专题二函数图象.doc

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函数专题一
函数的基本性质及其应用
一、利用函数的性质求函数的值域
1、 一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；
2、 二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ；
3、 反比例函数的值域：y≠0 ；
4、 指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；
5、 正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；
6、 值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．
二、 函数的单调性及应用
1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，

2、 单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；
3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．
例1、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．
[解析]：由题意可得原函数的定义域是（－１，４），
     设u=4+3x-x2 ，其对称轴是 x=3/2 ，
 所以函数u=4+3x-x2 ，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减．
    ①a＞１时，y=logau 在其定义域内为增函数，
由 x↑→u↑→y↑ ，得函数u=4+3x-x2 的单调递增区间（－１，3/2 ]，
即为函数y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间．
    ②０＜a＜１时，y=logau 在其定义域内为减函数，
由 x↑→u↓→y↑ ，得函数u=4+3x-x2 的单调递减区间[3/2 ，4），
即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．
三、函数的奇偶性及应用
1、 函数f(x)的定义域为D，x∈D ，f(-x)=f(x) → f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)→是奇函数
2、 奇偶性的判定：作和差f(-x)± f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0 判定
3、 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；
4、 函数的图象关于原点对称    奇函数；
    函数的图象关y轴对称    偶函数
5、 函数既为奇函数又为偶函数   f(x)=0,且定义域关于原点对称;
6、 复合函数的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．
2.判断函数的奇偶性：
解：当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知， 是奇函数．
3为R上的偶函数，且当时，，则当时，
x(x+1) 若f(x)是奇函数呢？

4、已知函数是偶函数，求实数的值．

5.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，
则a= b= 0
6.已知函数，若，求的值。

四、函数的周期性及应用
1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x)    →
   f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；
2、 正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期
是T = 2π/|ω| ；
3、 正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是
T=π/|ω| ；
4、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；
5、 一般地，sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ，y=|cotx|的周期是π．
例7.设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x,求f(7.5)
　 　［解析］：由题意可知，f(2+x) = f(x) 　　
∴　f(7.5) ＝f(8-0.5) ＝f(-0.5) ＝－f(0.5) ＝－０.５
例8.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.
. 解：设
时，有
是以2 为周期的函数，.
例9．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.
解：当，即，
又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，

例10.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.
解：由的周期为4，得，由得
，故为偶函数.
分段函数
例11．求函数的最大值.
【解析】当时, , 当时, , 当时, , 综上有.
12．在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ）

A
例13．判断函数的单调性.
【解析】
显然连续. 当时, 恒成立, 所以是单调递增函数, 当时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以在上是单调递增函数; 或画图易知在上是单调递增函数.
例14．写出函数的单调减区间.
【解析】, 画图易知单调减区间为.
例15．设函数, 若, 则得取值范围是（ ）D

例16．设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ）
A． B.
C. D.
【解析】
当时, , 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A项.
◆方法总结：抽象函数常见考点解法综述
例15. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。
解：取， 得 因为，所以
又取， 得
练习
1. 【2016年广东省茂名二模】设函数,则 ( )
A．7 B.9 C.11 D.13
答案:A
解析：＝3，[来源:Zxxk.Com]
因为，所以＝＝4
所以，3＋4＝7。
2. 【2016年石家庄市高中毕业班质检】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】B.

3. 【2016年揭阳市高中毕业班二模】函数（）图象的大致形状是[来源:Z.xx.k.Com]

答案：C

4. 【2016届邯郸市一中高三十研】若函数为奇函数，则________．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，所以对均有，即，所以.[来源:学科网ZXXK]
5. 【2016届湖北省八校高三二次联考】已知是定义在上的奇函数，当时，，则= .
【答案】