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解析几何中的算法与算理
——一堂研究课的听课观察记录与感悟
江苏省南通第一中学 陈跃辉 （226001）
1.课前学生预习提纲：
课题：解析几何中的算法与算理
执教： 如皋中学 葛剑锋
目标：(1)立足学生发现的思路，通过算理分析，优化算法繁点；
(2)用联系与发展的眼光，拓展分析命题的道路；
(3)以核心素养为指导，引导学生去观察、思考和表达.
课型：研究课
教程:
例题、如图，椭圆C：，过椭圆C的右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆C相交于A、B两点，当∠APB的平分线为PF时，求直线AB的方程.

一、 分析：（平面几何的性质与对应的解题思想）
二、 展示：算法过程）
研讨：1.各自算法的可行性，繁简度，困惑：
2.新算法的可行性.
三、 观摩：
四、 点评：（算理分析，优化运算）
五、 拓展：
六、小结：
2.分析：求直线AB的方程，关键是确定求直线AB的斜率；而kAB可以由点A（或点B）的位置的确定而确定——引入点参；kAB也可以由直线PA（或直线PB）、直线AB的位置的确定而确定——引入k参、写方程；……
∠APB的平分线为PF
直线PA与PB的倾斜角互补
kPA+kPB=0
⇒
⇒
用思维导图表达研究过程的思路、方法，使思维“视觉化”，进而帮助学生捋顺思路：
条件：

⇗
⇘
求直线AB的方程
求斜率kAB
⇔
确定点A(或B)的位置
确定直线AB的位置
确定直线PA(或PB)的位置
引入点参
引入k参
⇒
⇘
⇗

结论：
⇒

3.板书计划：
一、思路：
二、算法：
三、算理：
1.平面几何（形）⇋方程的根（数）
2.设而不求，整体消去.（x1+x2,x1.x2；消去x或y；如何引入参数？消去哪个更好？）
3.为目标(kAB)服务.
四、小结：
1.目标意识.
2.思想方法：数形结合；方程的思想；等价化归的思想；类比推理；演绎推理；归纳推理；…等等.
3.核心素养： 用数学的眼光观察世界（问题）；
用数学的思维分析世界（问题）；
用数学的语言表达世界（问题）.

4.学生展示、观摩、小组交流、评价：
学生甲的思路（1—1）的解法：由题意 F(1,0).因为直线AB不经过点P，故直线AB的斜率必存在.
可设AB：y=k(x-1)
由
消去y，整理得
设点.
由根与系数的关系，得
由kPA+kPB=0得，
所以，，
所以，
即
消去x1和x2，得
化简，得.
所以，所求的直线AB的方程为：
师问：本题消去x，行吗？消去哪个更好？
于是，引导学生继续探究：
思路（1—2）的解法：将算法“局部优化”为：由kPA+kPB=0得
由
消去x，得
设点.
由根与系数的关系，得
由kPA+kPB=0得，
所以，，
故.
所以，所求的直线AB的方程为：

学生丁的思路（1—3）的解法：由题意，直线AB的斜率必存在且不等于0.
可设AB：my=x-1
由
消去x，得 (相当于用代替k)
设点.
由根与系数的关系，得
由kPA+kPB=0得，
所以，，
故
所以，所求的直线AB的方程为：
注：学生在探究、思维过程中发现：本题消去x更好！（在分析中，只需将条件提前一步：由kPA+kPB=0得，消参的目标就更明确！）

学生乙的思路（2）的解法：由题意 F(1,0).
①若直线AB的斜率不存在，因为直线AB不经过点P，故不符合.
②若直线AB的斜率不存在，则可设AB：y=k(x-1)
由
消去y，整理得
设交点.
由根与系数的关系，得
因为PFx轴.所以点B(x2,y2)关于直线PF对称的点为B'(2-x2,y2).
又因为∠APB的平分线为PF，所以,P、B'、A三点共线，所以kPA=kPB'，
所以，

所以，所求的直线AB的方程为：

学生丙的思路（3—1）的解法：由题意 F(1,0).

设直线PA：.再设点.
由消去x，整理得

由韦达定理得
所以，
所以，点
同理：点

(注：因为∠APB的平分线为PF，所以kPA+kPB=0，故以-k代替k，即得点B的坐标)
由此得，
所以，所求的直线AB的方程为：
思路（3—2）的解法：由题意 F(1,0).
设点A(x0,y0),且x0≠1.则PA：.
PB：.
由
由韦达定理得……
(注：①这时，学生感到很无助！他的思路正确，但是再也算不下去了.他的探究与老师、同学不在同一“点”上，跟不上群体的步伐……他无心寻求更好的算法，也不能参与活动、作出点评，只想沿着自己认为正确的思路继续“探究下去”……
②如何引入参数？如何控制参数、消去参数？光知道常规方法：(1)表示曲线上一点的常见方法有：设点A(x0,y0),且x0≠1则3x02+4y02=12；或设点A(acosq,bsinq).(2)代入消元法、加减消元法、整体消元（x1+x2，x1.x2）、……等等是不够的！学生需要在解题实践中学习、感悟.进而达成“巩固基础知识、提升解题能力、发展核心素养”的教育教学目标.)

