专题八数学思想方法.doc

函数与方程思想、数形结合思想1函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想。(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法2函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要3数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质4在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的应用微题型1运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题【例11】 设函数f(x)cos2xsin xa1，已知不等式1f(x)对一切xR恒成立，求a的取值范围探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)0或f(x)0恒成立，一般可转化为f(x)min0或f(x)max0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解微题型2运用函数与方程思想解决数列问题【例12】 已知数列an满足a13，an1anp3n(nN*，p为常数)，a1，a26，a3成等差数列(1)求p的值及数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn，证明：bn.探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组(3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an0(an0)成立时最大的n值即可求解热点二数形结合思想的应用微题型1运用数形结合思想解决函数、方程问题【例21】 已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28，设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB_解析 由f(x)g(x)x22(a2)xa2x22(a2)xa28，解得x1a2，x2a2.探究提高(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型：研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图比较大小微题型2运用数形结合思想解决不等式中的问题【例22】 若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k_探究提高不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对位置关系，故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研究，利用函数图象的几何特征，准确而又快速地求出参数的值或不等式的解集微题型3运用数形结合思想解决解析几何中的问题【例23】 已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_探究提高在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得1当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想2借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解3许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量4在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的5有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的6利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.1直线xym0与圆x2y22x20相切，则实数m_2在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_3若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_6已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1，1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数为_7经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_8满足条件AB2，ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_9已知数列an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般都在解答题中体现，难度较大1在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合分合”的解决问题的思想，就是分类讨论法分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法2中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等3转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性4常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一分类讨论思想的应用微题型1运用分类讨论思想解决数列问题【例11】 求和：12x3x2nxn1.解记Sn12x3x2nxn1当x0时，Sn1，当x1时，Sn123n，当x0，x1时，Sn12x3x2nxn1，xSnx2x23x3(n1)xn1nxn.得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn.Sn.综上，Sn探究提高利用等比数列的前n项和公式时，需要分公比q1和q1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论微题型2运用分类讨论思想解决导数中的参数问题【例12】 已知函数f(x)m2ln x(mR)(1)若m1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)当m1时，函数f(x)x2ln x，函数的定义域为(0，)，且f(x)，所以f(1)0，f(1)4，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为4xy40.(2)函数的定义域为(0，)，且f(x).()当m0时，f(x)0对x(0，)恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增()当m0时，若m1，f(x)0对x(0，)恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递减若1m0，由f(x)0，得x1，x2，且0x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)减增减所以f(x)在和上单调递减，f(x)在上单调递增综上所述：当m0时，f(x)在(0，)上单调递增当m1时，f(x)在(0，)上单调递减，当1m0时，f(x)在和上单调递减，在上单调递增探究提高分类讨论思想在解决导数中的参数问题时的常见类型：1含参数的函数的单调性问题：对于含参数的不等式，应注意分类讨论的原因、标准、顺序如一元二次不等式，应按“开口方向相应方程有无实根根的大小”进行讨论2含参数的函数的极值(最值)问题：常在以下情况下需要分类讨论：导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论3含参数的函数的零点个数问题：常需要根据参数与极值的大小关系分类讨论微题型3运用分类讨论思想解决圆锥曲线中的参数问题【例13】 已知椭圆C：1(ab0)经过点M(，1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(1，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P(4，3)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1k2最大时，求直线l的方程解(1)由已知可得，所以a22b2，又点M(，1)在椭圆C上，所以1，联立方程组解得故椭圆C的方程为1.(2)()当直线l的斜率为0时，则k1k2；()当直线l的斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，与椭圆1联立，整理得：(m22)y22my30.