高三第四次月考数学试题.doc

高三月考数学试题（理）
2013.11.20
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数是奇函数,且在上单调递增,则等于（ ）
A.0 B.-1 C.1 D.
4．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A. B. C. D.
5.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”
的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 在中，若，则是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
7. 各项均为正数的等比数列中，且，则等于（ ）
A.16 B.27 C.36 D.－27
8. 的值是（ ）
A. B. C. D.
9.已知（其中为正数）,若,则的最小值是（ ）
A.2 B. C. D.8
10. 已知为异面直线,平面,平面.则 ( )
A．,且 B．,且
C．与相交,且交线垂直于 D．与相交,且交线平行于
11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
12.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为（ ）
A. B.2 C.4 D.8
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上.
13．若实数的最小值是__________．
14. 在中，,,则的长度为________.
15. 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆C的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．
16. 下列命题：
①函数在上是减函数；
②点A（1，1）、B（2，7）在直线两侧；
③数列为递减的等差数列，，设数列的前n项和为，则当 时，取得最大值；
④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是
其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）.
三、解答题：
17.（本小题满分12分）已知向量a＝（cos x，－），b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．

18. （本小题满分12分）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝－，求数列{n·an}的前n项和Tn.

19.（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

20.（本小题满分12分）
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．

21.（本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的单调区间
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．

22.（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝0.
(1)写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
(2)求圆C截直线l所得的弦长．

高三月考数学试题（理）参考答案
一、选择题：CBCBA DBACD AC
二、填空题：
13． 1 14. 1或2 15. －1 16. ②④
三、解答题：
17.【解】f(x)＝cos x，－·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cos sin 2x－sincos 2x
＝sin2x－.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝π，即x＝时，f＝，
∴f(x)的最小值为－.
因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.
18.【解】　(1)由已知得2S3＝S1＋S2，
∴2(a1＋a2＋a3)＝a1＋(a1＋a2)，
∴a2＋2a3＝0，an≠0，
∴1＋2q＝0，∴q＝－.
(2)∵a1－a3＝a1(1－q2)＝a1(1－)＝a1＝－，
∴a1＝－2，∴an＝(－2)·(－)n－1＝(－)n－2，
∴nan＝n(－)n－2.
∴Tn＝1·(－)－1＋2·(－)0＋3·(－)1＋…＋n·(－)n－2，①
∴－Tn＝1·(－)0＋2·(－)1＋3·(－)2＋…＋n·(－)n－1，②
①－②得
Tn＝－2＋[(－)0＋(－)1＋(－)2＋…＋(－)n－2]－n·(－)n－1
＝－－(－)n－1(＋n)，
∴Tn＝－－(－)n－1(＋n).
.
19.【解】(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．

又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.
因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，
＝(2，0，2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则
即
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m为平面A1CE的法向量，则
可取m＝(2，1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角D－A1C－E的正弦值为.
20.【解】
(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆的方程有＋＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，
可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)( x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
21.解：（1）的定义域为

①当时，的增区间，减区间
②当时，的增区间，减区间和
③当时，的减区间
④当时，的增区间，减区间
（2）原不等式化为，即 ，，
由（1）知
即，解得
结合得
22.解：(1)消去参数θ，得圆C的普通方程为(x－)2＋(y－1)2＝9.
由ρcos(θ＋)＝0，得ρcosθ－ρsinθ＝0.
∴直线l的直角坐标方程为x－y＝0.
(2)圆心(，1)到直线l的距离为d＝＝1.
设圆C截直线l所得弦长为m，
则＝＝＝2.
∴m＝4.

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