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数学的理性认知与感性经验
美国数学家柯朗和罗宾认为：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。”【1】数学严密的逻辑体系决定了数学学习要“依靠学生的理性思维而达到对数学知识的实质性理解。”【2】然而，当我们以儿童的视角去关照小学生的数学思维活动时，会发现他们的思维是以具体形象为主的，这就带来了他们的数学学习具有较强的直观性，充满了感性的色彩。杨庆余教授认为：“儿童认知数学的起点并不是科学的数学，而是他们在自己的生活实践中形成的经验。也就是说，儿童的数学活动是从观察日常现象开始，用特征归纳来进行的。”【3】综上所述，数学学科的理性诉求和学生（特别是小学生）认知的感性方式之间似乎存在着矛盾。然而笔者却认为，这看似矛盾的两者之间也存在着相互依存、相互促进的关系，它们是一对矛盾统一体。在小学数学教学中，只有正确理解和处理好学生认知的“感性”和数学思维的“理性”这一对矛盾统一体的关系，才能帮助学生真正理解数学，形成深度的学习。
一、“理性认知”需要根植于“感性经验”
著名教育家陶行知先生有过一个精辟的比喻：“接知如接枝。”他说：“我们要有自己的经验做根，以这经验的形态所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识才成为我们知识的一个有机部分。”[4]曾经有一个广告也很形象地表达了这个观点。广告大意是：一个小女孩被一道一位数的减法难住了，结果爸爸拿出了与被减数个数相同的果冻，让这个小女孩一边吃一边做题，结果这个女孩顺利地解决了问题。这是一个在现实学习中确实存在的现象。这些都表明，有效的教学活动应该是一个从学生已有的感性经验出发，通过观察、交流、实验、猜测、验证、推理等一系列数学思维活动，促进学生逐步实现“数学化”，直至形成“理性认知”的过程。换句话说，离开学生的感性经验做基础，任何的理性认知就会无处附着，既不可能牢固，也不能真正进入理解状态。作为一名数学教师，必须要准确地分析学生的认知起点，并巧妙设计教学活动，激活学生的感性经验，并在此基础上开展教学。
（一）及时安排操作，激活生活经验
生活中处处有数学。学生在日常生活中潜移默化地积累了一些数学经验，虽然这些经验还没有转化为数学知识，但是这种经验对于学生深刻理解和掌握数学知识起着非常积极的基础作用。譬如，学生虽然不能准确说出长方体的特征，但是却能凭借生活经验，运用直觉大致判断哪些物体是长方体。学生能根据12根小棒（3组，每组4根）拼搭出长方体，但是却不能自发地归纳出长方体棱的特征。这就表明，日常积累的生活经验具有数学因素，是儿童学习数学的重要基础，但它与数学知识是有距离的，不可能由此自发地形成数学知识，完成数学认知的系统发展。
教师在数学教学中，需要激活学生已经积累的日常生活经验，以作为数学知识教学的基础。例如，在《长方体和正方体的认识》一课中，为了帮助学生探究长方体“相对的棱长度相等”的特征，我们可以给学生提供四种颜色的小棒（相同颜色的小棒长度相同，不同颜色的小棒长度不同）和一些接头，让他们自主选择小棒，拼搭成一个长方体模型。在学生成功地拼搭出长方体后，适时追问：为什么不选白色的小棒？（只有3根）黄色小棒有6根，为什么你只选4根？并且，教师故意将三根红色小棒插在一个三维接头上：“老师也在尝试搭一个长方体，却没有搭成功，你能帮我分析一下是什么原因吗？”要想成功地拼搭一个长方体，学生必须调动已有的对长方体的认知经验，并运用经验进行筛选、尝试、调整、反思……成功的拼搭过程，就是学生对长方体棱的本质属性通过操作逐步形成清晰表象的过程。而随后的交流和讨论过程，更加深了学生对棱的条数、位置、长度等特征的深刻理解。
(二)自觉正向迁移，激活直接经验
