苏州期初数学.doc

2012届高三暑期自主学习调查
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2011．09
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差

(第4题)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 抛物线y2＝4x的准线方程是____________．
2. 已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{y|y＝x2＋2x＋2}，则A∩B＝__________.
3. 设复数z满足zi＝1＋2i(i为虚数单位)，则z的模为____________．
4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的T的值为____________．
5. 某位同学五次考试的成绩分别为130,125,126,126,128，则该组数据的方差s2＝____________.

(第6题)
6. 如图三个相同的正方形相接，则α＋β＝____________.
7. 若函数f(x)的导函数为f′(x)＝2x－4，则函数f(x－1)的单调递减区间是________．
8. 口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“两次摸出的球颜色相同”的概率是____________．

(第9题)
9. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π])的图象如图所示，则φ＝________
10. 过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线－＝1的离心率为____________．
11. 若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为____________．
12. 设a，b是两个非零向量，如果(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角为____________．
13. 已知函数f(x)＝若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是____________．
14. 已知a、b是不相等的两个正数，在a、b之间插入两组数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn(n∈N*，且n≥2)，使得a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，a，y1，y2，…，yn，b成等比数列，则下列四个式子中，一定成立的是__________．(填上你认为正确的所有式子的序号)
① ＝；　　　　　　② ＞＋2；
③ ＝； ④ ＞.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.
(1) 若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，求A的值；
(2) 若c＝10，A＝45°，C＝30°，求b的值．

16. (本小题满分14分)
如图在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．
(1) 求证：直线EF∥平面BC1A1；
(2) 求证：EF⊥B1C.

17. (本小题满分14分)
某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长56元，筛网(图中虚线部分)的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计．
(1) 把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数，并求出最低造价；
(2) 若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？(结果精确到0.01米)

18. (本小题满分16分)
已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，点(an，Sn)在曲线(x＋1)2＝4y上．
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设数列{bn}满足b1＝3，令bn＋1＝abn，设数列{bn}的前n项和为Tn，求数列{Tn－6n}中最小项的值．
19. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29,0)．
(1) 求圆弧C2所在圆的方程；
(2) 曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
(3) 已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E，F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．

20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝lnx.
(1) 当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值；
(2) 若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围；
(3) 当a＞0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式.
高三数学附加题试卷　第页(共2页)2012届高三暑期自主学习调查
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
如图，设直线l切⊙O于点P，AB为⊙O的任一条不与l垂直的直径，AC⊥l，垂足为点C.求证：AP平分∠CAB.

B. 选修4－2：矩阵与变换
已知a，b是实数，如果矩阵M＝所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．

C. 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求圆(α为参数)上的点到直线(t为参数)的最小距离．

D. 选修4－5：不等式选讲
设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．

【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，已知∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝1.
(1) 当SA＝2时，求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
(2) 若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为，求SA的长．

设整数n≥4，在集合{1,2,3…，n}中任取两个不同元素a，b(a＞b)，记An为满足a＋b能被2整除的取法种数．
(1) 当n＝6时，求An；
(2) 求An.
高三数学参考答案　第页(共3页)2012届高三暑期自主学习调查
数学参考答案及评分标准

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. x＝－1　2. {1}　3. 　4. 25　5. 3.2　6. 　7. (－∞，3)　8. 　9. 　10. 　11. πa2　12. 60°　13. (25,34)　14. ①②
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．
15. 解：1) 由题设知b2＋c2－a2＝bc，即＝.(3分)
由余弦定理得cosA＝.(4分)
因为0＜A＜π，所以A＝.(7分)
(2) 因为A＝45°，C＝30°，所以B＝105°.(8分)
所以sinB＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝.(11分)
由正弦定理得b＝·sinB＝·＝5(＋)．(14分)
16. 证明：(1) 在△ABA1中，因为E、F分别为AB、AA1的中点，所以EF∥BA1.(3分)
又因为EF平面BC1A1，BA1平面BC1A1，
所以直线EF∥平面BC1A1.(6分)
(2) 由直三棱柱及BC＝CC1知四边形BCC1B1为正方形，所以B1C⊥BC1.(8分)
因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1，故AC⊥B1C.
因为AC∥A1C1，所以A1C1⊥B1C.(11分)
因为BC1∩A1C1＝C1，所以B1C⊥平面BC1A1，所以B1C⊥BA1.(13分)
因为EF∥BA1，所以EF⊥B1C.(14分)
17. 解：(1) 由题意得y＝56＋48＋50×160
＝160×＋8 000(2分)
≥160×2＋8 000＝13 120.(4分)
当且仅当x＝即x＝16时，取得最小值，即有最低造价为13 120元．(6分)
(2) 由题意得解得13≤x≤15.(8分)
设g(x)＝x＋，则g′(x)＝1－＝.(10分)
因为当13≤x≤15时，有g′(x)＜0恒成立，
所以当13≤x≤15时，函数g(x)单调递减．(12分)
所以当x＝15时，函数g(x)有最小值，y也有最小值，此时宽为＝10.67.(13分)
答：当网箱长为15米，宽为10.67米时，可使总造价最低．(14分)
18. 解：(1) 由题意得4Sn＝(an＋1)2，从而4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，
所以4(Sn＋1－Sn)＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，
即4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，所以2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
因为an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以an＋1－an＝2.(4分)
又由4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，(5分)
所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，故an＝2n－1.(7分)
(2) 由(1)知abn＝2bn－1，又bn＋1＝abn，所以bn＋1＝2bn－1.(8分)
所以bn＋1－1＝2(bn－1)．又b1＝3，b1－1＝2，
所以{bn－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．故bn－1＝2n，即bn＝2n＋1.(12分)
所以Tn＝＋n＝2n＋1－2＋n.(13分)
设cn＝Tn－6n＝2n＋1－2－5n，则cn＋1－cn＝2n＋1－5，
所以当n＝1时，有cn＋1＜cn；当n≥2，n∈N时，有cn＋1＞cn.故最小项为c2.
所以数列{Tn－6n}中最小项的值为－4.(16分)
19. 解：(1) 由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.(1分)
令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)，又C2过点A(29,0)，
设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
解得
所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.(4分)
(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得
(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.(6分)
由解得x＝－70(舍去)；
由解得x＝0(舍去)．
所以这样的点P不存在．(10分)
(3) 因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，
所以EF＞2r1，EF＞2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．(11分)
设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，
所以EF＝15＋＋，即＋＝18，(14分)
解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.(16分)
20. 解：(1) 当a＝1时，f′(x)＝3x2－3，(1分)
由f′(x)＝0得x＝±1.
列表：

