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解析中考二次函数 二次函数是初中教学的主干知识，也是中考重点考查的内容。各种题型中均易出现，大约占到左右的分值，选择题、填空题一般考查基础知识，较容易；而综合题中以二次函数为主干的则较灵活，除考查相关基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数型结合思想的运用能力及探究能力，多以压轴题出现，有一定难度。现就几例中考题，站在前人的肩膀上以中考的眼光为广大奋战在中考一些线的师生们总结如下：考点一：二次函数的图象性质例1 （09湖州）已知抛物线 (0)的对称轴为=1,且过点(-1,)，(2,)，试比较和的大小：（填“” “0, 当1时,随的增大而增大, ,即 评析：此题考查了对称性、开口方向、增减性等知识，因为两点不在对称轴x=1的同一侧，不能直接运用二次函数增减性质来判断，所以需根据二次函数对称性将其中某一点作关于对称轴对称的点，利用等效替换与二次函数的增减性便可判断大小。二次函数图象性质的考查多以基础题出现，一般难度不大，此题考查了二次函数的一般形式，另外顶点式与交点式的对称轴、开口方向、增减性以及顶点坐标等也需注意。具体的可由下表得出：二次函数形式开口方向对称轴顶点坐标 0开口向上0时 二次函数有最小值，为顶点坐标的值 2）0时 在对称轴左侧随的增大而减小, 在对称轴右侧随的增大而增大 2）0时 在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小教学与复习时需要找出具体的例子画出图象理解了此表，并且注意各个性质间的综合应用，而不是死记该表格的内容。考点二：二次函数的图象特征与及的关系例2（09孝感）小明从如图所示的二次函数的图象中得到了下面五条信息：（1）0;(3) -+0;(4) 2-3=0;(5) 4+2+0 你认为其中正确的个数有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5解：图象与轴负半轴相交 0 ；又对称轴在轴右侧与异号0；=-1及=2时图象均在y轴上方-+00，4+2+0;-=2-3=0且02+30 （1）（2）（3）（5）正确 答案：C 4个评析：此题主要考查了对称轴位置、开口方向、图象与y轴交点等与及的关系，解答时要注意数型结合。根据二次函数图象确定有关代数式符号是二次函数考题中一类典型的数形结合问题，需要一定的数形结合思想的运用能力。此类题型主要考查二次函数图象特征与及的关系，具体的可由下表得出：参数参数符号图象特征 0开口向上 有最小值0(与同号)对称轴在轴左侧 -00=0经过原点 二次函数解析式：0与轴正半轴相交0与轴有两个交点:0向右平移个单位0向右平移个单位0向左平移个单位0向上平移个单位0向上平移个单位0向下平移个单位0时，方程有两个不相等的实数根，此时当，即=0时，方程有两个相等的实数根，此时当，即时，方程没有实数根，此时（2）由题知且即得 由（1）知， 二次函数，其与轴交点（0，2） 顶点(设直线CM的解析式为则，所以直线CM解析式为。评析：一元二次方程解得情况可据判别式及二次函数与x轴交点情况来确定，具体二次函数图象与一元二次方程解的关系可由下表得到；此类题型还需注意的是韦达定理的灵活运用，此题求函数解析式可据已知条件由根与系数的关系，得到关于的方程从而求出的值，得到二次函数解析式，进而解出直线解析式。判别式有两个不相等的实数根：有两个相等的实数根：没有实数根韦达定理（根与系数的关系）：若抛物线与x轴两个交点分别为A,B则： 考点六：二次函数的实际应用例6 （09武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月销售利润为元。（1） 求与的函数关系式并直接写出的取值范围；（2） 每件商品的售价为多少时，每个月可获得最大利润？最大利润为多少?（3） 每件商品售价为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元。解：(1) 且为整数） （2），当时，有最大值2402.5且为整数，当时，=2400元；当时，=2400元。当每件商品的售价为55元或56时，每个月的利润最大，最大利润为每月2400元。（3） 当=2200元时，即解得：当每件商品的售价为51元或60时，每个月的利润为2200元。据二次函数图象性质知：当时，且为整数，每个月的利润不低于2200元，即售价在51元到60元（包括51，60）且为整数时，每个月的利润不低于2200元。评析：二次函数的实际应用是常见题型，尤其是经济类求最值题型，另外求面积最大，耗材最小等也是不可忽视的。解决这类问题要根据题意建立二次函数模型，再利用二次函数相关性质求解，但要注意自变量的实际意义。这也是二次函数实际应用的思维过程。对于该题中的第一题可用一个表格来分析各个变量间的关系：原利润涨价现利润销量总利润50-40=1050+-40210-10（50+-40）（210-10）有了这个表格，就可轻松解决此题了; 第二题取时利用了二次函数的对称性质（第三题也用到），根据的实际意义取最大利润；第三题则可画出草图，直接观察图象求解（也属于一元二次不等式求解）。需要注意的是在解决二次函数实际应用时不能忘了考虑自变量的实际取值范围。另外下面两个例题也是值得注意的：例7 已知抛物线中，当时，随的增大而增大，求。解：当时，随的增大而增大 图象为抛物线 又 评析：此题考查了二次函数的定义，对于二次函数定义我们可以从下面两方面来理解：二次项系数不为0，此题中要求 自变量最高次数一定二，此题中要求 对于此题还需根据二次函数图象性质与之解答。例8 求函数的最小值，属于全体实数。解：令则函数= 的系数为10 函数有最小值：= ，此时=，所以当时，为最小值， =评析：解答此题时需细心观察利用换元将一元四次函数换为我们熟悉的一元二次函数，再利用二次函数相关性质进行解答，但要注意的是换元以后自变量的取值范围。另外此题还可以画出换元后的草图，直接观察草图在自变量范围内求解。总评：二次函数及其应用是初中代数中的重要内容，与整个初中的代数、几何知识有着十分紧密的联系。新课标内容要求改动较大，更注重二次函数的应用知识，强化了二次函数的最大（小）值，如二次函数与其它知识（方程、三角形、四边形、圆等）联合的综合性题目，中考试卷的压轴题常以它作为主干知识，并将几何图形与函数的图象有机结合，综合性强，难度系数也较大，但一般都是两到三个小题，难度逐渐递增，为此我们可以采取“保证中易分，争取难度分”的得分策略，逐步得分。二次函数在中考中一直是个经典不息的考点，每年总会有一些新颖的题目出现以便考查学生的综合素质。复习中我们就要抓住二次函数的图象性质、二次函数的图象特征与及的关系、二次函数图象的平移及二次函数与一元二次方程的关系等基础知识以之应对日新月异的中考。8