b;（2）若存在01,x 使得01af xa，求 a 的取值范围.B05.(14 年新课标全国理)设函数1()lnxxbef xaexx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的 切线方程为(1)2ye x.（1）求,a b;（2）证明：()1f x.B06.(14 年安徽理)设函数23()1(1)f xa xxx 其中0a.（1）讨论()f x在其定义域上的单调性；（2）当0,1x时，求()f x取得最大值和最小值时的x的值.B07.已知a是实数，函数()lnf xaxx，()xg xe，其中e是自然对数的底数（1）设0a 时，求()f x的单调区间；（2）设 a=0 时，试比较)(xg与2)(xf的大小，并给出证明；（3）若关于 x 的不等式()xmg xx有解，求实数m的取值范围.B08.(14 年湖南理)已知常数（1）讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点且求的取值范围 22()(,)xxf xaebecx a b cR()fx()yf x(0,(0)f4c,a b3c()f x()f xc20,()ln(1).2xaf xaxx函数()f x(0,)()f x12,x x12()()0,f xf xa 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 7 B09.(14 年四川理)已知函数2()1xf xeaxbx，其中,a bR，2.71828e 为自然对数的底数.（1）设()g x是函数()f x的导函数，求函数()g x在区间0,1上的最小值；（2）若(1)0f，函数()f x在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围.B10.（14 年天津卷）已知函数(),xf xxae aR xR有两个零点12,x x，且12xx.（1）求a的取值范围；（2）证明21xx随着a的减小而增大；（3）证明12xx随着a的减小而增大.B11.(14 年江西理)已知函数2()()1 2()f xxbxbx bR.(1)当4b 时，求()f x的极值；若()f x在区间1(0,)3上单调递增，求b的取值范围.B12.(14 年新课标全国理)已知函数 f x=2xxeex（1）讨论 f x的单调性；（2）设 24g xfxbf x，当0 x 时，0g x,求b的最大值；B13.(14 年福建理)已知函数 axexfx（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线 xfy 在点A处的切线斜率为-1.（1）求a的值及函数 xf的极值；（2）证明：当0 x时，xex 2；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在0 x，使得当，0 xx，恒有xcex 2.B14.(14 年陕西理)设函数()ln(1),()(),0f xx g xxfx x，其中()fx是()f x的导函数.（1）11()(),()(),nng xg x gxg gxnN，求()ngx的表达式；（2）若()()f xag x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设nN，比较(1)(2).()ggg n与()nf n的大小，并加以证明.脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 8 C.应用题部分 C01.如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰 AC 的长为 a 米（a 为常数），现在斜边 AB 上选一点 D，将ACD 沿 CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）.设BCD 的面积为 S，点 A到直线 CD 的距离为 d.实践证明，遮阳效果 y 与 S、d 的乘积 Sd 成正比，比例系数为 k（k 为常数，且 k0）.（1）设ACD=，试将 S 表示为的函数；（2）当点 D 在何处时，遮阳效果最佳（即 y 取得最大值）？C02.如图所示，有两条道路OM与ON，060MON，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB（其中A，B分别在OM，ON上），若下水管道的总长度为3km，设()OAa km，()OBb km（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为34km，到点O的距离PO为74km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由 C03.将一张长 8cm，宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为 S1cm2，S2cm2，其中 S1S2记折痕长为 lcm（1）若 l4，求 S1的最大值；（2）若 S1S212，求 l 的取值范围 C04.如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60 的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路 之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M、N(异于村庄 A)，要求 PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的 影响最小(即工厂与村庄的距离最远)C05.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 f x与时间 x(小时)的关系为 212,0,2413xf xaa xx，其中 a 与气象有关的参数，且30,4a，若用每天 f x的最大值为当天的综合污染指数，并记作 M a.(1)令2,0,241xtxx，求 t 的取值范围；（2）求函数 M a；（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？A B C D 图（1）A B C D 图（2）S BAbOPaMNHA P M N B C 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 9 C06.如图，1l、2l是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在2l上的一段圆弧 若点M在点O正北方向，且3MOkm，点N到1l、2l的距离分别为4km和5km （1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26km，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）.C07.一种台历，由两块大小相同的矩形硬纸做成（如图(1)），矩形ABCD是台历的正面，由每月的日历制成活页纸，设MBCEaBC,是BE中点，CM两点由一根丝带连结（固定台历）(1)若31cos，求CM的长；(2)当3时，绕AB匀速翻转台历的一页所需时间为2秒，把开始翻转台历的时间设为 0，将点C离桌面的距离表示为时间t的函数.C08.某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放 1 个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？（2）第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放 1 个单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）C09.如图，ABC 为一直角三角形草坪，其中90,2CBC米，4AB 米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边 DE 过点 B，且与 AC 平行，DF 过点 A，EF 过点 C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中 DE 过点 B，DF 过点 A，EF过点 C（1）求方案一中三角形 DEF 面积1S的最小值；（2）求方案二中三角形 DEF 面积2S的最大值 图（1）桌面 M F E D C B A 图（2）M E C B 方案二 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 10 C10.如图，某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为 4m、8m，河岸线与该养殖区的最近点的距离为 1m，与该养殖区的最近点的距离为 2m（1）如图甲，养殖区在投食点的右侧，若该小组测得，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点的两侧，试在该小组未测得的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积 C11.图 1 是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进 行了简化，取其部分可抽象成图 2 所示的模型，其中桥塔AB、CD与桥面AC垂直，通过测量得知=50ABm，=50ACm，当P为AC中点时，=45BPD。.（1）求CD的长；（2）试问P在线段AC的何处时，BPD达到最大.C12.如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 C13.某种树苗栽种时高度为 A(A 为常数)米，栽种 n 年后的高度记为 f(n)经研究发现 f(n)近似地满足 f(n)9Aabtn，其中 t2-23，a，b 为常数，nN，f(0)A 已知栽种 3 年后该树木的高度为栽种时高度的 3 倍 （1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的 8 倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大 ABCDA12ll、1lD2lBA60BADABADxoyxy221(1)(0)20ykxkx kka图 1 图 2 图 1 脚力尽时山更好,莫将有限趁无穷 11 D.加试部分 D01.已知抛物线xy22上有四点),(),(2211yxByxA、),(),(4433yxDyxC、，点 M（3,0），直线 AB、CD 都过点 M，且都不垂直于 x 轴，直线 PQ 过点 M 且垂直 于 x 轴，交 AC 于点 P，交 BD 于点 Q.（1）求21yy的值；（2）求证：MP=MQ.D02.设12)1(nnxP，2)12)(1()12(1xnnxnQn，*,NnRx，（1）当2n时，试指出nP与nQ的大小关系；（2）当3n时，试比较nP与nQ的大小，并证明你的结论.D03.已知函数(其中)若0 x 为()f x的 极值点，解不等式 D04.从侧面都是正三角形的正四棱锥的 8 条棱中随机选两条，记为这两条棱所成角的大小（1）求概率P；（2）求的分布列，并求其数学期望 E()D05.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点 A 处，若移了 n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为 pn（1）求 p1，p2的值；（2）求证：i=1n14Pi1n2n1 D06.已知,其中当时,求证：必可表示成的形式.D07.已知)(13*12NnCnn，记nC的整数部分为nA，nC的小数部分为nB（1）求11BC；（2）22BC；（3）求nnBC D08.(14 年山东)乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分为两个不相交的区域,C D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球学科网后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.22211xf xaxaxaaeaR 21112f xxxxx O y A B C P D Q M A B C D E F BACD