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数学教育要成为儿童最有魅力的课程——“儿童数学”的内涵诠释与实践建构
如皋市东陈镇丁北小学 汪树林

摘要：数学课程改革的一个总方向，就是让数学教学回归教育的本体——儿童，关注儿童的生活，追求儿童的可持续发展。“儿童数学”重新赋予数学、数学教学应有的魅力，它基于儿童生活，在儿童的生活中，引领儿童的生活；它顺应儿童的天性，让儿童从自我经验出发，在活动中自主建构，进而理解数学本质，同时达到儿童本质力量的全面解放与舒展!
    关键词：儿童数学 数学教育 课程
    一、“儿童数学”的内涵诠释
    1．儿童数学是一种“经验数学”。
    儿童学习数学，与大学生是不一样的。大学生在学习高等数学前不一定有应用和计算微积分的经验，而儿童在日常活动中却经常有加减等运算的体验，如购物活动、游戏活动等。实际上，每个儿童并不是上学才接触数学，也不仅仅是在学校中才接触数学，他们在日常生活中会碰到各种数学问题，逐步形成自己的数学认识。儿童玩过各种形状的积木，折过纸，比过物体长短、大小、轻重、厚薄、宽窄，他们知道几点起床几点睡觉、几点到校几点放学，他们随着父母一起外出购物，等等，所有这些活动，都为他们积淀了数量和几何形体的初步观念。虽然这些观念往往是非正规、不系统的甚至是模糊的，或许还有错误隐藏其中，但这些都为他们上学后学习数学奠定了基础。“儿童来到
课堂里不仅带来了眼睛、耳朵和良好的记忆力，而且也带来了不知从生活的什么地方所获得的大量的‘前数学经验’，带来了‘儿童的数学’、‘儿童的物理学’、‘儿童的化学’、‘儿童的哲学’、‘儿童的历史学’，等等。”所有的这些“学”，都是儿童的经验资源，我们称作为儿童数学学习的“前理解”，或者称作为儿童数学学习的“期待视界”，它们在数学教学活动中发挥着重要作用。
儿童数学的经验性，还表现为数学不仅仅是教室中的行为，而且是一种社会性活动，家里、公园、商店里都可以是儿童的数学课堂。校外，无论是买卖活动、建造房子活动，都有数学问题和数学知识，数学不仅仅是学校中的书本知识，研究者把大众生活中的数学称为“街头数学”。因此，儿童数学既是一种知识形式，又是一种活动形式；既是儿童在学校中学习的学科，也是儿童在生活中的一种思考方式，这正是儿童数学作为经验数学的魅力所在!
当然，儿童的生活经验可以促进儿童的数学学习(如我们常常借助儿童日常生活中日升日落、白天黑夜周而复始的经验来帮助他们理解“循环小数”中“循环”的含义)，也可以阻碍儿童的数学学习(如“生活角”对“数学角”的干扰、日常生活中的“质量”概念对数学中“质量”概念的学习影响等)。作为教师，我们应当选择恰当的教学策略，对儿童的生活经验进行加工、重组、提炼、干预，使作为儿童个体的数学经验上升为人类的“类经验”！
2．儿童数学是一种“建构数学”。
    如上所述，儿童人学前就发展了许多非正式的、非形式化的数学知识，这些知识对儿童来说很有意义，也很有趣味。非形式化的数学常常是儿童自主建构而不是被动接受的，儿童是入学后才开始学习用符号写成的“形式数学”的。研究表明，在学校的数学学习中，“儿童常常不按照教师的方式去做数学”，也就是说，儿童不只是模仿和接受成人的策略和思维模式，他们要用自己经验中已有的数学知识去过滤和解释新信息，以至同化它。如果儿童看不出教师所呈现的信息和他们已有的数学知识之间的联系，那么，教师的讲授就如同对牛弹琴。因此，儿童的数学化过程就是儿童“自组织”数学学习材料的过程，也是儿童对客观的“数学知识”进行主观“意义赋予”的过程。换言之，儿童的数学学习是儿童在已有知识经验基础上的一种自我的、能动的、有意义的建构!
