1、垂直于弦的直径（第一课时）教学设计
【教学内容】§24.1.2垂直于弦的直径.。（新人教版九年级数学课本P81~P8）
【教学目标】
1． 知识目标：
①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——作弦心距。
2． 能力目标：
①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
3． 情感目标：
①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培
养学生大胆猜想、乐于探究
2、的良好品质；
②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中
获得成功的体验。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的语言表述。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】圆形纸片、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】
一、教学活动设计：
二、教学过程设计：
（一）实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世
3、界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
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2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
（图1）
（二）尝试诱导，发现定理
1．实验验证：
让学生找到准备好的圆形纸片的圆心。教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直
4、线）都是它的对称轴。
2．运动变换：
①如图1(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？
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②如图1(b)，弦 AB作怎样的变换时， AC＝BC ，AD＝BD ？
③如图1(c)，当AB变成非直径的弦时，此时图中还有相等的线段和相等的弧吗？
E
O
A
B
C
C
④如图1(d)，当弦AB与直径CD不垂直时，此时图中还有相等的线段和相等的弧吗？
D
D
(a) (b) (c) (d)
（图
5、1）
3．提出猜想：根据以上的研究和图1(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
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⌒
⌒
⌒
（板书）
4．验证猜想：教师用电脑课件演示图1(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
（三）引导探究，证明定理
1．引导证明：
猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从等腰三角形和圆的对称性两方面寻找证明思路。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：
6、在下列图形（如图2(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否具备“垂径定理”的条件？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E
（图2）
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
（四）回归生活，变式练习
1.示范例2（赵州桥问题）解题过程
2．运用定理进行计算。
【例1】如图3，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
（图3）
7、 （图4）
分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。
解：（略）学生口述，教师板书。
【变式一】在图4中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= 。
【思考一】若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，
则R、a、d三者之间的关系式是
8、 。
【思考二】你能解决本课一开始提出的问题吗？（师生共同完成）
（五）师生小结，纳入系统
1．定理的三种基本图形——如图5、6、7。
2．计算中三个量的关系——如图8，。
3．证明中常用的辅助线——作弦心距。
（图5） （图6） （图7） （图8）
（六）达标检测，反馈效果
1．如图9，在⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ，∠AOB＝ 度。
2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图10）。
3．如图11，两个圆都以点O为圆心，求证：AC=BD。
O
C
D
A
B
（图9） （图10） （图11）
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