常州市届高三教学期末调研测试数学试题.doc

常州市2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅰ试题
2013．1
参考公式：
样本数据，，… ，的方差，其中=．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 设集合，，若，则实数的值为 ▲ ．
2． 已知复数（为虚数单位），计算：= ▲ ．
3． 已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．
4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ．
5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ．
6． 函数的最小正周期为 ▲ ．
7． 函数的值域为 ▲ ．
8． 已知点和点在曲线C：为常数上，若曲线在点和点处的切线互相平行，则 ▲ ．
9． 已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为 ▲ ．
10． 给出下列命题：
（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，所有真命题的序号为 ▲ ．
11． 已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ▲ ．
12． 已知数列满足，，则= ▲ ．
13． 在平面直角坐标系中，圆：分别交轴正半轴及轴负半轴于，两点，点为圆上任意一点，则的最大值为 ▲ ．
14．已知实数同时满足，，，则的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知均为锐角，且，．
（1）求的值； （2）求的值．

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB， ，，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；
（3）求证：平面PCB ．

17．（本小题满分14分）
F
E
b
a
B
D
C
A
第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为．
（1）求关于的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地
块的面积最大，并求出的最大值．

18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分16分）
已知数列是等差数列，，数列是等比数列，．
（1）若．求数列和的通项公式；
（2）若是正整数且成等比数列，求的最大值．

20．（本小题满分16分）
已知函数.
（1）若a=1，求函数在区间的最大值;
（2）求函数的单调区间；
（3）若恒成立，求的取值范围．

2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
2013．1

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，
过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交
O
A
E
B
D
F
C
于点.
求证：.

B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．
D．选修4—5：不等式选讲
设，求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22． (本小题满分10分)
袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望．
23．(本小题满分10分)
空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分
（1）求 ；
（2）写出关于的表达式并用数学归纳法证明.
2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．0 2． 3. 4. 5． 6．2
7． 8． 9． 10．、、
11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）∵，从而．
又∵，∴． …………………………4分
∴． ………………………………6分
（2）由（1）可得，．
∵为锐角，，∴． ……………………………………10分
∴ …………12分
==． …………………………14分
16．证明：
（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…………………2分
因为CD∥AB，所以MN∥CD．
又CD 平面PCD， MN 平面PCD，所以MN∥平面PCD. ……4分
（2）因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，
又因为PD⊥底面ABCD，平面ABCD，
所以CD⊥PD，又，所以CD⊥平面PAD．……………6分
因为平面PAD，所以CD⊥MD，
所以四边形MNCD是直角梯形．……………………………………8分
（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD= ． …………………………9分
在△中，，，，．
在直角梯形MNCD中，，，，，
从而，所以DN⊥CN． …………………………11分
在△中，PD= DB=， N是PB的中点，则DN⊥PB．……13分
又因为，所以平面PCB ． …………………14分

17．解：（1）设，则，整理，得．………3分
，． …………………………………4分
（2）
当时，，在递增，故当时，；
当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，.
18．解：（1），.，化简得，
故椭圆E的离心率为.
（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.从而.故，从而存在满足条件的常数，.

19．解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以． ……………………3分
（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，
因为成等比数列，所以．
设，，，
则，整理得，.
解得（舍去负根）.
，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，，
当且仅当且时，及取最大值.
从而最大的，
所以，最大的 ………16分
20．解：（1）若a=1, 则．
当时, ,，
所以在上单调增, . ……………2分
（2）由于，．
（ⅰ）当时，则，，
令，得（负根舍去），
且当时，；当时，，
所以在上单调减，在上单调增.……4分
（ⅱ）当时，
①当时， ,
令，得（舍），
若，即, 则，所以在上单调增；
若，即, 则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增. ………………………………………………………6分
②当时, ,
令，得，记，
若，即, 则，故在上单调减；
若，即,
则由得，且，
当时，；当时，；当 时，，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减. …………………………………………8分
综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间
是；
当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是
；
当时, 单调递减区间是(0, )和，
单调的递增区间是和. ………………10分
（3）函数的定义域为．
由，得． *
ⅰ）当时，，，不等式*恒成立，所以；
（ⅱ）当时，，，所以； ………………12分
（ⅲ）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．
令，则．
因为，所以，从而．
因为恒成立等价于，所以．
令，则．
再令，则在上恒成立，在上无最大值．
综上所述，满足条件的的取值范围是． …………………………16分
2013届高三教学调研测试（二）
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
O
A
E
B
D
F
C
21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连结OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．
所以DE2=DB·DA．
B．选修4—2：矩阵与变换
解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得＝6，
即；
由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，＝，
即，
解得即＝，逆矩阵是.

C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：将曲线化为直角坐标方程得：
，

即，
圆心到直线的距离，
∴曲线相离．
D．选修4—5：不等式选讲
证明：由
=
=．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，
由题意知=，即，化简得．
解得或（舍去） 故袋中原有白球的个数为6.
（2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4.
； ；
；.
所以取球次数X的概率分布列为：
X
1
2
3
4

所求数学期望为E（X）=1+2+3+4=
23．解：（1）；
（2）.证明如下：
当时显然成立，
设时结论成立，即，
则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个， ，
即当时，结论也成立.
综上，对，.