第五讲数列通项与数列求和.doc

第五讲 数列通项与数列求和
【基础回顾】
一、基础知识：
1．等差数列与等比数列求通项：（1）紧扣定义 （2）基本量：首项，公差（公比）
2．已知数列前项和求：
3.解决其他数列通项的常用方法（一般高考只限于一阶递推）：
（1）累加法：求形如的通项，利用恒等式

（2）累乘法：求形如的通项，利用恒等式
（3）转化法：通过变换递推关系，，将非等差（比）数列转化为与等差（比）数列有关的特殊数列。
①凑配法：
形如为常数，凑配变成
形如为常数，左右凑配变成与同类型的代数式
如凑配变成：,再利用待定系数法求A、B
如
凑配变成：，再利用待定系数法求A、B、C 。 ……
②倒数变换：形如为非零常数）变换为：
③对数变换：形如，
④换元变换：形如（除利用①的凑配法外，可变换成 令转化为：
4．数列求和
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式： ，， .
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
如：已知，则＝___
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，
； ……
【基础达标】
（1）如数列中，对所有的都有，则______
（2）求和：
（3）数列中，且则=
（4）已知数列满足且，则 182
（5）若数列各项为正， 则
【典型例题
例题1：已知数列前n 项和，且，数列是公差为2的等差数列。
（1）求的值（2）设求数列的通项公式（3）求数列的通项公式

例题2：已知数列满足：,其中t为常数，且不为0。（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式
（3）当设求数列的前n项和，并求的最小值

例题3：设数列的前项和为．已知，，．
（1）设，求数列的通项公式；（2）若，，求的取值范围．

例题4. 已知函数,是力程以的两个根(α>β),是的导数,设 1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和.

【巩固练习】
1.数列{an}的前n项和为Sn=npan (n∈N*）且a1≠a2，则常数p的值为
2. 在小于100的正整数中被3除余2的所有数的和是 。
3.在等差数列{an}中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，则此数列的前13项之和等于 。
4. 在数列中，，其中a、b为常数，
则ab=______________.
5. 设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是_________
6.数列中， ，则
7.如果函数满足：对于任意的实数，都有，且，则　　　　　　。
8. 在等差数列{an}中，已知公差d＝5，前20项的和S20＝400，则(a22＋a42＋…a202)－(a12＋a32＋…a192)＝ ．
9.方程的根称为的不动点，若函数有唯一不动点，且，则
10.设函数的导函数，则数列的前n项和

11.已知两个等比数列，满足，（1）若求数列的通项公式（2）若数列唯一，求的值

12. 在数列中，，，．
（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和；
（3）证明不等式，对任意皆成立．

13. 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为其中为正实数.
（1）用xx表示xn+1；
（2）若a1=4，记an=lg，证明数列成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

14. 在数列中， （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）令求数列的前n项和；(3) 求的前n项和.

【拓展提高】
★1.已知数列{an}满足an+2+an=an+1(n∈N+), 且a2=1，若数列{an}的前2008项之和为2008，则前2009项之和为 。
★2.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等差数列，将这n+2个数乘积记做，再令，
（1）数列的通项公式（2）设求数列的前项和

【总结反思】

第五讲 数列通项与数列求和
【基础达标】（1）（2）（3） （4）182（5）
【典型例题】
（1）解：（1）数列是公差为2的等差数列
即①
又，
（2）由得 代入①得
即，又
数列是首项为-1，公比为的等比数列。
数列的通项公式为
（3）由（2）得，
例2解：（1）由已知得，即
由知

即
为等差数列
（2）由（1）得
（3）
得
当 时，随n的增大而增大。即
例3：（Ⅰ）依题意，，即，
由此得 即：
当时，是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为
，
当时，仍适合上式
因此，所求通项公式为 ，．
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，
，
故，
当时，．
又．
综上，所求的的取值范围是
例4：(1)求根公式得,
(2) 又

∴数列是首项,公比为2的等比数列
∴

【巩固练习】（1）（2）1650 （3）26 (4)-1 (5)8204 (6)32 (7) (8)2000
(9)(10)
（11）解：(1)或 （2）
（12）（1）证明：由题设，得，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
（2）解：由（Ⅰ）可知．所以数列的前项和．
（3）证明：对任意的，
．所以不等式，对任意皆成立．
（13）解：（1）由题可得．在点处的切线方程是：．即．即．
显然，∴．
（2）由，知，同理．
　　　故．从而，即．所以，数列 成等比数列．故．即．
从而 所以
（14）解：(1)由条件得,又n=1时,
故数列构成首项为1,公比为的等比数列.
从而即.
(2)由
得
两式相减得
所以
（3）由得

所以.
【拓展提高】
（1）2007
（2）解：(1)
(2)提示：
由得
得：