高一必修一第一章集合导学案.doc

1.1　集合的含义及其表示

学习目标：
1．初步理解集合的含义，知道常用集合及其记法；
2．初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义；
3．掌握集合的表示方法——列举法与描述法，并能正确地表示一些简单的集合．
活动方案：
活动一：了解集合的概念
1.请仿照下列叙述，向全班同学介绍你的家庭，原来读书的学校，现在的班级等情况。
我家有爸爸，妈妈和我。
我来自沛县初级中学。
我现在的班级是高一（1）班。全班共有45人，其中男生23人，女生22人。
思考1：以上 “家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念，有什么共同的特征

2．集合的概念：
一般地，一定范围内不同的、确定的对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素(element)（简称元）．
思考2：请再列举几个集合的例子。

例1 ：判断下列的各组对象能否构成集合：
(1) 正三角形的全体；
(2) 比较小的正整数的全体；
(3) 接近于0的数的全体；
(4)小于5的自然数；
(5) 平面直角坐标系内到点O的距离为1的点的集合；
(6)方程x2－4x－4=0的实数解.

思考3：一些对象构成集合必须具备那些特点，即集合中的元素有哪些特性？
活动二：掌握集合的表示方法
思考4：如何表示一个集合？
例2 ：用列举法表示下列集合：
（1）适合是整数的的值构成的集合。
（2）方程的解集。
（3）方程组的解集；
思考5：上述这些集合中的元素都是有限个，可以一一列举，如果集合中的元素都有无数个，无法一一列举，那么如何表示这些集合？
如所有的三角形组成的集合该怎么表示?
2．描述法；将集合的所有元素都具有性质（ 满足的条件 ）表示出来，写成__{x|p(x)}_的形式,
例3．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）所有平行四边形构成的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）不等式x-5>2的解的集合
3．图示法：用平面上封闭曲线的内部代集合.
4．常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R．
思考6：表示一个集合的方式是否唯一？集合是三种表示方法一般分别适用于哪些情形？
活动三：了解元素与集合的关系。理解集合相等方面的含义
1.元素与集合的关系。
集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,B.元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.
如果a是集合A的元素，就记作__________读作“___________________”；
如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_________
例4：用符号∈或填空
（1）___N 0____N* _____R ____Q
（2） ；6 ；
（3）（2,4）
思考7：判断下列三个集合分别表示怎样的集合？
A={ x｜x为奇数} B=, C=

2. 集合相等：
如果两个集合A，B所含的元素完全相同（集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素），则称这两个集合相等，记为：A=B .

思考8：请举出两个集合相等的例子。

活动四：了解集合的分类。
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合；
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合；
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合，记作.

思考9：0，{0}，，{}有何区别？
活动五：课堂小结与自我检测
1.用列举法表示下列集合：
①{ x｜x＋1＝0}；②{ x｜x为15的正约数}；③{ x｜x 为不大于10的正偶数}；
2.用描述法表示下列集合：
①奇数的集合；②正偶数的集合；③不等式x2+10的解集。
3.已知，求实数x的值.

备选题
1．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
2．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
3.若{t},求t的值.
4. 若
5.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 .
6、已知A=,试用列举法表示集合A.

7. 已知A={x|a+2x+1=0},
（1） 若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
（2） 若A中至多有一个元素，求a的取值范围.

§1.2　子集、真子集、全集、补集
学习目标
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念；

3．了解全集的意义，理解补集的概念．
活动方案：
活动一：了解集合间关系，理解子集的概念
1． 背景引入：
观察下列各组集合
（1）（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}；
（2）A=N，B=R；
（3）A={为北京人}，B= {为中国人}；
思考1：上述三组集合中，集合A,B之间具有怎样的共同特征？如何用语言表示这种关系？

2. 子集的概念
（1）子集的定义；
（2）如何用符号语言及图形语言表示A是B的子集？

思考2：符号“”与“”有何区别？分别适用于什么情形？

思考3：请举出两个子集的例子。
例1．判断下列表示是否正确？
(1) {a }∈{a，b } (2) {a，b } ={b，a } (3) {-1，0，1}{-1，0，1}