则y1y2，y1y2，又x1my11，x2my21，所以k1k2，令t4m1，则k1k2，当t0，即m时，k1k2；当t0时，k1k2，当t0时，k1k2显然不能取最大值，当t0时当且仅当t5，即m1时，k1k2取得最大值1.所以直线l的方程为xy10.探究提高与圆锥曲线有关的参数问题中应用分类讨论思想的常见类型：1判断曲线的类型：判断曲线的类型，常依据二元方程对其参数进行分类讨论，分类标准一般考虑二次项系数的正负、大小关系2参数方程、不等式的求解：如求离心率、渐近线方程时对圆锥曲线焦点位置的讨论，或者对方程系数的讨论，或者求解过程中分母是否为0的讨论3直线与圆锥曲线位置关系的判定：对于含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解，如对直线斜率存在与否的讨论、消元后二次项系数是否为0的讨论，判别式与0的大小关系的讨论等热点二转化与化归思想的应用微题型1特殊与一般的转化【例21】 已知f(x)，则f(2 015)f(2 014)f(0)f(1)f(2 016)_解析f(x)f(1x)1，f(0)f(1)1，f(2 015)f(2 016)1，f(2 015)f(2 014)f(0)f(1)f(2 016)2 016.答案2 016探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果微题型2常量与变量的转化【例22】 对任意的|m|2，函数f(x)mx22x1m恒为负，则x的取值范围为_解析对任意的|m|2，有mx22x1m0恒成立，即|m|2时，(x21)m2x10恒成立设g(m)(x21)m2x1，则原问题转化为g(m)0恒成立(m2，2)所以即解得x，即实数x的取值范围为.答案探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的微题型3换元转化问题【例23】 是否存在实数a，使得函数ysin2xacos xa在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则说明理由解ysin2xacos xa1cos2xacos xaa.0x，0cos x1，令cos xt，则ya，0t1.当1，即a2时，函数ya在t0，1上单调递增，t1时，函数有最大值ymaxaa1，解得a2(舍去)；当01，即0a2时，t函数有最大值，ymaxa1，解得a或a4(舍去)；当0，即a0时，函数ya在t0，1上单调递减，t0时，函数有最大值ymaxa1，解得a0(舍去)，综上所述，存在实数a使得函数在上有最大值1.探究提高换元法的特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用解题过程中要注意换元后新变量的取值范围.1分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集讨论(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；函数yax2bxc有时候分a0和a0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论(3)数列：由Sn求an分n1和n1的讨论；等比数列中分公比q1和q1的讨论(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b0和b0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等2转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1若数列an的前n项和Sn3n1，则它的通项公式an_解析当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12，也满足式子an23n1，数列an的通项公式为an23n1.答案23n12过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则的值为_解析当直线PQ与x轴重合时，|a.答案a23等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为_解析当公比q1时，a1a2a37，S33a121，符合要求当q1时，a1q27，21，解之得，q或q1(舍去)综上可知，q1或.答案1或4方程sin2xcos xk0有解，则k的取值范围是_解析求ksin2xcos x的值域kcos2xcos x1.当cos x时，kmin，当cos x1时，kmax1，k1.答案5钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于_解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故AC.答案6在ABC中，AB3，AC4，BC5.点D是边BC上的动点，xy，当xy取最大值时，|的值为_解析AB3，AC4，BC5，ABC为直角三角形如图建立平面直角坐标系，A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，设D(a，b)，由xy，得xy.又D在直线lBC：1上，1，则2.，即xy，当且仅当a，b2时xy取到最大值，此时|.答案7设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三形的三个顶点，且PF1PF2，则的值为_解析若PF2F190，则PFPFF1F，PF1PF26，F1F22，解得PF1，PF2，.若F2PF190，则F1FPFPFPF(6PF1)2，解得PF14，PF22，2.综上所述，2或.答案2或8已知函数f(x)ax33x1对于x1，1总有f(x)0成立，则a_解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为g(x)maxg4，从而a4；当x0即x1，0)时，f(x)ax33x10可化为a，g(x)0，g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.答案4二、解答题9数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解(1)an22an1an0，所以an2an1an1an，所以an1an为常数列，所以an是以a1为首项的等差数列，设ana1(n1)d，a4a13d，所以d2，所以an102n.(2)因为an102n，令an0，得n5.当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0.所以当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tnn29n40，Tna1a2an，当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2anTn9nn2.所以Sn10已知函数g(x)(aR)，f(x)ln(x1)g(x)(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x0处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性解(1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1，解得a2，所以f(x)ln(x1).由f(x)，则f(0)3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y3x.(2)因为f(x)ln(x1)(x1)，所以f(x).当a0时，因为x1，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递增；当a0时，由得1x1a，故f(x)在(1，1a)上单调递减；由得x1a，故f(x)在(1a，)上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在(1，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在(1，1a)上单调递减，在(1a，)上单调递增11已知椭圆1(ab0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由解(1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，所以c.因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以b1.可求得a2，故椭圆的方程为y21.(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时设其斜率为k，则l的方程为yk(x1)由得(4k21)x28k2x4k240，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.则(mx1，y1)，(mx2，y2)，所以(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m2k2(4m28m1).要使为定值，令2m0，即m，此时.当直线l的斜率不存在时，不妨取P，Q，由E，可得，所以.综上，存在点E，使为定值.