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数学抽象及其在教学中的应用

摘 要：抽象性是数学的基本特点之一，所有的数学知识可以说都是经过抽象得到的，因此了解数学抽象的特殊性以及如何在小学数学教学中有效应用数学抽象方法就显得十分必要。教师在教学中应充分认识数学抽象的内涵、分类、教育价值，研究数学抽象在小学数学教学中应注意的问题，如发挥表象的作用，及时抽象概括，注意抽象的层次性以及重视语言在数学抽象中的作用等，使学生逐步感悟数学抽象的思想。
关键词：数学抽象 方法 教学 应用 思想

抽象性是数学的基本特点之一，所有的数学知识可以说都是经过抽象得到的，小学数学中的知识和方法亦是如此。数学抽象也是一种基本的数学思想。学生学习数学，不仅是要学习那些由前人抽象概括形成的数学知识，同时还要学习形成知识的抽象概括的方法。了解数学抽象的特殊性以及如何在小学数学教学中有效应用数学抽象方法就显得十分必要。本文将在分析数学抽象的内涵、分类、教育价值的基础上，探讨数学抽象在小学数学教学中的应用。
一、数学抽象的内涵和分类
1.数学抽象的内涵。
“抽象”一词源于拉丁语“abstracio”，其本意是排除、抽取的意思。现在人们对抽象的理解一般有两种，一种是用来形容那种远离具体经验，因而不太容易理解的对象性质的程度；另一种是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法。后者反映出抽象是一种思维活动。
抽象性是数学的基本特点之一，抽象也是数学活动最基本的思维方法。作为方法的数学抽象抽取的是事物在数量关系和空间形式等方面本质属性，进而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。
2．数学抽象的分类。
数学的一切活动，从概念到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学体系所用的公理化方法，在实际应用中的数学模型方法，小到一个概念的给出，一个计算过程的建立，一个证明技巧的发现，甚至于一个问题的表征都需要用到数学抽象。由此也可以看出数学抽象是多种多样的，也是多层次的。了解数学抽象的分类有助于我们在教学中抓住抽象的重点和关键。
数学抽象根据抽象对象的性质可以分为“表征型抽象”“原理型抽象”和“建构型抽象”。对事物所表现出来的特征的抽象，称为“表征型抽象”。例如三角形、正方形、圆、立方体、轴对称等概念都是“表征型抽象”的结果。对事物内在因果性、规律性、关系性的抽象，称为“原理型抽象”。例如乘法分配律、三角形内角和为180º等基本数学关系都是“原理型抽象””的结果。而建立在这些抽象基础上的数学建构性活动称为“建构型抽象”。如定义质数和合数的概念的活动就是“建构型抽象”。
数学抽象还可以从抽象过程的特征上分为“理想化抽象”“等置抽象”“弱抽象”和“强抽象”。理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象的思维过程，理想化抽象得出的数学概念包含了对于真实事物或现象的简化和完善化，因而这些概念与现实原型本身未必完全相符，如线段、射线、直线等概念都是理想化抽象的结果；又如，在解决实际问题的时候，往往用线段图来表示题目中的数量关系，而线段图也是理想化抽象的结果。理想化抽象也可以通过引进理想化元素来发现数学理论，如虚数概念的建立。等置抽象是指依据某种等价关系抽取一类对象共同特征的抽象方法。如从三个苹果、三棵树、三枚棋子……这些在数量上具有共同特征的事物中抽取出“自然数3”这一概念，就是等置抽象。