(4) {-1，0，1} (5) {0，1}{-1，0，1} (6) {0，1}{3，2，1}
(7) {x|x<-9} {x|x<9}

活动二：巩固子集的概念，理解真子集的概念
例2．写出集合{a，b}的所有子集；

练习：写出集合{a,b,c,d}的所有子集。
思考4：
（1） 如何做到不重不漏？
（2）集合的所有子集的个数是多少？

思考5：集合{a，b}的所有子集中，除了本身外，其余的子集有怎样的共同特征？

真子集的概念及 符号表示。
思考6：集合的所有真子集的个数是多少？(-1)

例3：以下各组的三个集合之间，哪两个集合具有包含的关系?．
（1）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；
（2）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；
（3）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }

活动三：理解补集的概念
思考7：观察例3中的（2），（3）两组的3个集合，它们之间还有什么关系？

1．全集的概念

2.补集的概念

思考8：如何用符号语言及图形语言表示A是B的补集？
例4：①不等式组的解集为A，U=R，试求A及，并表示在数轴上。
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，是的真子集，求实数a的取值范围．

例5：已知全集U=R，集合A=，B=，,求实数的取值范围．

活动四：课堂小结与自我检测
1. 写出集合{1，2，3}的所有子集；

2. 判断下列表示是否正确：
(1) a{a } (2) {a }∈{a，b } (3) {-1，1}

3. 若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1， k∈Z}，则 =___________
=___________：
4. 已知全集U＝R，A＝｛x｜3＜x｝，则A=______, B＝｛x｜－1＜x｝,则B=_________
备选题
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁UA＝________.
2．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
3．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁UA＝__∁UB＝______，∁BA＝________.
4．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁UA＝{5}，求实数a，b的值．

5. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求UA、m.

6：已知全集U=R，集合，，且，求实数的取值范围．

7．已知集合，，若，求实数满足的条件．

§1.3　交集、并集
学习目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2．理解区间的表示法；
3..能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
活动方案：
活动一：理解交集的概念
1．用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：
（1）A={-1，1，2，3}，B={-2，-1，1}，C={-1，1}
（2）A={}，B={}，C＝{}．
（3）A={为高一（1）班语文测验优秀者}，
B={为高一（1）班英语测验优秀者}，
C={为高一（1）班语文、英语两门测验优秀者}
思考1：上述三组集合中，集合A,B,C之间具有怎样关系？

2. 交集的概念
（1）定义：
（2）符号表示：
3）Venn图：
思考2：请举出两个集合，并求其交集。

思考3：A∩B=，可能成立吗？A∩B=A，可能成立吗？

活动二：理解并集的概念
1．用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：
（1）A={1，2，3}，B={3，4，5}，C={1，2，3，4，5}
（2）A=｛x|-1什么集合？A∩是什么集合？

活动三：掌握并集与交集的运算
例1：设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；求A∪B和A∩B

思考8：集合A,B, A∪B，A∩B之间具有何关系？

例2：设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∪B和A∩B；

变式1：设A=，B=，求A∪B和A∩B；
变式2：设A=，B=，求A∪B和A∩B；
变式3：设A=，B=，若A∩求的取值范围。

例3：27向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

活动四：理解区间的表示法；
1．区间的概念．
一般地，由所有属于实数a到实数b(a＜b)之间的所有实数构成的集合，可表示成一个区间，a、b叫做区间的端点．
考虑到端点，区间被分为开区间、闭区间或半开半闭区间．
2．区间与集合的对应关系．
[a，b]＝{x | a≤x≤b}，(a，b)＝{x | a＜x＜b}，[a，b)＝{x | a≤x＜b}，(a，b]＝{x | a＜x≤b}，
(a，＋¥)＝{x | x＞a }，(－¥，b)＝{x | x＜b}－¥，＋¥)＝R．
其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；
a，b叫做相应区间的端点.

思考9：如何在数轴上表示区间？

活动五：课堂小结与自我检测
1. 设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∪B和A∩B；
2. 设集合A={x|x≥0,x∈R }，B={x|x≤0,x∈R}，求A∪B和A∩B；
3.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B和A∩B；
4.设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，
B={(x,y)|y=x2+1，x∈R}， 求A∩B；

备选题

1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.

2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.

3．设集合A={x|-5≤x<1}，B={x|x≤2}， 则A∪B等于　

4．已知集合A={x|-2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且，则实数a的取值范围是_

5. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=x2+1}求A∩B；

6、若{3,4,m2－3m－1}∩{2m, －3}={－3}，则m=________.

