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双曲线提高训练题（含详细答案）

1．[2011·银川一中月考] 与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
2．[2011·山东省实验中学二模] 如图K49－1，已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为(　　)

图K49－1
A. B. C. D.
3．[2010·辽宁卷] 设双曲线的—个焦点为F，虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4．[2011·佛山一检] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
5．[2010·福建卷] 若点O和点F(－2,0)分别是双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
6．[2010·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
7．[2010·课标全国卷] 已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程式为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．1＋
C. D．1＋
9．点P在双曲线上－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知双曲线－＝1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．
11．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长为__________．
12．[2011·全国卷] 已知F1F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________.
13．[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
14．(10分)[2011·湖北八校一联] 如图K49－2，已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(1)求k的取值范围，并求x2－x1的最小值；
(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．

图K49－2

15．(13分)已知两定点F1(－，0)，F2(，0)，满足条件|PF2|－|PF1|＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A，B两点．如果|AB|＝6，且曲线E上存在点C，使＋＝m，求m的值和△ABC的面积S.

16．(12分)[2011·黄石调研] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，直线x＝(c＝)与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又＝2，·＝2，过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：B、P、N三点共线；
(3)求△BMN面积的最小值．

1．B　[解析] 椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．因为点P(2,1)在双曲线上，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求的双曲线方程是－y2＝1.
2．B　[解析] 根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，即2a＝λ2c，即λ＝＝.
3．D　[解析] 设F为左焦点，结合图形可知kFB＝，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k＝－，则有＝－1，即b2＝ac＝c2－a2，整理得c2－ac－a2＝0，两边都除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝，由于e>1，故e＝.
4．B　[解析] F(2,0)，即c＝2，设P(x0，y0)，根据抛物线的定义x0＋2＝5，得x0＝3，代入抛物线方程得y＝24，代入双曲线方程得－＝1，结合4＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，故双曲线的渐近线方程是x±y＝0.
【能力提升】
5．B　[解析] 因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)，则有－y＝1(x0≥)，解得y＝－1(x0≥)．因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋2)＋y＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－，因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)．
6．B　[解析] ∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，则在双曲线中有a2＋b2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线－＝1的渐近线为y＝x，∴＝②，联立①②解得所以双曲线的方程为－＝1.
7．B　[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，双曲线方程为－＝1.∵AB过F，N，∴斜率kAB＝1.
∵－＝1，－＝1，∴两式相减，得－＝0，∴4b2＝5a2，又∵a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.
8．B　[解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则＝c，即p＝2c，抛物线方程为y2＝4cx，根据题意－＝1，y2＝4c·c，消掉y得－＝1，即c2(b2－4a2)＝a2b2，即c2(c2－5a2)＝a2(c2－a2)，即c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝＝3＋2，故e＝1＋.
9．D　[解析] 不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，则4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，由2|PF2|＝2c＋|PF1|，且|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF1|＝2c－4a，|PF2|＝2c－2a，代入4c2＝|PF1|2＋|PF2|2，得4c2＝(2c－2a)2＋(2c－4a)2，化简整理得c2－6ac＋5a2＝0，解得c＝a(舍去)或者c＝5a，故e＝＝5.
10．y＝±x　[解析] 根据已知|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a，所以＝2，＝.
11．4a＋2m　[解析] 由⇒|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋m.则△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
12．6　[解析] 根据角平分线的性质，＝＝.又－＝6，故＝6.
13．2　[解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C：－＝1上，则－＝1.又由于2c＝4，所以a2＋b2＝4.解方程组 得a＝1或a＝4.由于a－x1取最小值为2.
(2)由已知可得A1，A2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
∴k1＝，k2＝，
∴k1k2＝＝
＝
＝
＝＝，
由①，得m2－k2＝1，
∴k1k2＝＝－(3＋2)为定值．
15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线的左支，
且c＝，a＝1，易知b＝1，
故曲线E的方程为x2－y2＝1(x<0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组
消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有
解得－
＝·
＝·
＝2，
依题意得2＝6，整理后得
28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝，又－破】
16．[解答] (1)由题意得解得
∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可知得点B(1,0)，设直线l的方程为：x＝ty＋4，
由可得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则P(x1，－y1)，
所以所以＝(x1－1，－y1)，＝(x2－1，y2)，
因为(x1－1)y2＋y1(x2－1)＝x1y2＋y1x2－y1－y2
＝2ty1y2＋3(y1＋y2)
＝2t＋3
＝0，
所以向量，共线．所以B，P，N三点共线．
(3)因为直线l与双曲线右支相交于M，N，
所以x1x2＝(ty1＋4)(ty2＋4)>0，所以t2<，
S△BMN＝|BF||y1－y2|＝＝，
令u＝1－3t2，u∈(0,1]，
S△BMN＝6＝6
＝6，
由u∈(0,1]，所以∈[1，＋∞)，
当＝1，即t＝0时，△BMN面积的最小值为18.