1、八年级上学期压轴题数学试题带答案1、我们不妨约定:把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”(1)如下:平行四边形,矩形,菱形,正方形,一定是“菠菜四边形”的是_(填序号);(2)如图1,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且BADBCD90,ADAB,AECD于点E,若AE4,求四边形ABCD的面积;(3)如图2,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且ABAD,记四边形ABCD,BOC,AOD的面积依次为S,若求证:ADBC;在的条件下,延长BA、CD交于点E,记BCm,DCn,求证:2、在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a8b+20
2、0(1)求a,b的值;(2)点P在直线AB的右侧;且APB45,若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为 ;若ABP为直角三角形,求P点的坐标3、如图,在等边中,分别为,边上的点,(1)如图1,若点在边上,求证:;(2)如图2,连若,求证:;(3)如图3,是的中点,点在内,点,分别在,上,若,直接写出的度数(用含有的式子表示)4、在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点,点C与点A关于y轴对称,点P是x轴正半轴上C点右侧一动点(1)当2a2+4ab+4b2+2a+10时,求A,B的坐标;(2)当a+b0时,如图1,若D与P关于y轴对称,PEDB并交DB延长
3、线于E,交AB的延长线于F,求证:PBPF;如图2,把射线BP绕点B顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CPAQ时,求APB的大小5、操作发现:如图1,D是等边ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边DCF,连接AF,易证AF=BD(不需要证明);类比猜想:如图2,当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时,其它作法与图1相同,猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。深入探究:如图3,当动点D在等边ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF,连接AF,BF你能发现AF,BF与AB有何数量关
4、系,并证明你发现的结论。如图4,当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时,其它作法与图3相同,猜想AF,BF与AB在上题中的结论是否仍然成立,若不成立,请给出你的结论并证明。6、如图1,在平面直角坐标系中,点在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,设,且(1)直接写出的度数(2)如图2,点D为AB的中点,点P为y轴负半轴上一点,以AP为边作等边三角形APQ,连接DQ并延长交x轴于点M,若,求点M的坐标(3)如图3,点C与点A关于y轴对称,点E为OC的中点,连接BE,过点B作,且,连接AF交BC于点P,求的值7、如图,在等边ABC中,线段AM为BC边上的中线动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD
5、的下方作等边CDE,连结BE(1)求CAM的度数;(2)若点D在线段AM上时,求证:ADCBEC;(3)当动D在直线AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断AOB是否为定值?并说明理由8、如图,是等边三角形,点在上,点在的延长线上,且(1)如图甲,若点是的中点,求证: (2)如图乙,若点不的中点,是否成立?证明你的结论(3)如图丙,若点在线段的延长线上,试判断与的大小关系,并说明理由【参考答案】1、(1) (2)16(3)见解析;见解析【分析】(1)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论;(2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则,求出,得【解析】
6、(1) (2)16(3)见解析;见解析【分析】(1)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论;(2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则,求出,得出,有全等的出AE=AF=3,求出,求出,代入求解即可;(3)记面积为,则,根据已知条件可得,进而可得,得出 由平分线的性质结合等腰三角形的性质可得BD平分,过点D作于点H,作于点N,则DH=DN,则,由此即可得出结论(1)根据菱形于正方形的定义值,一定是菠菜四边形的是菱形与正方形,故答案为:(2)如图,过A作,交CB的延长线于F, 四边形AFCE是矩形则 四边形AFCE是正方形, 即四边形ABCD的面积为16(3