“为迁移而教”已经成为一种教学共识。迁移分为正迁移和负迁移（即干扰）。教师在教学中利用正迁移完成教学的例子不胜枚举。例如，在教学三位数乘两位数时，可以先复习两位数乘两位数的计算，激活两位数乘两位数的计算经验，然后将其中的两位数变成三位数，再让学生尝试计算。学生就很自然地将两位数乘两位数的经验顺利地迁移到三位数乘两位数中。再如，在学生理解了一位小数表示十分之几的基础上，再教学两位小数、三位小数的意义，学生就能自然将一位小数的意义进行迁移，得出两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几。这样的迁移，就是借助原有认知的基础作用，形成认知过程的“顺势下滑”，实现认知的顺应。
（三）转化负面迁移，激活思维经验
负迁移一般对新知教学起干扰作用，应当加以避免。但是，只要巧妙利用，有的时候利用负迁移也能转化为正方向的教学效果。例如，《认识公顷》的教学导入，大多数教师都采用“填面积单位”的方式，先分别让学生填写电话卡表面、数学书封面、教室占地的面积单位。接着出示“学校的占地面积是2（ ）”，这时总有一些学生会迅速喊出“平方千米”这个单位。这是学生根据已有知识正常迁移的结果，因为学生已经学习了“千米”这个长度单位，知道这个单位比其他几个长度单位大，自然联想到“平方千米”这个单位。此时，教师若采取回避或简单否定的教学方法都是不可取的，应该顺势利导：大家凭着直觉推想到了一个新的面积单位──平方千米，你认为1平方千米有多大呢？我们的学校是个长方形，它的长和宽和1千米相比怎样？在这里，我们利用“负迁移”既自然地引出新知——公顷，又强化了类比推理、反思校正等数学能力的培养。
二、“感性经验”必须上升为“理性认知”
数学学习是透过“数学现象”研究“数学本质”的过程。以小学生现有的认知水平和知识基础，还不足以独立完成这个认知过程，需要教师的有效引导。教师要在学生的“感性经验”与“理性认知”之间搭建一个桥梁，引领他们通过不断地尝试、探索和反思，逐步感悟数学的本质，最终完成从“感性”到“理性”的认知蜕变。
（一）关注过程，凸显理性本质
要实现对数学知识本质的理解，需要做到三个关注：一是关注知识的生长、发展过程，二是关注学生思维发展的过程，三是关注知识的运用过程。例如，《两步混合运算》一课，显性的目标是掌握先乘除后加减的运算顺序和递等式的计算方法，但仅仅告诉学生运算顺序的规定是不够的，学生往往对“为什么要先乘除”不能理解。对于“为什么要先乘除”，教师可以借助解决两步计算的实际问题，帮助学生理解。教师可以展示将两个分步式合并成一道综合算式的过程。比如，3×8=24，24+36=60（或36+24=60）→3×8+36（或36+3×8）。这样的算式合并，不仅让学生理解综合算式的由来，也让学生感悟到“24”和“3×8”的对等、替换关系，对先算“3×8”也就有了认可。为了进一步帮助学生理解，教者还可以出示类似“8+3+3+3+3+3+3+3”的算式，让学生计算，学生自然会把它转化成“8+3×7”计算，通过转化，学生对为什么要先算高一级的“乘法”会产生更深刻的感悟。
（二）引导反思，强化理性思维
教师在教学中，往往对如何解题下足功夫，似乎问题获得解决，就可以大功告成。但是，“如果在获得结论后就此终止，不对获得结论的过程进行回顾和反思，那么，数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半；如果在得到结论后能对思路进行检验和自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以使对数学理论的认识上升到理性水平，事半功倍。”【5】所以，在教学中，我们要有意识地引导学生通过反思去提炼解题思路，分析思维过程，总结策略方法，剖析问题本质……这对学生形成对数学的理性认知，形成良好的数学思想具有重要的意义。比如，在学生运用画图、列表、计算等方法解决“鸡兔同笼”的问题后，教师不能满足于问题的解决，而是要引导学生对这几种方法进行对比，让学生发现这几种方法的共同之处，都是“先假设，再替换”，而其中，“假设”是最重要的，没有假设，就没有问题的解决。只有学生通过反思，比较概括，形成理性认识，才能使数学学习达到深度的理解。
