数列通项公式的求法及数列求和方法.doc

数列通项公式的求法及数列求和方法详解
专题一：数列通项公式的求法
一、 观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）
答案：（1） （2） （3） （4）.
二、 公式法
公式法1：特殊数列
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和
{ b n }的通项公式；
答案：an=a1+(n－1)d = 2(n－1)； bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
例3. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）
(A) (B) (C) (D)
例4. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式.
简析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.
解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即
公式法2： 知利用公式 .
例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）. （2）
答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.
练习：（1）；（2），；（3），．

三、 累加法 【型如的递推关系】
简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得
例6、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则时

时，上式也成立.所以数列的通项公式为。
例7、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则时

时，上式也成立.所以

练习1：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案：
练习2：若在数列中，，，求通项 .答案：=
练习3：已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：
四、累积法 【 形如=(n)·型】
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例7、已知数列满足，且，求的通项公式．
解：由得．故有：
， ，……，
， ．
将以上个式子作积得：，
∴．当时，也满足上式．∴．

练习1：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式. 答案：
练习2： 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式.
答案：
思考题1：已知,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为 若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.
五、构造特殊数列法
构造1：【形如,其中)型】 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下：设,得,与题设比较系数得，
所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.
例9：已知数列的递推关系为，且求通项. 答案：
构造2：倒数为特殊数列【形如】
例11： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式. 答案
构造3：
例12：已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边同除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
例13：已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边同除以，得，则，故时

因此，则时也成立.
例14：已知数列满足，求数列的通项公式。
解：上式两边同时除以得，令，则设，即，所以，故，因为，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，所以
构造四.形如(其中p,r为常数)型
（1）p>0， 用对数法.
例6. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，则，是以2为公比的等比数列， ，，，∴
练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式. 答案：

六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】
例15（1）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.
解析：由题得 ① 时，②
由①、②得.
（2）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式 答案
（3）已知数列中，求通项. 答案

七、【讨论法-了解】（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如型①若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若fn)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
例16： 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式. 答案：
专题二：数列求和方法详解（六种方法）
一、公式法
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
[例1] 已知，求的前n项和. 答案
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值. 答案n＝8时，
二、错位相减法
方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①()
解析：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：
设…②
①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：.
∴.
试一试1：求数列前n项的和. 答案：
三、倒序相加法
方法简介：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，然后再除以2得解.
[例4] 求的值 . 答案S＝44.5
四、分组法求和
方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通项公式②由通项公式确定如何分组；
[例5] 求数列的前n项和：，答案.
试一试1 求之和 .简析：由于与，
分别求和.
五、裂项法求和
方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：
，，
，

.
[例6] 求数列的前n项和.
[例7] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
试一试1：已知数列{an}：，求前n项和. 试一试2：..
.六、合并法求和 方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 答案 0
[例9]在各项均为正数的等比数列中，若的值; 答案10
练习：1.求的和．
2.求数列，的前项和．
3.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝________________.
4.设，则＝_______________
5. .
6. =__________
7. 数列的通项公式 ，前n项和
8. 的前n项和为_________
综合应用
1.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．

2.已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan求数列{bn}的前2n项和．

3.数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．

4.数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.

5.

7