弱抽象也可以叫做概念“扩张式抽象”，即由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。如对于长方形的概念来讲，如果只保留“两组对边分别相等”的属性，而舍弃“角”方面的特征，则可抽象出“平行四边形”的概念，这个过程就是弱抽象。强抽象也可以叫做“强化结构式抽象”，即通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。如在一般三角形概念上引入“两条边相等”，就抽象出特殊的“等腰三角形”这一概念，这个过程就是强抽象。
从思维过程上来看，弱抽象是“特殊到一般”的归纳推理过程，这个过程比较直观，比较贴近学生的思维水平，有利于学生的理解，适合学生自主学习；强抽象则是“一般到特殊”的演绎推理过程，这个过程比较直接，但是不易理解，对学生的思维水平要求较高，需要教师进行讲解指导。
二、数学抽象的教育价值
数学抽象由于抽象的对象（概念、模型、理论体系等）和过程的不同，体现出不同的层次性，例如自然数、整数、有理数、实数、复数等概念的抽象性，几乎是逐步提高的。一般说来抽象水平越高，反映出人们抽象思维能水平也越高，相应的民族文化发展水平也越高。因此，对教师而言，引导并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象，提高他们的思维水平，促进他们智慧发展，是数学教育的重要任务。
1．数学抽象可以帮助学生更好地体会数学的本质。
数学抽象方法虽然多，但是这些方法实质上都是一种构造活动，是借助于定义和推理进行的逻辑建构。这里的逻辑建构是借助于明确的定义逻辑地构造出相应的数学对象，这样的方法使得数学对象能够由内在的思维活动转化为外在的独立存在，从而形成为一种“客观的知识。例如，倍数和因数是两个整数在有整除关系的基础上构造出来的概念。
通过数学抽象这一构造活动，不仅可以让学生经历数学知识产生的过程，还有助于让学生体会数学知识本身的量化、形式化、模式化和理想化的特点，逐步形成“数学是关于模式的科学”的数学观和初步的“模型思想”。
2．数学抽象可以帮助学生体会数学知识之间的层次性和结构规律。
通过数学抽象可以帮助我们找出数学概念和定理的原型，真正弄懂它们的含义，掌握数学知识的来龙去脉，并洞察知识形成过程的全貌，这有助于我们了解概念层次结构中各步骤的难易程度，看清概念的结构，从而进一步理解这些数学知识之间的关系及其抽象的过程。例如，从因数到最大公因数这是一个强抽象的过程；2、3、5的倍数的特征是原理型抽象的结果。
一般来说，人们先认识的一些较为具体直观的事物对象，如果其内涵丰富，往往会成为弱抽象的原型；反之，如果内涵非常贫乏或者不够丰富，则会成为强抽象的出发点。当我们认识到这一规律后，在今后的学习中遇到一个概念，可以就其性质特征加以追问、反思和抽象，提高抽象思维的水平。例如当学生学习平行四边形时，我们可以追问“四条边都相等的平行四边形是什么图形？（菱形）四个角都是直角的平行四边形是什么图形？（长方形）”这样的过程实质上就是强抽象的过程。
3．数学抽象有利于培养学生的抽象概括能力，发展思维能力。
思维最显著的特征就是概括性。思维之所以能揭示事物的本质和内在规律性的关系，主要来自抽象和概括，对事物的认识只有经过抽象概括才能由感性上升到理性。
概括是指从某类事物中的个别对象具有某种特有属性推广到该类事物的全体对象具有这种特有属性的思维过程。例如，从下面的图片中排除颜色、大小等非本质属性，取出事物中的空间形式这是抽象，然后根据抽象出的不同大小的图形，再找出其共同的属性，建立梯形概念，这个过程就是概括。由此可见，在数学抽象的过程中，概括也起着至关重要的作用。