（三）组织辨析，深化理性思考
数学学习中，学生的思维经历由感性到理性认识的过程，还需要经过适当的比较、辨析，排除似是而非的模糊认识，走向理解掌握的康庄大道。比如，教学两步混合运算时，对于“为什么递等式的第一步要按顺序将数照抄下来”，我们也不能一味地只是强调规定，而是要适当变式，引导学生比较、辨析。要让学生不断调整方法，最终形成优化策略。教师可以先出示如36+3×8的算式让学生练习。这样学生中会出现两种做法：一是36+3×8=36+24=60，二是36+3×8=
24+36=60。因为结果相同，所以对两种列式计算学生一般都会认可。教师可以接着变化为减法，出示36-3×8。学生在其后的计算中会发现，在第一步脱式计算时，只能写成36-24，而不能写成24-36。这时，教师就可以提出问题：“在脱式计算时，怎样规定才更合理？”这样的比较、辨析为学生认同和接受规则提供了意义支撑。
三、“感性经验”和“理性认知”需要通过综合应用实现良性互促
人的认知由感性经验开始，经过提升、抽象，上升形成理性认识。理性认知比感性经验具有更大的涵盖范围，并达到较为深刻的认知程度，形成一定的穿透力。但无论是感性经验还是理性认知，一维的直线式认知往往还不够牢靠，还得经过必要的巩固和检验。这种巩固和检验，常常是迂回式的过程，体现感性经验与理性认知之间的往复运动与相互作用，继续延伸着学习认知推进的历程，成为一个辩证的发展过程。其间，感性经验要为理性认知作支撑，理性认知也对感性经验加以筛选、分类、合并、概括、提升等，越加自觉地积累感性经验。对于数学教学来说，这样的认识阶段其实就是运用性练习过程。学生通过必要而扎实的练习，才能统整感性经验和理性认知，完成二者的协调和完美结合，发展辩证统一关系。
运用性练习过程具有多方面的学习意义：一是为了强化知识信息的刺激，避免遗忘，知识信息的保持由瞬时记忆转化为长效记忆，达到持久地保持的状态；二是为了显示其价值，让学生感受知识信息的作用，真切地体验到知识有用；三是为了进一步鉴别、检验其真伪，加强认知的确定性程度；四是为了拓展，形成多方面的综合联系，使得学生对知识信息的把握获得突破，体验诸多变式灵活地适应变化。
例如，《长方形和正方形的认识》教学，首先调集学生的感性经验，让学生观察门窗、课本封面、方桌面、黑板等事物的形象，舍弃具体的材质、颜色、大小、位置、作用等非本质元素，留下四条边围成、四个角都是直角的图形表象。这就是由感性经验初步形成的理性认知。之后，教学还并未停止。除了出现各种大小、形状、位置变化了的图形，以作识别练习外，教学还进一步发展：（1）通过折纸操作等渗透变化的观念，将长方形中宽边延长与长边相等，或者将长边缩短与宽边相等，长方形就变成正方形，认识正方形是特殊的一种长方形，即为邻边相等的长方形；(2)用若干个小的正方形纸片拼摆成一个大的长方形；(3)分别量出教室地面长方形和课本长方形的长和宽；(4)尝试找出大小国旗中的长方形，感悟形状相似的规律性等。经过这样的练习，引导学生把对方桌、课本、黑板等实物感知经验，与“对边相等、四个角都是直角的四边形”建立实质性联系，也才能用对长方形和正方形的理性认知观照、指引感性经验积累。
数学学习中的“感性经验”和“理性认知”充满了辩证统一的关系。数学认知虽然充盈着“理性精神”，但是它绝离不开“感性经验”的支撑；而“感性经验”如果不加以挖掘提炼，也绝不可能成为“理性的数学”。而且，数学认知一旦纳入到学生个体的认知体系中，就有可能转变为进一步学习的“感性经验”，为进一步探寻“理性数学”而发挥后续的积极影响。