导数（学案）.doc

导数及其应用
考纲导读

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.
2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．
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导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.
第1课时 变化率与导数、导数的计算
基础过关

1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ．
2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.
3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .
4．求导数的方法
(1) 八个基本求导公式
＝ ； ＝ ；(n∈Q)
＝ ， ＝
＝ ， ＝
＝ ， ＝
(2) 导数的四则运算
＝ ＝
＝ ，＝
(3) 复合函数的导数
设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且＝ ，即.

典型例题

例1．求y=在x=x0处的导数.
解

例2. 求下列各函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）
解 (1)∵
∴y′
（2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.
方法二 =
=（x+3）+（x+1）（x+2）
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.
（3）∵y=
∴
（4） ，
∴
变式训练2：求y=tanx的导数.
解 y′

例3. 已知曲线y=
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. 
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，
则切线的斜率k=|=.
∴切线方程为即
∵点P（2，4）在切线上，∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= .
答案 2或

例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
（1）解 ，
于是解得或
因为a,bZ，故
（2）证明 在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为
．
令x=1，得，切线与直线x=1交点为．
令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2.

变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.
解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ①
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0，d=0. ②
∴f（x）=ax4+cx2+1.
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.
∴a+c+1=-1. ③
∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④
由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为
小结归纳

1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.
3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.

第2课时 导数的概念及性质
基础过关

1． 函数的单调性
⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立）
(2) 如果在某个区间内恒有，则 .
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 确定函数的 ；
② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.
2．可导函数的极值
⑴ 极值的概念
设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：
① 求导数；
② 求方程＝0的 ；
③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：
① 求y＝在(a ,b )内的 值；
② 将y＝的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .
典型例题

例1. 已知f(x)=ex-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：=ex-a.
（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.
（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.
∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.
∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.
方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a1.
变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
（1）解 由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，
∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,
故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.
（2）解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.
∵-1最大值和最小值.
解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①
当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 ②
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.
∴1+a+b+c=4.∴c=5.
（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,
令=0,得x=-2,x=.
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x
3
(-3,-2)
-2

1
y′

+
0
-
0
+

y
8
单调递增
↗
13
单调递减
↘

单调递增
↗
4
∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为
变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
解 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.
导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′

-
0
+
0
-
0
+

y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.
例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.
解 ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得02时,f(x）在（1，2）上是减函数,
∴f（x）maxf（1）=e-a.
②当1≤≤2,即1≤a≤2时，
f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴f(x)max=f=4a-2e-2.
③当>2时，即02时，f(x)的最大值为e-a.
变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；
（2）当a≠0时求函数f(x)的极大值和极小值.
解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,
f(2)=-2,=-3x2+4x-1,
-12+8-1=-5,
∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为
5x+y-8=0.
（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,
=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),
令=0,解得x=或x=a.
由于a≠0，以下分两种情况讨论.
①若a>0，当x变化时，的正负如下表：
x
(-∞,)

(,a)
a
(a,+∞)

-
0
+
0
-
f(x)
↘

↗
0
↘
因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（），
且f（）=-
函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.
②若a<0，当x变化时，的正负如下表：
x
(-∞,a)
a
(a,)

(,+∞)

-
0
+
0
-
f(x)
↘
0
↗
-
↘
因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；
函数f(x)在x=处取得极大值f（）,
且f（）=-.
例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.
解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.
(2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).
令=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.
∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.
在x=6+a两侧L′的值由正变负.
所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).
②当9≤6+a≤，即≤a≤5时，
Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.
所以
答 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元).
变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).
（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19).
（2）=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),
∵x>0,∴=0时,x=12，
∴当00,当x>12时，<0,
∴x=12时，P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.
（3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.
所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，
所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.
小结归纳

研究可导函数的单调性、极值（最值）时，应先求出函数的导函数，再找出＝0的x取值或>0(<0)的x的取值范围．

导数及其应用单元检测题
一、选择题
1.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A.e2 B.2e2 C.e2 D.
2.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=的图象可能是 ( )