x
－2
(－2，－1)
－1
(－11)
1
(1,2)
2
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
－2

2

－2

2
(3分)
所以f(x)min＝f(－2)＝f(1)＝－2.(4分)
(2) 因为在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方，
所以x3－3ax＞lnx在[1,2]上恒成立，即3a＜x2－在[1,2]上恒成立．(6分)
设m(x)＝x2－，则m′(x)＝2x－＝.
∵ 2x3－1＞0，lnx≥0，∴ m′(x)＞0，∴ m(x)在[1,2]上单调递增．
∴ m(x)min＝m(1)＝1，(9分)
∴ 3a＜1，即a＜.(10分)
(3) 因为h(x)＝|f(x)|＝|x3－3ax|在[－1,1]上是偶函数，故只需要求在[0,1]上的最大值．
由f′(x)＝3x2－3a＝3(x＋)(x－)．
① 当≥1，即a≥1时，h(x)＝|f(x)|＝－f(x)，此时h(x)在[0,1]上单调递增．
∴ F(a)＝－f(1)＝3a－1.(12分)
② 当0＜＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增．
1° 当f(1)＝1－3a≤0，即≤a＜1时，h(x)＝－f(x)，
∴ F(a)＝－f()＝2a；(13分)
2° 当f(1)＝1－3a＞0，即0＜a＜时，
a) 当－f()≤f(1)即0＜a≤时，F(a)＝f(1)＝1－3a；
b) 当－f()＞f(1)即＜a＜时，F(a)＝－f()＝2a.(15分)
综上F(a)＝(16分)
高三数学附加题参考答案　第页(共2页)2012届高三暑期自主学习调查
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 选修4－1：几何证明选讲
证明：连结PB，由AB为直径得∠APB＝90°，
所以∠PAB＋∠PBA＝90°.(3分)
又AC⊥l，所以∠CAP＋∠CPA＝90°.(5分)
因为CP为切线，AP为弦，所以∠CPA＝∠PBA.(8分)
所以∠CAP＝∠PAB，即AP平分∠CAB.(10分)
B. 选修4－2：矩阵与变换
解：设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，
则＝，所以(4分)
因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，(6分)
于是有(8分)
解得(10分)
C. 选修4－4：坐标系与参数方程
解：将参数方程(α为参数)化为直角坐标方程为x2＋y2＝4，
它表示以O(0,0)为圆心，2为半径的圆．(3分)
将参数方程(t为参数)化为直角坐标方程为3x＋y＝8.(6分)
圆心O到此直线的距离为＝＞2，所以直线与圆相离，(8分)
所以圆上的点到直线的最小距离为－2.(10分)
D. 选修4－5：不等式选讲
证明：作差得a2＋b2－(a＋b)＝a(－)＋b(－)(3分)
＝(－)[()3－()3](5分)
＝(－)2(a＋＋b)．(8分)
因为a，b，是非负实数，所以a＋＋b≥0，又(－)2≥0，
所以(－)2(a＋＋b)≥0，即有a2＋b2≥(a＋b)．(10分)
22. 解：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系A—xyz，设SA＝t(t＞0)

由题意得A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0，t)．
所以＝(1,2,0)，＝(1,0，－t)，＝(0,0，－t)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y,1)，则
即所以即n＝.(3分)
(1) 当SA＝2时，＝(0,0，－2)，n＝(2，－1,1)，
设直线SA与平面SCD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.(6分)
(2) 因为平面SCD的一个法向量为n＝，
又平面SAB的一个法向量为＝(1,0,0)．(7分)
设平面SCD与平面SAB所成角为α，
则cosα＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
解得t＝，即SA的长为.(10分)
23. 解：(1) 当n＝6时，集合为{1,2,3,4,5,6}，将其分为：
奇数集A＝{1,3,5}，偶数集B＝{2,4,6}．
∵ a＋b能被2整除，
∴ a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应该取自同一个集合A或B.
故有C＋C＝6种取法，即A6＝6.(3分)
(2) ① 当n＝2k(k≥2)时，即k＝，集合为{1,2,3，…，2k}，
将其分为两个集合：奇数集A＝{1,3，…，2k－1}，偶数集B＝{2,4，…，2k}．
∵ a＋b能被2整除，
∴ a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应该取自同一个集合A或B.
故有C＋C＝＋＝k(k－1)种取法，
即An＝＝.(6分)
② 当n＝2k＋1(k≥2)时，即k＝，集合为{1,2,3，…，2k＋1}，
将其分为两个集合：奇数集A＝{1,3，…，2k＋1}，偶数集B＝{2,4，…，2k}．
∵ a＋b能被2整除，
∴ a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应该取自同一个集合A或B.
故有C＋C＝＋＝k2种取法，
即An＝2＝.(9分)
所以An＝(10分)

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高三数学试卷