可以这样说，数学中的任何一类数、一种运算、一个概念、一个法则，都是抽象概括共同作用的结果。如果说抽象重在分析、提炼，那么概括则侧重于归纳、综合。可见，抽象是概括的基础，没有抽象就不可能有概括，而概括有有助于抽象，它能使抽象而来的特有属性推广到研究对象的整个类中去。当抽象概括水平越高，知识系统性就越强，迁移就越灵活，一个人的智力和思维能力就越发展。
三、数学抽象在小学数学教学中的应用
小学数学中的概念、运算、性质和法则等都是通过数学抽象逐步在学生的头脑中建构起来的，因此，提高数学抽象方法使用的有效性，让学生能够通过数学抽象建立正确的数学知识就显得尤为重要，下面来谈谈数学抽象在小学数学教学中的应用。
1.数学抽象时要充分发挥表象的作用。
表象是感性认识的一种高级形式，它是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁，因此在概念形成、计算法则和公式的推导过程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常关键的，这为进一步高水平的抽象概括提供了基础。
例如，在认识平行四边形的时候，为了便于抽象概括出其“两组对边相等”“两组对边分别平行”等本质特征，可以提供给学生如下典型图形充分感知、观察比较后，思考这些图形共同之处，然后再抽象概括。

这里典型图形不一定只有一种，可以是多种多样的，这样有助于让学生建立比较丰富的平行四边形的表象。但是目前的大多数小学数学教材中认识平行四边形一课中所呈现的素材中并没有给出长方形和正方形（可能考虑到学生认知规律的原因），因此常导致学生产生片面认识，即平行四边形的四个角不能是直角，这正是提供的表象不全面导致的。为了避免这样的问题产生，在选取表象的时候，一定要考虑全面。
2．数学抽象要把握时机，及时抽象概括。
在对具体事物充分感知，形成表象后，就要把握好时机，及时抽象概括了，这样才能使感性认识上升到理性认识，提高学生的思维能力。试想，如果不及时抽象概括，那么学生的思维水平必然停留在表面的、肤浅的、零碎的外部现象上，对事物的认识就不能够深入下去。
例如，在认识线段的时候，先让学生“把线拉直”，发现毛线两头拉紧后，中间一段是直直的。然后引导学生在不看实物的情景下，想象出拉直后毛线的状态，并把头脑中形成的图像画下来，以此抽象出线段的概念。这里的抽象概括是建立在学生充分操作、想象的基础上的，时机是恰当，也是及时的。
3.数学抽象要注意层次性。
小学生的抽象能力是随着年龄的增长而逐步发展着的，是从抽取事物外部特征逐步发展到抽取事物本质特征的，是从借助于具体事物进行较低层次的抽象，发展到借助于表象或者数学概念的较高层次的抽象，这种发展需要教师的指导和点拨。
例如，研究轴对称图形时，教师先通过一些具体的轴对称物体抽象为轴对称图案，再抽象为具体的轴对称图形，最后抽象出“对折之后完全重合的图形叫做轴对称图形”这一概念，其中的层次性显而易见。
又如，加法交换律的教学，教师先从具体情境“朝三暮四”的故事中抽象出数量关系“3+4=4+3”，再通过一组这样的等式抽象概括出“交换加数的位置和不变”这一结论，最后用抽象的字母表示为“a+b=b+a”。这种抽象的层次性符合学生认知从具体到抽象、特殊到一般的发展规律，便于学生理解和接受。
4.重视语言在数学抽象过程中的作用。
数学抽象的结果是形式化的，多数是用词、词组和句子来表达的，任何一个数学概念、法则的推导过程也是要借助于语言的指导和帮助的，因此要重视语言在数学抽象过程中的作用。
在数学抽象过程中使用语言，一般有两个作用，一是加工调节作用，通过语言表达，让感知对象的特征更加清晰，表象更加明确精细，这样有利于后续的抽象。二是概括作用，通过语言将抽象出来的结论表达出来，给它命名，或者给出一个结论，便于学生理解和记忆。
例如异分母分数计算的法则是：“异分母分数相加减，通常先通分，再按同分母分数的加减法计算。”把抽象的计算过程简洁明白地表达出来，不仅使学生易于掌握，而且还可以培养学生的数学语言。
抽象是基本的数学思想。数学抽象方法是数学化的一般方法，是数学学习过程中必定要用到的数学方法。教师在教学中要精心设计数学知识逐步抽象概括的过程，引导学生逐步感悟抽象思想。

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