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难题解题示范
1．已知函数，a∈R．
（1）若对任意，都有恒成立，求a的取值范围；
（2）设若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在轴上，求a的取值范围．
解：（1）由，得．
由于，，且等号不能同时取得，所以．
从而恒成立，． …………………4分
设．求导，得．………6分
，，
从而，在上为增函数．
所以，所以．……………………8分
（2）设为曲线上的任意一点．
假设曲线上存在一点，使∠POQ为钝角，
则．………………………………………………10分
① 若t≤-1，，，=．
由于恒成立，．
当t=－1时，恒成立．
当t<－1时，恒成立．由于，所以a≤0. …12分
② 若，，，，
则=，
对，恒成立． …………………………14分
③ 当t≥1时，同①可得a≤0．
综上所述，a的取值范围是． …………………………16分
2.已知α，β是方程x2－x－1=0的两个根，且α＜β．数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=β，
an+2=an+1+an，bn=an+1－αan(n∈N*).
（1）求b2－a2的值；
（2）证明：数列{bn}是等比数列；
（3）设c1=1，c2=-1，cn+2+cn+1=cn（n∈N*），证明：当n≥3时，an=(-1)n－1（αcn-2+βcn）．
解：因为α，β是方程x2－x－1=0的两个根，所以α+β=1，α·β=-1，β2=β+1.
（1）由b2= a3－αa2= a1+a2－αa2=1+ a2－αβ=2+ a2，得b2－a2=2. ………4分
（2）因为= =
= = = =β， ……………8分
又b1= a2－αa1=β－α≠0，所以{bn}是首项为β－α，公比为β的等比数列． ……10分
（3）由（2）可知 an+1－αan=（β－α）βn－1． ①
同理， an+1－βan=α（an－βan-1）．又a2－βa1=0，于是an+1－βan=0． ②
由①②，得 an=β n－1.……………………………13分
下面我们只要证明：n≥3时， (-1) n－1（αcn-2+βcn）= β n－1．
因为=－=－=－
=－=－=β．
又c1=1，c2=-1，c3=2，则当n=3时，(-1)2(αc1+βc3)= (α+2β)=1+β=β2，
所以{(-1) n－1 (αcn-2+βcn)}是以β2为首项，β为公比的等比数列．
(-1) n－1 (αcn-2+βcn)是它的第n－2项，
所以(-1) n－1 (αcn-2+βcn)= β2·βn－3=βn－1= an.………………16分