7、)记,如图:作, AMAD四边形AMND为平行四边形ADMNADBCADBC又ADABBD平分如图:又【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定,三角形的面积,角平分线的性质,对于同第登高的三角形的面积相等的推到是关键2、(1)a2,b4;(2)(4,0);P点坐标为(4,2),(2,2)【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可(2)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题分两种情形:如图2【解析】(1)a2,b4;(2)(4,0);P点坐标为(4,2),(2,2)【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可(2)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题分两种情形:如图2中,若ABP=90,过点P作PCO
8、B,垂足为C如图3中,若BAP=90,过点P作PDOA,垂足为D分别利用全等三角形的性质解决问题即可【详解】(1)a2+4a+4+b28b+160(a+2)2+(b4)20a2,b3、(2)如图1中,APB45,POB90,OPOB4,P(4,0)故答案为(4,0)a2,b4OA2OB4又ABP为直角三角形,APB45只有两种情况,ABP90或BAP90如图2中,若ABP90,过点P作PCOB,垂足为CPCBBOA90,又APB45,BAPAPB45,BABP,又ABO+OBPOBP+BPC90,ABOBPC,ABOBPC(AAS),PCOB4,BCOA2,OCOBBC422,P(4,2)如图
9、3中,若BAP90,过点P作PDOA,垂足为DPDAAOB90,又APB45,ABPAPB45,APAB,又BAD+DAP90,DPA+DAP90,BADDPA,BAOAPP(AAS),PDOA2,ADOB4,ODAD0A422,P(2,2)综上述,P点坐标为(4,2),(2,2)【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题3、(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”可判断DEF是等边三角形,则DF=E
10、F,又ABC是等边三角形,根据三角形内角和可得出,【解析】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”可判断DEF是等边三角形,则DF=EF,又ABC是等边三角形,根据三角形内角和可得出,AFD=FEC,所以ADFCFE(AAS),则AD=CF;(2)过点F作JKAC交AB于点J,交BC于点K,过点F作PIAB交AC于P,交BC于点I,连接DF,则BJK和CPI是等边三角形,BDEJFDKEF,所以DJ=BE=FK,因为ABPI,FKAC,所以四边形AJFP是平行四边形,则AJ=PF,易得CPI为等边三角形,由FCB=30可得CF平分PC
11、I,则FI=FP,所以FP=AJ,FK=BE=DJ,FI=FK,所以AJ=DJ=BE,即AD=AJ+DJ=2BE;(3)延长MO到点G,使OG=OM,连接NG,BG,NM,作ACQ=ABN,且使CQ=BN,连接MQ,AQ,先得到BOGCOM(SAS),再得到ACQABN(SAS)和BNGCQM(SAS),所以NAM=MAQ=CAM+CAQ=CAM+BAN,所以CAM+BAN=30,则CAM=,所以BAN=30-(1)证明:如图,连接,是等边三角形,是等边三角形,;(2)证明:如图,过点作交于点,交于点,过点作交于,交于点,连接,和是等边三角形,是等边三角形,由(1)中结论可知,四边形是平行四边
12、形,为等边三角形,平分,是等边三角形,即;(3)如图,延长到点,使,连接,作,且使,连接,是等边三角形,又,【点睛】本题属于三角形的综合题,涉及全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,等腰三角形三线合一等知识,类比思想及构造的思想进行分析,仿造(1)中的结论构造出全等三角形是解题关键4、(1);(2)见解析;APB22.5【分析】(1)利用非负数的性质求解即可;(2)想办法证明PBFF,可得结论;如图2中,过点Q作QFQB交PB于F,过点F作FHx轴于H【解析】(1);(2)见解析;APB22.5【分析】(1)利用非负数的性质求解即可;(2)想办法证明PBFF,可得结论;如图2中,过点
13、Q作QFQB交PB于F,过点F作FHx轴于H,可得等腰直角BQF,证明FQHQBO(AAS),再证明FQFP即可解决问题【详解】解:(1)2a2+4ab+4b2+2a+10,(a+2b)2+(a+1)20,(a+2b)20 ,(a+1)20,a+2b0,a+10,a1,b,A(1,0),B(0,)(2)证明:如图1中,a+b0,ab,OAOB,又AOB90,BAOABO45,D与P关于y轴对称,BDBP,BDPBPD,设BDPBPD,则PBFBAP+BPA45+,PEDB,BEF90,F90EBF,又EBFABDBAOBDP45,F45+,PBFF,PBPF解:如图2中,过点Q作QFQB交PB
14、于F,过点F作FHx轴于H可得等腰直角BQF,BOQBQFFHQ90,BQO+FQH90,FQH+QFH90,BQOQFH,QBQF,FQHQBO(AAS),HQOBOA,HOAQPC,PHOCOBQH,FQFP, 又BFQ45,APB22.5【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质,解题的关键是综合运用相关知识解题5、成立,证明见详解;AF+BF=AB,证明见详解;不成立,AF=AB+BF,证明见详解.【分析】类比猜想:通过证明BCDACF,即可证明AF=BD;深入探究:AF+BF=AB【解析】成立,证明见详解;AF+BF=AB,证明见详
