《一元一次方程》(基础)知识讲解.doc

《一元一次方程》全章复习与巩固（基础）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜
【学习目标】
1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；
2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；
3．会根据实际问题列方程解应用题．
【知识网络】[来源:学科网]

【要点梳理】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母的指数不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．
知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
【典型例题】
类型一、一元一次方程的概念
1．下列方程中，哪些是一元一次方程? 哪些不是?
(1)； (2)2x+y＝5； (3)x2-5x+6＝0； (4)； (5)．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案】 (1)、(5)是一元一次方程．因为它们或等价变形后是只含有一个未知数、并且未知数的次数是1的方程；
(2)、(3)、(4)都不是一元一次方程，因为(2)中含有两个未知数；(3)中未知数的最高次数是2；(4)中分母含有未知数，它不是整式方程．
【解析】判断一个方程是不是一元一次方程，有时需要对方程进行等价变形后再判断．例如：
，可化为：，所以 是一元一次方程．
【总结升华】凡是分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程．
举一反三：
【高清课堂：一元一次方程复习 393349 等式和方程 例(1)】
【变式】下列说法中正确的是( ).
A．2a-a=a不是等式 B．x2-2x-3是方程 C．方程是等式 D．等式是方程
【答案】C
2. 若方程3(x-1)+8＝2x+3与方程的解相同，求k的值．
【答案与解析】
解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．
将x＝-2代入方程中，得．
解这个关于k的方程，得．
所以，k的值是．
【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．
举一反三：
【变式】若关于x的方程2(x-1)-a＝0的解是x＝3，则a的值是( )．
A．4 B．-4 C．5 D．-5
【答案】A.
类型二、一元一次方程的解法
3．解方程
【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．
【答案与解析】
解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12
去括号，得3y+6-6+10y＝12
合并同类项，得13y＝12
未知数的系数化为1，得
【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．
4．解方程：
【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果．
【答案与解析】
解：

x＝-6
【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．
举一反三：
【变式】解方程：278(x-4)-463(8-2x)-888(7x-28)＝0
【答案
解：原方程可化为278(x-4)+463×2(x-4)-888×7(x-4)＝0
(x-4)(278+463×2-888×7)＝0
x-4＝0
x＝4
类型三、一元一次方程的应用
5． (南京)甲车从A地出发以60 km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5 h后，乙车也从A地出发，以80 km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．
【答案与解析】
解：设乙车出发后x小时追上甲车，依题意得60×0.5+60x＝80x，解得x＝1.5．
答：乙车出发后1.5小时追上甲车．

【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5 h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．
6. (南昌)剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)．有关销售策略与售价等信息如下表所示：

某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?
【答案与解析】
解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架．
依题意，得(0.55-0.05)·50x+(1-5)x＝2×(2.5—2)×8400，
解得x＝400．
销售出的刀片数：50×400＝20000(片)．
答：这段时间内乙厂家销售了400把刀架，20000片刀片．
【总结升华】本题的相等关系为：甲厂家利润×2＝乙厂家利润．
举一反三：
【高清课堂：一元一次方程复习 393349 一元一次方程的解法和应用例6】
【变式】某文具店为促销X型计算器，优惠条件是一次购买不超过10个，每个38元，超过10个，超过部分每个让利2元(即每个36元)，问李老师用812元共买了多少个？
【答案】
解：设李老师用812元共买了个，依题意可得：

解得：
答：李老师用812元共买了22个．