2020-2021备战中考数学二次函数综合练习题含答案.doc

2020-2021备战中考数学二次函数综合练习题含答案一、二次函数1已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MAMC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）y=x24x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，1）；（4）M（2，3）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）APD是直角时，点P与点B重合，求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MAMC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可试题解析：解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）令x=0，则y=3，点C（0，3），则直线AC的解析式为y=x+3，设点P（x，x24x+3）PDy轴，点D（x，x+3），PD=（x+3）（x24x+3）=x2+3x=（x）2+a=10，当x=时，线段PD的长度有最大值；（3）APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1）A（3，0），点P为在抛物线顶点时，PAD=45+45=90，此时，点P（2，1）综上所述：点P（1，0）或（2，1）时，APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MA=MB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得：，直线BC的解析式为y=3x+3抛物线y=x24x+3的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=32+3=3，点M（2，3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，3），使|MAMC|最大点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键2已知，点M为二次函数y（xb）2+4b+1图象的顶点，直线ymx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B（1）判断顶点M是否在直线y4x+1上，并说明理由（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5（xb）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小【答案】（1）点M在直线y4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x0或x5；（3）当0b时，y1y2，当b时，y1y2，当b时，y1y2【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案【详解】（1）点M为二次函数y（xb）2+4b+1图象的顶点，M的坐标是（b，4b+1），把xb代入y4x+1，得y4b+1，点M在直线y4x+1上；（2）如图1，直线ymx+5交y轴于点B，B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，5（0b）2+4b+15，解得b2，二次函数的解析是为y（x2）2+9，当y0时，（x2）2+90，解得x15，x21，A（5，0）由图象，得当mx+5（xb）2+4b+1时，x的取值范围是x0或x5；（3）如图2，直线y4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为yx+5，联立EF，AB得方程组，解得，点E（，），F（0，1）点M在AOB内，14b+1，0b当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，bb，b，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y4x+1上，综上：当0b时，y1y2，当b时，y1y2，当b时，y1y2【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a0时，点与对称轴的距离越小函数值越大3如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，将AOC绕平面内某点H顺时针旋转90，得到A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标【答案】（1）y=-+x+2；（2）存在，Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点，A1的横坐标是1，.【解析】【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解； （2）分两种情况分别讨论，当QBM=90或MQB=90，即可求得Q点的坐标 （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1）， 当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1； 当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，y=-+x+2；（2）点C与点D关于x轴对称，D（0，-2）设直线BD的解析式为y=kx-2将（4，0）代入得：4k-2=0，k=直线BD的解析式为y=x-2当P点与A点重合时，BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；当BQBD时，BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，-2x+8=-+x+2，可求x=3或x=4（舍）x=3；Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键4函数的图象记为，函数的图象记为，其中为常数，与合起来的图象记为.（）若过点时，求的值；（）若的顶点在直线上，求的值；（）设在上最高点的纵坐标为，当时，求的取值范围.【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】（）将点C的坐标代入的解析式即可求出m的值；（）先求出抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线上得出关于m的方程，解之即可（）先求出抛物线的顶点坐标，结合（）抛物线的顶点坐标，和x的取值范围，分三种情形讨论求解即可；【详解】解：（）将点代入的解析式，解得（）抛物线的顶点坐标为，令，得，（）抛物线的顶点，抛物线的顶点，当时，最高点是抛物线G1的顶点，解得当时，G1中（2，2m-1）是最高点，2m-12m-1，解得当时，G2中（-4，4m-9）是最高点，4m-94m-9，解得.综上所述，即为所求.【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题5如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由（4）若P为抛物线上一点，过P作PQBC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQBCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1，0）或（-，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）【解析】【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式；（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；（4）存在两种情况：如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；如图5，图3中的M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则CP2QBCO，P2为直线CM的抛物线的交点【详解】（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），a=-1，y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）如图1，过N作NDy轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，解得：，直线AC的解析式为：y=x+2，D（n，n+2），ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，SANC=2-n2-2n=-n2-2n=-（n+1）2+1，当n=-1时，ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），（3）存在，分三种情况：如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；如图2，由勾股定理得：BC=，以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=，M4在x轴的负半轴上，M4（-，0），综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1，0）或（-，0）；（4）存在两种情况：如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1QBC，此时，CP1QBCO，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称， P1（-1，2），如图5，由（3）知：当M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，过P2作P2QBC，此时，CP2QBCO，易得直线CM的解析式为：y=x+2，则，解得：P2（-，-），综上所述，点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）【点睛】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解6在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A、B、C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EFx轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，若MNC90，请求出m的取值范围【答案】（1）yx2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3）；（3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3t），即可得D（t，t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m（n）2，然后根据n的取值得到最小值【详解】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点A、B、C，A（1，0），C（0，3），解得b2，c3故该抛物线解析式为：yx2+2x+3（2）令x2+2x+30，解得x11，x23，即B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，则，解得：k=-1,b=3故直线BC的解析式为yx+3；设P（t，3t），D（t，t2+2t+3），PD（t2+2t+3）（3t）t2+3t，OBOC3，BOC是等腰直角三角形，OCB45，当CDPC时，则CPDCDP，PDy轴，CPDOCB45，CDP45，PCD90，直线CD的解析式为yx+3，解得或D（1，4），此时P（1，2）；当CDPD时，则DCPCPD45，CDP90，CDx轴，D点的纵坐标为3，代入yx2+2x+3得，3x2+2x+3，解得x0或x2，此时P（2，1）；当PCPD时，PCt，tt2+3t，解得t0或t3，此时P（3，）；综上，当CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3，）（3）如图2，由（1）yx2+2x+3（x1）2+4，E（1，4），设N（1，n），则0n4，取CM的中点Q（，），MNC90，NQCM，4NQ2CM2，NQ2（1）2+（n）2，4（1）2+（n）2m2+9，整理得，m（n）2，0n4，当n时，m最小值，n4时，m5，综上，m的取值范围为：m5【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用7二次函数y=x2-2mx+3（m）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n0且n为整数），与y轴交于C点（1）若a=1，求二次函数关系式；求ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=【解析】试题分析：（1）首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积； （2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m-m）2-m2+3，求得m的值即可确定a的值试题解析：（1）a=1，A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，y=x2-4x+3；在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，A（1，0）、B（3，0）， AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3）， OC=3，ABC的面积=23=3；（2）y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，对称轴为直线x=m， 