15、解;不成立,AF=AB+BF,证明见详解.【分析】类比猜想:通过证明BCDACF,即可证明AF=BD;深入探究:AF+BF=AB,利用全等三角形BCDACF(SAS)的对应边BD=AF;同理BCFACD(SAS),则BF=AD,所以AF+BF=AB;结论不成立新的结论是AF=AB+BF;通过证明BCFACD(SAS),则BF=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF【详解】解:类比猜想:如图2中,ABC是等边三角形(已知),BC=AC,BCA=60(等边三角形的性质);同理知,DC=CF,DCF=60;BCA+DCA=DCF+DCA,即BCD=ACF;在BC
16、D和ACF中, BCDACF(SAS),BD=AF(全等三角形的对应边相等);深入探究:如图示AF+BF=AB;证明如下:由条件可知:BCA-DCA=DCF-DCA,即BCD=ACF,同理可证BCDACF(SAS),则BD=AF;同理BCFACD(SAS),则BF=AD,AF+BF=BD+AD=AB;结论不成立新的结论是AF=AB+BF;如图示:证明如下:等边DCF和等边DCF,由同理可知:在BCF和ACD中, BCFACD(SAS),BF=AD(全等三角形的对应边相等);又由知,AF=BD;AF=BD=AB+AD=AB+BF,即AF=AB+BF【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等边三角形的
17、性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.6、(1);(2);(3)【分析】(1)根据坐标系写出的坐标,进而根据,因式分解可得,进而可得,在x轴的正半轴上取点C,使,连接BC,证明是等边三角形,进而即可求得;(2)连接BM,进而证明为等【解析】(1);(2);(3)【分析】(1)根据坐标系写出的坐标,进而根据,因式分解可得,进而可得,在x轴的正半轴上取点C,使,连接BC,证明是等边三角形,进而即可求得;(2)连接BM,进而证明为等边三角形,根据含30度角的直角三角形的性质即可求得(3)过点F作轴交CB的延长线于点N,证明,设,则等边三角形ABC的边长是4a,进
18、而计算可得,即可求得的值【详解】(1)点在x轴负半轴上,如答图1,在x轴的正半轴上取点C,使,连接BC,又,是等边三角形,;(2)如答图2,连接BM,是等边三角形,D为AB的中点,在和中,即,为等边三角形,;(3)如答图3,过点F作轴交CB的延长线于点N,则,在和中,又E是OC的中点,设,等边三角形ABC的边长是4a,在和中,又,【点睛】本题考查了坐标与图形,三角形全等的性质与判定,等边三角形的性质与判定,因式分解的应用,掌握三角形全等的性质与判定并正确的添加辅助线是解题的关键7、(1)30;(2)见解析;(3)是定值,理由见解析【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;(2)根据等
19、边三角形的性质就可以得出,由等式的性质就可以,根据就可以得出;(3)分情【解析】(1)30;(2)见解析;(3)是定值,理由见解析【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;(2)根据等边三角形的性质就可以得出,由等式的性质就可以,根据就可以得出;(3)分情况讨论:当点在线段上时,如图1,由(2)可知,就可以求出结论;当点在线段的延长线上时,如图2,可以得出而有而得出结论;当点在线段的延长线上时,如图3,通过得出同样可以得出结论【详解】解:(1)是等边三角形,线段为边上的中线,故答案为:30;(2)与都是等边三角形,在和中,;(3)是定值,理由如下:当点在线段上时,如图1,由(2)可知
20、,则,又,是等边三角形,线段为边上的中线,平分,即,当点在线段的延长线上时,如图2,与都是等边三角形,在和中,同理可得:,当点在线段的延长线上时,如图3,与都是等边三角形,在和中,同理可得:,综上,当动点在直线上时,是定值,【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用,直角三角形的性质的运用,等式的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键8、(1)详见解析;(2)成立,理由详见解析;(3),证明详见解析.【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得DBC的度数,根据BD=DE即可解题;(2)过D作DFBC,交AB于F,证【解析】(1)详见解析;(2)成立,理由详见
21、解析;(3),证明详见解析.【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得DBC的度数,根据BD=DE即可解题;(2)过D作DFBC,交AB于F,证BFDDCE,推出DF=CE,证ADF是等边三角形,推出AD=DF,即可得出答案(3)如图3,过点D作DPBC,交AB的延长线于点P,证明BPDDCE,得到PD=CE,即可得到AD=CE【详解】证明:是等边三角形,为中点,,;(2)成立,如图乙,过作,交于,则是等边三角形,在和中,即如图3,过点作,交的延长线于点,是等边三角形,也是等边三角形,,,在和中,【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是作出辅助线,构建全等三角形
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