3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）
A.(0, B.(+∞) C.(-∞,0) D.∞,0)∪(,+∞）
4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则 ( )
A.a<-1 B.a>-1 C.a<- D.a>-
5.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为 （ ）
A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,6
6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为 （ ）
A.36 B.18 C.25 D.42
7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 （ ）
①f(x)>0的解集是{x|0＜＜f(3)-f(2)
D.0＜f(3)-f(2)＜＜
9.若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为 （ ）
A.a≥3 B.a=3  C.a≤3 D.02cosx在［0，］上取最大值的x为 （ ）
A.0 B. C. D.
12.若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则 （ ）
A.00  D.b<
二、填空题
13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为 .
14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：
①f(x）在［-2，-1］上是增函数；
②x1是f(x)的极小值点；
③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；
④x=3是f(x)的极小值点.
其中判断正确的是 .
15.函数f(x)的导函数y=的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 .
16.已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则= .
三、解答题
17.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.
(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;
(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)

18.设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R.
如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.

19.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.

20.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值.
（1）求f(x)的解析式；
（2）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性.

21.如图所示，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线
C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，
求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.


22.已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d，下图是其运动轨迹的一部分，若t∈［，4］时，s(t)<3d2恒成立，求d的取值范围.
导数及其应用单元检测题答案
一、选择题
1.答案D
2．答案A
3.答案 A
4.答案A
5.答案A
6.答案A
7.答案 D
8.答案B
9.答案A
10.答案B
11.答案B
12.答案A
二、填空题
13.答案 ［-1，2］
14.答案 ②③
15.答案 ［-1，0］和［2，+∞）
16.答案 6
三、解答题
17.解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即3x2-x+b≥0,
∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2.
当x=时，g(x)max=,∴b≥.
(2)由题意知=0，即3-1+b=0，∴b=-2.
x∈［-1,2］时，f(x)的最大值小于c2即可.因=3x2-x-2,令=0,得x=1或x=-.∵f(1)=-+c,
f(-f(2)=2+c.
∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c2或c<-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.
18.解 命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴=3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.
由条件得≥0且≥0,
即∴-2≤a≤2.
命题q:
∵该不等式的解集为R，∴a<-1.
当p正确q不正确时,-1≤a≤2;
当p不正确q正确时，a<-2.
∴a的取值范围是（-∞，2）∪［-1，2］.
19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax
∴=3x2-2(a+1)x+a
要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足≥0即可. ∵=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,
∴a的取值应满足：或
解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.
20.解 （1）∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,
∴F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3.
∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴=0.
f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c
∴=-6-6+c=0,c=12.
∴f(x)=-2x3+3x2+12x,
（2）=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2).
令=0,得x1=-1,x2=2,
x
-3
(-3,-1)
-1
(-1,2)
2
（2，3）
3

-
0
+
0
-

f(x)
45
↘
-7
↗
20
↘
9
∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数，
函数f(x)在［-1，2］上是增函数.
21. 解 设P（x0，y0），则y0=,
∴过点P的切线斜率k=x0,
当x0=0时不合题意，∴x0≠0.
∴直线l的斜率kl=-,
∴直线l的方程为y-.
此式与y=联立消去y得
x2+
设Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中点，
∴
消去x0，得y=x2++1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2>0,
∴y=x2++1≥2
上式等号仅当x2=,即x=±时成立，
所以点M到x轴的最短距离是+1.
22. 解 =3t2+2bt+c.
由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值.
则=0, =0.
即解得
∴=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).
当t∈［，1）时，>0.
当t∈(1,3)时，<0.
当t∈(3,4)时，>0.
则当t=1时，s(t)取得极大值为4+d.
又s(4)=4+d，
故t∈［，4］时，s(t)的最大值为4+d.
已知s(t)<3d2在［，4］上恒成立，
∴s(t)max<3d2.即4+d<3d2.
解得d>或d<-1.∴d的取值范围是{d|d>或d<-1}.