    因此，儿童视阈中的数学就不应简单地被等同于数学知识的汇集，不应被看作无可怀疑的真理的集合，而应主要被看作儿童的一种“创新性建构”。儿童的数学学习和研究，是儿童的思想实验或“准实验”。在弗赖登塔尔看来，一个6岁的儿童用手指或用计算器算出8+5=13，对成人来说，可能那并不算是什么数学，但对这个年龄层次的儿童来说，就是一个严格的数学证明。通过探究，儿童自己建构的知识，也许不是成人所认为的“科学”和“正确”的知识，但从建构主义观点看，所有的知识都只具有相对的意义，也即意义是相对于知识的建构者而言的。比如有一个学生，认为“6是奇数”，理由是6可以写成2×3，而3是奇数，所以6是奇数。这告诉我们，这位学生有他自己关于    奇数的定义，他是根据自己学习数学的经验，用自己的方式理解数学的。因此，在儿童学习“数学化”的过程中，如果我们只按照自己的理解方式强迫儿童接受是不可取的。我们首先要反思自己概念的形成过程，然后再分析儿童的概念建构过程，要尊重儿童对数学知识的原初解读，给儿童充分的时间建构，帮助儿童反思自己的先前图式，建立正确的数学观念。
    3．儿童数学是一种“活动数学”。
    “活动是智慧的根源”(皮亚杰语)，也是儿童的经验建构方式。在活动中学习数学是儿童的一种自由与自觉，因为它摆脱了儿童生疏的纸笔策略，营造了具有真实的、有意义的、支持性的情境，使得数学学习成为“真实的数学学习”，符合儿童心智的发展。例如，在数学活动课上，师生做一个争夺红旗的游戏，有一面小红旗插在地上，然后让一些孩子排列在红旗的正前方，等老师发出口令后，大家都奔上前去夺这面红旗，以夺到者为胜。他们可能立刻就会提出异议，这样的游戏方法不公平，理由是每一个人到达红旗的距离不相等。那么，怎样解决最合理呢?经过思考、讨论、尝试等一系列的探究活动，它们很快就逐渐形成一个手拉手的形状(圆)。于是，一个“动点到定点是一个定
长”的意识就开始形成了——尽管它并不是一个严格的数学概念，但对“形式数学”来说，就可能会是从空间的“点集”性质特征来建构“圆的概念的。因此，“数学活动”能让儿童自觉地经历数学知识的“再创造”，实现儿童真正的“数学化”!
    二、“儿童数学”的实践建构
    1．让“儿童生活”嵌入数学教学。
    “数学科学是人类精神从外界借取的东西最少的创造物之一”(庞加勒语)，但儿童数学却应该亲近儿童，纯粹例题式的教学起点对于儿童来说不具有可攀性。于是，我们需要借取生活素材，让“儿童生活”嵌入数学教学，让“陌生的数学”变得熟悉、亲切。一方面我们要“活化教材”，充分感受新教材选择素材的独特视角，尽可能地发挥这些素材的教育功能；另一方面我们也应认识到，由于每个儿童的家庭背景以及自身思维方式的差异，使得同一教材不可能适应不同地域的儿童。因此，我们要创生教材以外的资源，将触角延伸至儿童周遭的“生活世界”，善于捕捉“生活现象”，设计“生活情境”，勾勒“生活画面”，使之符合儿童的“数学现实”!
    例如，对于“平均数”，我们在学习材料的组织中，通常都是呈现一个“工业生产”方面的背景，而这种背景对儿童来说并不熟悉。即便是呈现一些算“成绩”(成绩的平均数)的背景，对儿童来说，也是难以理解的。因为这通常是作为成人的教师行为。有时，为了表示所谓的“平均数本质特征”——“移多补少”，还常常用几块积木，在多和少之间移来移去，或者在几根长短不一的线段之间加来减去，儿童很难理解教师的这
些行为。假如我们呈现这样一个背景：一群儿童在随意地“争夺”积木，有的多，有的少，发生了争吵，老师怎么办?让儿童去想象并设计一下教师的行为(方法和过程)，然后思考：里面含有什么样的数学特点?用原来什么样的数学知识可以解释?这样可能更容易让儿童理解“平均数”的本质特性。   
2．开辟“用乎思考”的道路。
对儿童来说，学数学不应是去记数学、去背数学、去练数学，而更应是“做数学”。因为思维的形成，必须从外在的可见活动开始，这既是人类数学经验的起源，也是儿童心智发展的历程，儿童需要“用手思考”!
