梯形辅助线专练.doc

【本讲教育信息】
一、教学内容：
梯形中常见辅助线的作法.

二、知识要点：
梯形是一种特殊的四边形，在解决有关梯形的问题时，常常需要借助辅助线，将其分割、拼接成三角形、矩形或平行四边形等问题来解决. 常见的几种辅助线的作法如下：
作法
图形
平移一腰，转化为三角形、平行四边形

作高，转化为两直角三角形和一矩形

延长两腰，转化为三角形

平移一对角线，转化为三角形、平行四边形

连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形

【典型例题】
例1. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的长.

分析：作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，这样可构造两个直角三角形.
解：分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则四边形AEFD是矩形.
在Rt△ABE中，∵∠B＝45°，∴AE＝BE.
设AE＝BE＝x，则AB＝x＝8，
∴x＝4，∴AE＝BE＝DF＝4，
在Rt△DFC中，CF＝＝2，
∴AD＝EF＝BC－BE－CF＝10－4－2＝8－4.

评析：过梯形上底两端点作梯形的高，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形.

例2. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E.
又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
所以DE＝BC＝17，CD＝BE.
在Rt△DAE中，由勾股定理，得
AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.
所以AE＝8.
所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.
即CD＝8.

评析：平移一腰，即将梯形转化为三角形、平行四边形.

例3. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm. 求梯形ABCD的面积.

解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
又AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形.
∴AC＝DE，S△ADC＝S△ECD.
∵S△ADC＝S△DAB，∴S△DAB＝S△ECD.
∴S△DBE＝S梯形ABCD.
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD.
∵AC＝DE，
∴BD＝DE＝6cm.
∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DE⊥BD.
∴S梯形ABCD＝S△DBE＝BD·DE＝×6×6＝18（cm2）.

评析：平移一对角线，将梯形转化为三角形、平行四边形.

例4. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

解：四边形ABCD是等腰梯形.
证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
∴EA＝EB.
又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.

评析：延长两腰，将梯形转化为三角形.

例5. 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，BC＝3，CD＝1. E是AD的中点，求证：CE⊥BE.

分析：证两直线垂直可利用90°，线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一. 由已知AB＝2，CD＝1，BC＝3. 所以转化线段，构造CD＋AB＝BC的情况. 可延长CE交BA的延长线于F. 可证△CDE≌△FAE，从而AF＝CD，CE＝EF，即得BF＝BC，再利用等腰三角形的性质得CE⊥BE.
证明：延长CE交BA的延长线于F，
∵CD∥BF，∴∠D＝∠EAF，∠DCE＝∠F.
∵DE＝AE，∴△CDE≌△FAE.
∴AF＝CD＝1，EF＝CE.
∵AB＝2，BC＝3，∴AB＋AF＝BC. 即BF＝BC.
∴BE⊥CE.

评析：连结顶点和一腰的中点构造全等三角形.

【方法总结】
在解决梯形的有关问题时常用的思想是转化的思想，是通过作辅助线把梯形分割、拼接成我们所熟悉的三角形（尤其是Rt△），矩形、平行四边形，再利用三角形的全等、直角三角形的勾股定理以及平行四边形和矩形的性质来解决问题.

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.
2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

**3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（ ）
A. 130 B. 140 C. 150 D. 160

*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.

5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.

7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.

**8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？

【试题答案】
1. 24 2. D 3. C
4. 过D作DE∥AC交BC延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，∴DE＝AC，CE＝AD. ∵梯形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝ED，∵BD⊥AC，∴BD⊥DE. 在Rt△BDE中，BD2＋DE2＝BE2，即2BD2＝1002，BD＝50.

5. 过D作DE∥AB交BC于E. 则四边形ABED是平行四边形. ∴BE＝AD＝15cm，AB＝DE. ∴EC＝49－15＝34cm. ∵AB＝CD，∴CD＝DE. 又∵∠C＝60°，∴△CDE是等边三角形. ∴CD＝EC＝34cm.

6. 过D点作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，∴AC＝DF，AD＝CF，∵BD⊥AC，∴BD⊥DF. ∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝DB. ∴BD＝FD，∵DE⊥BC，∴BE＝EF，∴DE＝BE＝EF＝BF＝5.

7. 分别延长AD、BC相交于点E. ∵AB∥CD，∴∠1＝∠B. ∵∠ADC＝∠E＋∠1，∴∠ADC＝∠E＋∠B. ∵∠ADC＝2∠B，∴∠E＝∠B，∠1＝∠E，∴AE＝AB，DE＝DC. ∴AE＝AD＋DE＝AD＋DC＝8. ∴AB＝AE＝8.

（或过C作CE∥AD交AB于E，证明CE＝BE＝AD. ）
8. （1）提示：DE⊥CE，延长DE交CB延长线于F，证明△AED≌△BEF. 得AD＝BF，DE＝EF，∵CD＝AD＋BC，∴CD＝CB，∴CE⊥DE. （2）DE⊥CE. ∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∵∠EDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD. ∴∠EDC＋∠ECD＝×180°＝90°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥CE.