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由面积产生的函数关系问题 例1 2013年菏泽市中考第21题如图1， ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，由PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1 动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点思路点拨1求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由ADBC可以得到2设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来3四边形PDCQ的面积最小，就是APQ的面积最大满分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C关于OA对称，所以B(4,0)，BC8因为AD/BC，ADBC，所以D(8,3)将B(4,0)、D(8,3)分别代入，得解得，c3所以该二次函数的解析式为（2）设点P、Q运动的时间为t如图2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO当PQAC时，所以解得图2 图3如图3，过点Q作QHAD，垂足为H由于SAPQ，SACD，所以S四边形PDCQSACDSAPQ所以当AP时，四边形PDCQ的最小值是考点伸展如果把第（2）题改为“当P运动到何处时，APQ是直角三角形？”除了PQAC这种情况，还有QPAD的情况这时，所以解得（如图4所示）图4例2 2012年广东省中考第22题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，ADE的面积随m的增大而增大，CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，CDE的面积最大思路点拨1ADE与ACB相似，面积比等于对应边的比的平方2CDE与ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比满分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如图2，因为DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范围是0m9图2 图3（3）如图2，因为DE/CB，所以因为CDE与ADE是同高三角形，所以所以当时，CDE的面积最大，最大值为此时E是AB的中点，如图3，作EHCB，垂足为H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，当E与BC相切时，所以考点伸展在本题中，CDE与BEC能否相似？如图2，虽然CEDBCE，但是BBCAECD，所以CDE与BEC不能相似例3 2012年河北省中考第26题如图1，图2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如图1，AHBC于点H，则AH_，AC_，ABC的面积SABC_拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F设BDx，AEm，CFn（当点D与点A重合时，我们认为SABD0）（1）用含x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)与x的函数关系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(mn)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(mn)的值越来越大；D经过G之后，(mn)的值越来越小观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D图3 图4答案 探究 AH12，AC15，SABC84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC边上的高，所以x的取值范围是x14所以(mn)的最大值为15，最小值为12（3）x的取值范围是x或13x14发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为例4 2011年淮安市中考第28题如图1，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧设E、F运动的时间为t秒(t0)，正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为S （1）当t1时，正方形EFGH的边长是_；当t3时，正方形EFGH的边长是_；（2）当1t2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段思路点拨1全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工2这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择满分解答（1）当t1时，EF2；当t3时，EF4（2）如图1，当时，所以如图2，当时，于是，所以如图3，当时，所以图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t的临界时刻是这样求的：如图8，当H落在AC上时，由，得如图9，当G落在AC上时，由，得图8 图9例5 2011年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线OCB相交于点M当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t0），MPQ的面积为S（1）点C的坐标为_，直线l的解析式为_；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点从S随t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随t变化的图象是“N”字型，由四段组成请打开超级画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点点击按钮“函数表达式”， S随t先增大后减少。当t=2.67时，S=14.22. 思路点拨1用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键2第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况3第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐满分解答（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为（2）当M在OC上，Q在AB上时，在RtOPM中，OPt，所以在RtAQE中，AQ2t，所以于是因此当M在OC上，Q在BC上时，因为，所以因此当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得因此当M、Q都在BC上，相遇前，PM4，所以图2 图3 图4（3）当时，因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，所以当时，S最大，最大值为当时，因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为当时，因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14综上所述，当时，S最大，最大值为考点伸展第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？此时， 因此图5例6 2011年重庆市中考第26题如图1，矩形ABCD中，AB6，BC，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察AOH的形状，可以体验到，AOH有5个时刻成为等腰三角形请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t1时，FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析；观察AOH的形状，可以体验到，AOH有5个时刻成为等腰三角形 思路点拨1运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中2用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况3探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况4本题运算量很大，多用到12，注意对应关系不要错乱满分解答（1）在RtABC中，所以BAC30如图2，当等边EFG的边FG恰好经过点C时，在RtBCF中，BFC60，BC=，所以BF2因此PF321，运动时间t1 图2（2）如图3，当0t1时，重叠部分为直角梯形BCNE，如图4，当1t3时，重叠部分为五边形BQMNE，如图5，当3t4时，重叠部分为梯形FMNE，如图6，当4t6时，重叠部分为等边三角形EFG，图3 图4 图5（3）等腰AOH分三种情况：AOAH，OAOH，HAHO在AOH中，A30为定值，AO3为定值，AH是变化的AEH的形状保持不变，AHAE当E由O向A运动时，AE3t；当E经A折返后，AEt3图6 图7 图8当AOAH时，解，得（如图7）；解，得（如图8）当OAOH时，AOH120，点O与点E重合，t0（如图9）当HAHO时，H在AE的垂直平分线上，AOAH3AE解，得t2（如图10）；解，得t4（如图11）图9 图10 图11考点伸展图3，图4中，点E向A运动，EF6；图5，图6中，点E折返，EF122t