二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B点A和点B关于直线x=m对称， a+n-m=m-a， a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m）当a为整数，因为n0且n为整数 所以a+n是整数， 线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， n=2， a=m-1，A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，m2-4=0，m=2，m=-2（舍去）， a=2-1=1， 当a不是整数，因为n0且n为整数 所以a+n不是整数， 线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数， n=3， a=m-A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m-m）2-m2+3，m2=，m=，m=-（舍去），a=，综上所述：a=1或a=考点：二次函数综合题8如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）【答案】（1）y=x24x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）E点坐标为（，）时，CBE的面积最大【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标试题解析：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，PC=，CPM为等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；当MC=PC时，则有=2，解得t=1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=1+2或t=12，此时M（2，1+2）或（2，12）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大考点：二次函数综合题9已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+6；（2）当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM，先求出直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6），则N（t，t+6），由SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PNOB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PHOB知DHAO，据此由OA=OB=6得BDH=BAO=45，结合DPE=90知若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案【详解】（1）抛物线过点B（6，0）、C（2，0），设抛物线解析式为y=a（x6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=，所以抛物线解析式为y=（x6）（x+2）=x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PMOB与点M，交AB于点N，作AGPM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=x+6，设P（t，t2+2t+6）其中0t6，则N（t，t+6），PN=PMMN=t2+2t+6（t+6）=t2+2t+6+t6=t2+3t，SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PN（AG+BM）=PNOB=（t2+3t）6=t2+9t=（t3）2+，当t=3时，PAB的面积有最大值；（3）如图2，PHOB于H，DHB=AOB=90，DHAO，OA=OB=6，BDH=BAO=45，PEx轴、PDx轴，DPE=90，若PDE为等腰直角三角形，则EDP=45，EDP与BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.10如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90，AOE=45，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PGy轴，交OE于点G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四边形AOPE=SAOE+SPOE，=33+PGAE，=+3（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，当m=时，S有最大值是；（3）如图3，过P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，P的坐标为（，）或（，）；如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐标为（，）或（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题11如图，抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x+3；（2）点P的坐标为（1，4）或（2，3）；（3）存在，（，）或（，），见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2）过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把APC分成两个APQ与CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积（3）通过三角形函数计算可得DAO=ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似，则有两种情况，AOM=CAB=45，即OM为y=-x，若AOM=CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M【详解】（1）把A（3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式yax2+bx+c得，解得，所以抛物线的函数表达式为yx22x+3（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，A（3，0），C（0，3），直线AC解析式为yx+3，设P点坐标为（x，x22x+3），则Q点坐标为（x，x+3），PQx22x+3（x+3）x23xSPAC，解得：x11，x22当x1时，P点坐标为（1，4），当x2时，P点坐标为（2，3），综上所述：若PAC面积为3，点P的坐标为（1，4）或（2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，D为抛物线yx22x+3的顶点，D点坐标为（1，4），又A（3，0），直线AC为y2x+4，AF2，DF4，tanPAB2，B（1，0），C（0，3）tanABC3，BC，sinABC，直线BC解析式为y3x+3AC4，AEACsinABC，BE，CE，tanACB，tanACBtanPAB2，ACBPAB，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2当AOMCAB45时，ABCOMA，即OM为yx，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（，）若AOMCBA，即OMBC，直线BC解析式为y3x+3直线OM为y3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似的点M，其坐标为（，）或（，）【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系12（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值【答案】（1）a=，A（，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，0）或（，4）；（3）【解析】试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得CAO=60，依据AE为BAC的角平分线可求得DAO=30，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标设点P的坐标为（，a）依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可试题解析：（1）C（0，3），9a=3，解得：a=令y=0得：，a0，解得：x=或x=，点A的坐标为（，0），B（，0），抛物线的对称轴为x=（2）OA=，OC=3，tanCAO=，CAO=60AE为BAC的平分线，DAO=30，DO=AO=1，点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a1）2当AD=PA时，4=12+a2，方程无解当AD=DP时，4=3+（a1）2，解得a=0或a=2（舍去），点P的坐标为（，0）当AP=DP时，12+a2=3+（a1）2，解得a=4，点P的坐标为（，4）综上所述，点P的坐标为（，0）或（，4）（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，直线AC的解析式为设直线MN的解析式为y=kx+1把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，点N的坐标为（，0），AN=将与y=kx+1联立解得：x=，点M的横坐标为过点M作MGx轴，垂足为G则AG=MAG=60，AGM=90，AM=2AG=，= = =点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键13如图，已知A（2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx1过A、B两点，并与过A点的直线y=x1交于点C（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，）；（3）N点坐标为（4，3）或（2，1）【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形对应