7、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值。

8． 已知集合A={x|x<3}，B={x|x
分类

集合的概念
空集

确定性
元素的性质
集合

互异性

列举法
无序性

集合的表示法

描述法

真子集

子集
包含关系

相 等

交集
集合运算
集合与集合的关系

并集

补集

二．例题
活动一：理解元素与集合，集合与集合的关系；

例1：给出下列各种关系：
（1）a∈{a} (2) {a }∈{a，b } (3) {a，b } {b，a }
(4) {-1，1} {-1，0，1} (5) ={0} (6) {0} ∈ (7) {0}
其中正确的是 。
活动二：理解集合中元素的互异性

例2．集合A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A∩B={－3},则A∪B=

活动三：掌握集合之间的关系及集合间的运算
例3： 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5}， B = {4，7，8}，
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B) ．
思考：对于集合A,B,(CU A)∩(CU B)与CU (A∪B)有何关系？
(CU A)∪(CU B)与CU (A∩B) 有何关系？

例4.已知集合，，且B，
求实数的取值范围

变式1：已知集合，，且B，，求实数的取值范围

变式2：.已知集合，，且，
求实数的取值范围

变式3：已知集合，，且
求实数的取值范围

变式4：已知，且，求实数的取值范围

例5、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.
(1)若A∩B=B，求实数a的值。
(2)若A∪B=B,求实数a的值。

活动五：课堂小结与自我检测
1、集合A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.
2．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
3求满足{1, 2}{1, 2, 3, 4, 5}的所有集合A的个数__________。
4．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．

5．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，求：
①(A∪B)∩P ；②∪P ；③ (A∩B)∪ ．
6. 天鹅旅行社有15人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有11人，能用日语导游的有8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？

备选题
1、已知集合M满足，这样的集合M的个数_________.
2.已知全集，，则为
3.集合A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.
4．已知集合M={x|－1≤x<2}，N={x|x－a<0}，若，则a的取值范围为 ．

5若A={2, 4, a3-2a2-a+7}, B={1, a+1, a2-2a+2, -(a2-3a-8), a3+a2+3a+7}，且A∩B={2, 5}，试求实数a的值．
6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．
7．已知集合A＝{x|1集合 单元检测
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝________.
2．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁UA＝________.
3．已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
4．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是________三角形(用“锐角”，“直角”，“钝角”，“等腰”填空)．
5．已知全集U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有________个．
6．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁UB)＝________.
7．如图，全集为U，M和N都是U的子集，则图中阴影部分可以表示为________．
8．已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩(∁UB)＝{5,13,23}，(∁UA)∩B＝{11,19,29}，(∁UA)∩(∁UB)＝{3,7}，则A＝______________，B＝______________.
9．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．
10．设全集I＝{1,2a－4，a2－a－3}，A＝{a－1,1}，∁IA＝{3}，则a的值是________．
11．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x∈P，但x∉Q}，则P－(P－Q)等于________．
12．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x≤－1，或x≥5}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．
13．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．若A中至多有一个元素，则a的取值范围是______________．
14．设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B＝________.
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，集合B＝{x|3a}．
(1)求A∪B，(∁RA)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
17．(本小题满分16分)已知集合S中的元素是正整数，且满足命题“如果x∈S，
则(10－x)∈S”时回答下列问题：
(1)试写出只有一个元素的S；
(2)试写出元素个数为2的全部S.

18．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{}，求A∪B.

19．(本小题满分16分)设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．
(1)若A∩B≠∅，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．

20．(本小题满分16分)已知A＝{x|x2－2x－8＝0，x∈R}，{x|x2＋ax＋a2－12＝0，
x∈R}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围．