例如对于“平均分”，我们是将其作为“数学概念”还是作为儿童的“思维对象”?是将其作为“数学符号”直接教学，还是让儿童经历“平均分行为很显然，我们应该让儿童在“平均分”的活动中运用自己的经验去自主建构“除法”、“除数”、“余数”等概念。活动开始时，儿童可能会依照经验，为了保证每个人所得的同样多，就用一种类似于一群人围在一起打牌时发牌的方式，将物品轮流地一个一个地分发(有时也会每一次先等量地分发给每一个人，然后再这样轮发)，用弗赖登塔尔的观点，这就是关于分配问题的“水平数学化”。
    但是，当任务较大(要分的物品或分配的对象等数额较大)时，儿童就会对这种分配方式进行反思，他们会尝试去获得另外一种分法，即用寻找尽可能大的份额来一次性地完成分配，并最终形成了用“除法”的概念与算法，甚至他们可能会有趣地发现，有的正好分完，有的还有多余，这多余的物品又不够再分，于是余数的概念就这样逐渐建立起来。此外，从多余的物品不能再分的现实问题情境中，儿童对“余数必须比除数小”的道理也有隐约的理解。这就是弗赖登塔尔所说的“垂直数学化”——逐步的图式化。
    不难看到，在儿童数学活动过程中，一刻也离不开思维，更准确地说是离不开儿童的“反思”。因此，“用手思考”我们也可以理解为“用头脑做”、“用头脑看”、“用头脑听”……真正的“做数学”活动意味着：一方面，儿童的手、脑、眼、耳等的多感官协同活动，可以加强对客观事物的动态感知；另一方面，儿童的外显活动与内隐言语、思维必须紧密结合，以便让活动成为“外化的思维”，让思维成为“内化的活动”!因此，“用手思考”就不是一种具体的教学模式，更不是一种具体的学习方法，而是一种教学思想和儿童的学习方法论。其基本的价值观是：儿童的数学学习是一种儿童的主动观察、思考、操作、探究、尝试、发现与体验活动，它让儿童用一种整体的、手脑联动的实践方式去把握认识对象。这种方式既契合教育学家杜威的“做中学”理论，也符合皮亚杰的“发生认识论”学说，更是马克思主义的唯物实践观在儿童数学教育领域的具体运用。
3．凝聚——必要的抽象。
数学“客观知识”的形成过程是一个“去情景化、去个人化和去时间化”的过程；儿童数学固然应该指向儿童——借助儿童的现实生活，尊重儿童的生活经验，让儿童在教师的价值引领下进行自主建构，但儿童数学也应该尊重数学本质。在儿童数学教学中，要谨防数学内涵的悄悄流失，谨防儿童思维的“卡通化”、“浅表化”。要切实处理好生活的随意性与数学的严谨性、抽象性之间的关系，将儿童的思维进行形式化的提升，努力促成儿童由“卡通思维”向“形式思维”的有效过渡!
    现代数学思维研究的一个重要成果就是指明了“凝聚”(由“过程”向“对象”的转化)构成了数学思维的一个基本形式。不少的数学概念最初是作为一个过程得到引进的，但最终则又转化成了一个对象，我们不仅可以研究它们的性质，也可以此为对象去施行某些新的运作(指广义的数学运演)。
因此，儿童数学活动中“火热的思考”最终都必须凝固成“冰冷的美丽原先“做数学”的动态行为也终将客体化为一个静止的数学符号。“用手思考”的数学作为儿童“再创造”的过程表征，变成了儿童熟悉的事物，使得儿童可以用一种新的眼光去打量!也正是在这个意义上，弗赖登塔尔说，“与其说是学习数学，毋宁说是学习数学化；与其说是学习形式，毋宁说是学习形式化；与其说是学习公理，毋宁说是学习公理化”!
 参考文献：
[1]郑毓信．数学思维与小学数学[M]．南京：凤凰出版传媒集团江苏教育出版社，2008．
[2]郑毓信．开放的小学数学教学[M)．南京：凤凰出版传媒集团江苏教育出版社，2008．
    [3]弗赖登塔尔．作为教育任务的数学[M)．上海：上海教育出版社，1995．
    [4]卢盛华．动作是智慧的根源——现代小学数学课堂教学的心理学依据[J]．上海教育科研．1999(7)，
    [5]杨庆余．关于小学数学教育中的Hands on[J]．上海教育科研．2001(11)．
    [6]杨庆余．儿童数学与儿童生活中的数学[J]．小学青年教师．2003(1)．