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中考一元二次方程综合题例析
广东省高州市分界中学　李　国
一元二次方程综合题是中考热点，常常结合其他方面知识进行考查，下面通过几个例子进行分类解析。

一、一元二次方程与一次函数综合

例1.（2010年绵阳市）．已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

分析：（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．

解：（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．
∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，
∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．
因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得最小值1．

二、一元二次方程与反比例函数综合

例2（2010年山东淄博改编）已知关于x的方程．若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

分析：写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．

解: 设方程的两个根为，，
根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，
那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5

点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目

三、一元二次方程与二次函数综合

例3（2008年湖北荆州市）已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．
    （1）用m、p分别表示OA、OC的长；
    （2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．

解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
　　整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
　　∴x1=p，x2=m+2-p，
　　∵m+2＞2＞0
　　∴m+2-p＞p＞0，
　　∴OA=m+2-p，OC=P．

　　（2）∵OC=OB，S△AOB = OA?OB，
　　∴S△AOB= OA?OB= P?（m+2-p），
　　=-P2+ （m+2）?P，
　　∴当p==（m+2）时，S△AOB最大．

点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情况下都是涉及其最高点，最低点的问题．

四、一元二次方程与不等式综合

例4（2008年湖北荆州市）关于的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是______________________.

分析：因为方程有两实根，所以△=[2（k+1）]2-4k2≥0≥0，又因为关于y的不等式组 y＞-4y＜m有实数解，所以y一定介于-4与m之间，即m一定大于-4，因此m=-2（k+1）＞-4，然后解不等式即可求出k的取值范围．

解：∵方程x2+2（k+1）x+k2=0有两实根，
　　∴△=[2（k+1）]2-4k2≥0，解得k≥- 12；
　　∵关于y的不等于组有实数解，∴m＞-4
　　又∵m=-2（k+1），
　　∴-2（k+1）＞-4，解得k＜1．
　　∴k的取值范围是得1＞k≥-12．故填空答案：1＞k≥-12．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．

五、一元二次方程与概率综合

例5（2010年黄冈市）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.
　　（1）求满足关于x的方程有实数解的概率.
（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.

分析：（1）方程x2+px+q=0有实数解，则p2-4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；（2）方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2-4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．

解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
　　（1）其中使方程有实数解共有19种情况：
　　p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
　　p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
　　p=4时，q=4、3、2、1；
　　p=3时，q=2、1；
　　p=2时，q=1；故其概率为．
　　（2）使方程有相等实数解共有2种情况：
　　p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为．

点评：本题考查一元二次方程根的判别式和概率关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．

六、一元二次方程与几何知识综合

例6（2009年黄石市）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（    ）
A．14                   B．12                   C．12或14                 D．以上都不对

分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．

解：解方程得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．

点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．

例7 （2009年襄樊市）如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（      ）
　　A．     B．     C．     D．

分析：先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出的周长即可．

解：∵a是一元二次方程x2+2x-3=0，
　　∴（x-1）（x+3）=0，即x=1或-3，
　　∵AE=EB=EC=a，
　　∴a=1，
　　在Rt△ABD中，AB== a=2
　　∴的周长=4a+2a =4+2．故答案为：A

点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．

例8（2010年兰州市）已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（   ）
 A．外离          B．内切           C．相交               D．外切

分析:本题可先求出方程的根即两圆的半径R、r，再根据由数量关系来判断两圆位置关系的方法，确定两圆的位置关系．设两圆圆心距为P，两圆半径分别为R和r，且R≥r，则有：外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R-r＜P＜R+r；内切:P=R-r；内含:P＜R-r．

解：∵两圆的半径分别是方程的两根，
∴两圆半径和为5，半径积为6，半径差为 =1，即圆心距等于半径差，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选D．

点评：本题考查了解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法．注意此类题型可直接求出解判断，也可利用根与系数的关系找到两个根的差或和
2011-07-18  人教网
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