1.1　集合的含义及其表示
活动结果
活动一：了解集合的概念
例1 ：（2）（3）不符合集合元素的确定性，（1）（4）（5）（6）能够构成集合.
活动二：掌握集合的表示方法
例2：①{-2， -1，0，1，2}②{ 1，2}③{（3，2）}
活动五：课堂小结与自我检测
1.①{ -1}②{ 1，3，5，15} ③{ 2，4，6，8，10}
2.①.②③{ x｜x2+10}
3.= －1 .
备选题
1．①④2．－1 3 - 1 . 4. -1 . 5._-2,0,2__ 6. A=｛－3,0,1,2｝.
7. （1）a的取值集合为；（2）a = 0或a1 .
§1.2　子集、真子集、全集、补集
活动一：了解集合间关系，理解子集的概念
例1：(1) 错 (2) 对(3) 对 (4) 对(5) 对(6) 错(7) 对
思考2:元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系）
活动二：巩固子集的概念，理解真子集的概念
例2：集合{a，b}的所有子集为： ，{a }，{ b}，{a，b}；
练习：满足条件的集合，
,共十六个子集．
思考4：
（1）按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，
但应注意两个特殊的子集：和本身．
（2） 思考6：-1
活动三：理解补集的概念
例4：① A={x|}， ={x|x≤或x>2} ②a≥-1
例5：B=， B
活动四：课堂小结与自我检测
1. Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}．
2. (1) 错.(2) .(3) 错
3.B.A 4.
备选题
1．{3,9} 2．－3 3．{0,1,3,5,7,8}　{7,8}　{0,1,3,5}
4． 或5．：m=4，UA={2，3}；m=6，UA={1，4}，.
6. ． 7. ．
§1.3　交集、并集
活动三：掌握并集与交集的运算
例1：A∪B={-1，0，1，2，3}；A∩B={0，1}；
例2： A∩B={x|0
1．{0,1,2,3,4}
2．{x|－1≤x<1}解析　由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．
3. {x|x≤2} 4．a≤-2 5. A∩B ={} 6、1
7.P=8, a=5 ,b=－6 8：① a≥3② a≤3 ③ a<3 9． p=-4，q＝3.
1.4 集合复习课
活动一：理解元素与集合，集合与集合的关系；
例1： (3) (4) (7)
活动二：理解集合中元素的互异性
例2：A∪B={－3,-4,0,1,2}
活动三：掌握集合之间的关系及集合间的运算
例3：（CU A）∩(CU B)= CU(A∪B)= {1，2，6}
(CU A)∪(CU B)=CU (A∩B)= {1，2，3， 5，6，7，8}
例4：
变式1：变式2：变式1：变式1：
例5 (1)a=1或a≤－1； (2)a=1
活动五：课堂小结与自我检测
1.{x<－3或x>4} 2．{x|x<－5或x>－3} 3.8 4.a＝0或a＝.
5：①(A∪B)∩P=[-4，0]∪[，3] ②∪P= P={x|x≤0，x≥}．
③(A∩B)∪=（-1，）．
6. 有4位
备选题
1.4 2． 3.{x<－3或x>4} 4. [2,+∞) 5. a=2 6．a≤2
7．a＝0或a≥2或a≤－2. 8．a=2或a=4, m=4
变式：a=2或a=4, －2
∴∁U(A∪B)＝{x|x<2，或x≥9}．
(2)∁UB＝{x|x≤3，或x≥9}．∴A∩(∁UB)＝{x|2≤x≤3}．
16．解：(1)∵A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5能为{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}．
8．解：∵A∩B＝{}，∴∈A且∈B，
∴是方程2x2－px＋q＝0与6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0的根，
∴∴
∴A＝{－4，}，B＝{，}．∴A∪B＝{－4，，}．
19．解：A＝{x|x≤－1，或x≥4}．
(1)∵A∩B≠∅，∴或
∴或∴a＝2或a≤－.
故a的取值范围为a＝2或a≤－.
(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A，有三种情况：
①，得a≤－3；②，得a＝2；
③B＝∅，得2a>a＋2，a>2.
∴a的取值范围为a≤－3或a≥2.
20．解：∵A＝{x|x2－2x－8＝0}，∴A＝{－2,4}．
若B∪A＝A，则B⊆A.∴集合B有以下3种情况：
①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，
∴或，即a<－4或a>4.
②当B≠∅且B是单元素时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，
∴a＝－4或a＝4.
若a＝－4，则B＝{2} A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A.
③当B≠∅且B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的解，
∴∴a＝－2.
综上可知，B∪A＝A时，实数a的取值范围是a<－4或a＝－2或a≥4.
B∪A≠A时，实数a的取值范围为[－4，－2)∪(－2，4)．