由面积产生的函数关系.doc

由面积产生的函数关系问题

例1 2013年菏泽市中考第21题

如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．
2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．
3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．
满分解答
（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．
由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．
因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．
将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得
解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．
（2）①设点P、Q运动的时间为t．
如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．
当PQ⊥AC时，．所以．解得．

图2 图3
②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
由于S△APQ＝，
S△ACD＝，
所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．
所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．
考点伸展
如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”
除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．
这时，所以．解得（如图4所示）．

图4

例2 2012年广东省中考第22题

如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．

思路点拨
1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．
2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
满分解答
（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．
所以AB＝9，OC＝9．
（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．
所以．
而，AE＝m，
所以．
m的取值范围是0＜m＜9．

图2 图3
（3）如图2，因为DE//CB，所以．
因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．
所以．
当时，△CDE的面积最大，最大值为．
此时E是AB的中点，．
如图3，作EH⊥CB，垂足为H．
在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．
在Rt△BEH中，．
当⊙E与BC相切时，．所以．
考点伸展
在本题中，△CDE与△BEC能否相似？
如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．

例3 2012年河北省中考第26题

如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．
探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．
拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(m＋n)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(m＋n)的值越来越大；D经过G之后，(m＋n)的值越来越小．观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D．

图3 图4
答案 探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．
拓展 （1）S△ABD＝，S△CBD＝．
（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．
由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．
所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．
（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．
发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为．

例4 2011年淮安市中考第28题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．
请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段．

思路点拨
1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．
2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．
满分解答
（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．
（2）①如图1，当时，．所以．
②如图2，当时，，，．
于是，
．
所以．
③如图3，当时，，，．
所以．

图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．

图5 图6 图7
考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时，，，由，得．
如图9，当G落在AC上时，，，由，得．

图8 图9

例5 2011年山西省中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．从S随t变化的跟踪轨迹可以看到，整个运动过程中，S随t变化的图象是“N”字型，由四段组成．
请打开超级画板文件名“11山西26”，拖动点P由O向A运动，可以体验到，点Q先到达终点．点击按钮“函数表达式”， S随t先增大后减少。当t=2.67时，S=14.22.
思路点拨
1．用含有t的式子表示线段的长，是解题的关键．
2．第（2）题求S与t的函数关系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况．
3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．
满分解答
（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为．
（2）①当M在OC上，Q在AB上时，．
在Rt△OPM中，OP＝t，，所以．
在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以．
于是．因此．
②当M在OC上，Q在BC上时，．
因为，所以．
因此．
③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得．
因此当M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，．
所以．

图2 图3 图4
（3）①当时，．
因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，
所以当时，S最大，最大值为．
②当时，．
因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为．
③当时，．
因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14．
综上所述，当时，S最大，最大值为．
考点伸展
第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？
此时， ．因此．

图5

例6 2011年重庆市中考第26题
如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11重庆26”，拖动点A由P向A运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，S随t变化的图象分为四段；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
请打开超级画板文件名“11重庆26”，拖动点t，当t＝1时，FG恰好经过点C。重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形，这说明S随t变化的图象需要分四段进行分析；观察△AOH的形状，可以体验到，△AOH有5个时刻成为等腰三角形．
思路点拨
1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F画对应的等边三角形EFG，思路和思想以及分类的标准尽在图形中．
2．用t表示OE、AE、EF、AH的长，都和点E折返前后相关，分两种情况．
3．探求等腰三角形AOH，先按顶点分三种情况，再按点E折返前后分两种情况．
4．本题运算量很大，多用到1∶2∶，注意对应关系不要错乱．
满分解答
（1）在Rt△ABC中，，
所以∠BAC＝30°．
如图2，当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，
在Rt△BCF中，∠BFC＝60°，BC=，
所以BF＝2．因此PF＝3－2＝1，运动时间t＝1． 图2
（2）①如图3，当0≤t＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE，．
②如图4，当1≤t＜3时，重叠部分为五边形BQMNE，．
③如图5，当3≤t＜4时，重叠部分为梯形FMNE，．
④如图6，当4≤t＜6时，重叠部分为等边三角形EFG，．

图3 图4 图5
（3）等腰△AOH分三种情况：①AO＝AH，②OA＝OH，③HA＝HO．
在△AOH中，∠A＝30°为定值，AO＝3为定值，AH是变化的．
△AEH的形状保持不变，AH＝AE．当E由O向A运动时，AE＝3－t；当E经A折返后，AE＝t－3．

图6 图7 图8
①当AO＝AH时，解，得（如图7）；
解，得（如图8）．
②当OA＝OH时，∠AOH＝120°，点O与点E重合，t＝0（如图9）．
③当HA＝HO时，H在AE的垂直平分线上，AO＝AH＝3AE．
解，得t＝2（如图10）；解，得t＝4（如图11）．

图9 图10 图11
考点伸展
图3，图4中，点E向A运动，EF＝6；图5，图6中，点E折返，EF＝12－2t．