八年级数学“分式及其基本性质与运算”复习华东师大版知识精讲.doc

初二数学“分式及其基本性质与运算”复习华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： “分式及其基本性质与运算”复习二. 重点、难点： 1. 重点： （1）了解分式、有理式、最简分式、最简公分母等概念，掌握分式的基本性质，会熟练地进行通分和约分。 （2）掌握分式的加、减、乘、除与乘方的运算法则，会进行简单的分式运算. 2. 难点： （1）在分式的混合运算中，灵活选择运算律，掌握一些常用的运算技巧； （2）掌握分式求值中的几种技巧和方法。三. 知识梳理： 1. 分式的概念： 设A、B是两个整式，AB就可以写成的形式，如果B中含有字母，则叫做分式，其中A为分子，B为分母。当分母B0时，分式有意义；当A0，且B0时，分式的值为0；当A0，且B0，或A0，且B0，且B0，或A0时，。 2. 分式基本性质： 分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，即(M为不为0的整式)。它是分式通分和约分的根据。 3. 分式的约分： 把分式的分子、分母中的公因式约去叫约分。 公因式是分子与分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂。 4. 分式的通分： 将几个异分母的分式化成同分母的分式叫分式的通分。最简公分母是各分母系数的最小公倍数，相同因式的最高次幂，所有不同因式的积。 5. 分式乘法： 将分子、分母分别相乘，即。 分式除法：将除式分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即。 6. 分式乘方： (b0)。 分式开方： (a0，b0)。 7. 分式的加减： （1）同分母分式相加减：； （2）异分母分式相加减：。 8. 分式混合运算：分式混合运算的顺序为：分式的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的。 运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等，运算结果必须是最简分式或整式。 注：前两节的知识框架总结如下：【典型例题】 例1. 若分式的值等于零，则x_；若分式的值等于0，则x_。 分析：根据分式的值为零的条件来解答，即：如果是一个分式，则0 解：由x20，得x2. 当x2时x10，所以x2； 由（x2）（x1）0，得x20或x10，所以x2或x1。当x1时， =0，所以只取x2。 例2. 当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A. B. C. D. 分析：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则有意义B0。 解：当x0时，x20，所以选项A不是；当x时，2x10，所以选项B不是；因为x20，所以x210，即不论x为何实数，都有x210，所以选项C是；当x1时，x10，所以选项D不是。故选C。 例3. 分析：分式的混合运算，与实数的混合运算相似，一般是先算乘除，后算加减，有括号应先算括号里面的。本题注意整体思想的运用。 解：原式= =. 例4. 化简 分析：如果直接通分，运算非常复杂.观察到分母中两因式之差等于分子，可逆用分式的通分法则，把每个分式拆成两分式之差，消去一些项使分式运算变简单。 解：原式 例5. 计算 分析：若先算括号里面的，运算就比较复杂，考虑到后面除以，可以用平方差公式分解因式后化简。 解：原式= = = 例6. 计算 分析：如果按照法则进行，先算括号里面的，过程就比较繁琐，而用乘法分配律进行计算.运算就简单多了。 解：原式= = = 注：当碰到有括号的运算时，要根据具体的式子，观察分析是先算括号里面的还是使用乘法分配律。 例7. 已知，则M_。 分析：两个相等的分式，如果分母相等，那么，它们的分子也一定相等；反之，如果分子相等，它们的分母也一定相等（分子不为0）。 解： = ，=x2 例8. 已知x为整数，且为整数，求所有符合条件的x值的和。 分析：显然在原式形式下无法确定满足条件的x的值， 需先经过化简计算才能使问题得到解决，这是解决分式问题常用的做法。 解：原式= = = = 显然，当x-3=2，1，-2或-1，即x=5，4，2或1时，的值是整数，所以满足条件的数只有5，4，2，1四个，所以符合条件的x的值的和是：5+4+2+1=12。 例9. 已知=8，求和的值。 分析：本题充分运用了a与的倒数关系，注意运用以下的关系式： 灵活运用这一变形便可巧妙地解决这类求值问题。 解：在=8的两边都加上2，得 所以有= 类似地：=8的两边都减去2，得 所以有= 变式题：已知，求的值。 由得： 例10. 若x，y，z满足，求分式的值。 分析：可将其中的字母z看做已知数，用含有的z的代数式分别表示xy，再将其代入分式计算，最后约去z，从而求出分式的值。这里我们用整体思想来解答。 解：由题意得： 化简得： 解得： 原式4009 例11. 甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现在要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们两个人谁能先完成任务呢？ 分析：先用含x的代数式分别表示甲和乙生产168个和144个零件各需要的时间，再比较时间的大小从而得出结果.需要注意的是，本题要用到求差比较两数大小与分类的思想。 提醒：利用求差来比较两个数的大小，是比较大小的一种常用方法。 求差的结果无法直接与0比较大小时，则必须讨论各种可能出现的情况。 解：设乙每小时生产x个零件，则甲每小时生产（x+8）个零件。 则乙生产144个这种零件需小时，甲生产168个这种零件需小时。 x0，x(x+8)0 当x48时，乙先完成任务； 当x=48时，两人同时完成任务； 当x0，yo，xy. 即采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B的平均单价。 选用采购员B的购货方式合算。 （提示：要知谁的购货方式合算，比较他们各自购买饲料的平均单价即可。）