思路（4—1）的解法：由题意 F(1,0).
设点A(x0,y0),且x0≠1.则AB：.
由
得△>0且
所以，.
因为，∠APB的平分线为PF，且所以，

所以，所求的直线AB(即AF)的方程为：x-2y-1=0.
(注：精彩！因为A、P、B三点共线，且直线x-2y-1=0过点A与F.)

思路（4—2）的解法由题意 F(1,0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠1,x2≠1.则

可设AB：my=x-1
由
消去x，得 (相当于用代替k)
由根与系数的关系，得
所以，
整体代入④，……怎么又转回来了？！
注：为什么？同一个条件重复用了两次.
思路（4—3）：设点.以上同思路（4—1）
因为∠APB的平分线为PF，所以kPA+kPB=0
设直线PA：.则直线PB：.
由消去x，整理得

由韦达定理得
同理：
所以，

代入
得
……
注：（1）思路（4—2）的算法是思路（2—1）是算法局部优化的结果！
（2） 要增强目标意识.问题的等价化归、式子的恒等变形必须为目标服务！有效控制参数的个数、整体消参的技巧都是为目标（kAB）服务的.
（3） 拓展：一般地，设A、B是椭圆C：上不同的两点，M是线段AB的中点，O是原点.则为定值.
（学生甲、乙、丙上黑板展示，其余学生独立思考、观察探究、小组交流、点评算法，过程中教师精心设问、帮助学生积极探究、优化算法；然后学生丁作优化思路（1—1）的算法展示：思路（1—3）的解法；这时，离下课只有8分钟了.……其他思路、算法是由笔者记录、来源于坐在笔者附近且没有机会参与展示、点评的学生的想法.）
5.拓展：
师问：本题的目标是如何求kAB的值.还有其他的办法求kAB的值吗？…你知道与kAB有关的结论吗？（注：也许因为没有足够的思考时间，学生没有回应.拓展基本由教师完成.）
(1) 我们先思考一个较简单的问题——把问题特殊化：
如图，在圆O：x2+y2=2上有一点P(1,1)，
PM平分∠APB.你有什么发现： .
因为PM平分∠APB.
所以，∠APM=∠MPB.
所以， =.
所以，点M是 的中点.连结AB、OM.
由平面几何知识，得 ABOM.（当点P在圆O：x2+y2=2上运动时，这个性质不变！）
所以，kAB. kOM=-1
(2)椭圆C：可看成是由圆O：x2+y2=r2“压扁”后得到的.你能猜想类似的结论吗？
（注：kAB. kOM是伸缩变换后的不变量吗？这个点M在哪里呢？它与kAB有何关系？）
(3)一般地，椭圆C：可看成是由圆O：x2+y2=r2“压扁”后得到的.你能猜想类似的结论吗？
师说：请同学们课后思考.（注：将探究、思考延伸到课外！）
6.总结：归纳算法、算理，体验数学核心素养（数学的眼光、数学的思维、数学的语言……）
7.听课感悟与收获：
7.1解析几何的思想方法是用代数的方法解决几何问题.多一点想，可以少一点算、巧一点算.课堂教学的重点应落在促使学生对“通性通法”的理解与掌握上；
7.2精心创设问题链，让学生研究思考、充分地参与活动，教师及时整合、适度拓展；
7.3在课堂45分钟的有限的时间、空间中，每个教师可以根据各自的教育教学的“价值观”，选择恰当的教学方式方法，并作出一定地取与舍，实施、实现教学目标的达成；
7.4全面地关注学生，关注学生的学习，关注学生的思维，让他们有足够的时间独立思考，鼓励他们大胆质疑，帮助他们学习成功！有时比解多道题“更重要”.
7.5这节课若选用平板教学，可以让每一个学生直接推送、充分展示各自的研究成果或解题过程中的疑问困惑，同时节省了展示的时间，让学生有更多的时间研究思考、交流总结、拓展延伸，可以促使学生的研究性学习更加多角度、多层次，可以让课堂更精彩！
7.6这一节课的“拓展”环节也可以这样切入：
第1步：引导学生从以上解题思路、解题过程中观察：
由∠APB的平分线为PF，可以推出：
得到结论：为定值，
它与点A或直线PA在椭圆C上的位置无关.
第2步：换个角度——用极限的观点看问题：延长PF交椭圆C于点T(1,).让点A沿着椭圆C无限逼近于点T时，割线AB的斜率无限逼近于椭圆C在点T处的切线l的斜率.
第3步：等价化归：
求kAB的问题转化为：如何求过点T(1,)的切线l的斜率k？
思路（1）：引入参数k ⟹用点斜式写切线l的方程
⟹将切线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
⟹消去y(或x)，得关于x(或y)的二次方程式
⟹由△(k)=0，得k⟹kAB=k.
思路（2）：利用复合函数求导运算法则：
.
思路（3）：从学生已知的知识切入.理想到：
命题：若直线l与圆O：x2+y2=r2相切于点T(x0,y0)，则切线l的方程为：x0x+y0y=r2；
类比推理，你能得到什么猜想？你能给予证明吗？
命题：若直线l与椭圆C：相切于点T(x0,y0)，则切线l的方程为： .
【答】猜想：切线l的方程为：
（这时，将问题“一般化”，已是水到渠成的事情了.）
证明：利用复合函数求导运算法则：
.
……
再次引导学生发现并得出结论：是一个定值.
7.7评价：一课一例，多想巧算；自主探究，思维碰撞；目标意识，局部优化；问题驱动，多轮展示；互助学习，和谐共生.