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初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答
．（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
(1）求抛物线的解析式；
(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
图2

x
y
C
B
_
D
_
A
O

答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴ 解之得：；故为所求
(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有，，
故BD的解析式为；令则，故
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，
图3
易知BN=MN=1， 易求
；设，
依题意有：，即：
解之得：，，故 符合条件的P点有三个：

x
y
O
1
1
． (10北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-3m+2
与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。
(1) 求点B的坐标；
(2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的
垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。
以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动
时，C点、D点也随之运动)
j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求
OP的长；
k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一
点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止
运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF
到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q
点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分
别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。
答案：解：(1) ∵拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点，∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，
由题意知m¹1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y= -x2+x，∵点B(2，n)在拋物线
y= -x2+x上，∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。
O
A
B
C
D
E
P
y
x
图1
(2) j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为
y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的
坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为
(a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求
得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得
2a= -´(3a)2+´3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0
(舍去)，∴OP=。
k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，
点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰
直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三
角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，
∴t+4t+2t=10，∴t=。
第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三
角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t，∵F点在
直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、
AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10，∴t=。综上，符合题意的
图4
y
x
B
O
Q(P)
N
C
D
M
E
F
t值分别为，2， 。
x
y
O
A
M
(C)
B
(E)
D
P
Q
F
N
图3
E
x
O
A
B
C
y
P
M
Q
N
F
D
图2

．（10贵州遵义）如图，已知抛物线的顶点坐

标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两
点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C
沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，
交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，
问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，
求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）
∵抛物线的顶点为Q（2，-1）
∴设
将C（0，3）代入上式，得

∴， 即

(2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
令=0, 得
解之得,
∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)
∴P1(1,0)
②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴
∴
∵D2在上, P2在上,
∴设D2(,), P2(,)
∴()+()=0
, ∴, (舍)
∴当=2时,
==-1
∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)

(3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P(2,-1), ∴可令F(,1)
∴
解之得: ,
∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)

．（10湖北黄冈）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
(1）求字母a，b，c的值；
(2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
(3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

答案：（1）a＝－1，b＝2，c＝0
(2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
(3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.

．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
(1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
(2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
(3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

答案：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
(写错一个点的坐标扣1分）

O
M
N
H
A
C
E
F
D
B
↑
→
－8
(－6，－4)
x
y

(2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4），
∴．则抛物线关系式为．
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

解得
所求抛物线关系式为：．
(3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．
∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

( 0＜＜4）
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．
(4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．

．已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
(1）求这个函数关系式；
(2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
(3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

A
x
y
O
B

答案：解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……
(2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x
轴于点C．
∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴故PC=2BC，设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)(3）点M不在抛物线上由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ
∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=
∴Q点的坐标为(-，)
可求得M点的坐标为(，)
∵=≠
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上
．（10重庆潼南）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.
(1）求抛物线的解析式；
(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
(3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

答案：解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)
∴
解得： b=－ c=－1
∴二次函数的解析式为
(2）设点D的坐标为（m，0） (0＜m＜2）
∴ OD=m ∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC得，
∴
∴DE=
∴△CDE的面积=××m
==
当m=1时，△CDE的面积最大
∴点D的坐标为（1，0）
(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为
设y=0则 解得：x1=2 x2=－1
∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1
设直线BC的解析式为：y=kx＋b
∴ 解得：k=-1 b=-1
∴直线BC的解析式为: y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1
由勾股定理得：AC=
∵点B(－1,0) 点C（0，－1）
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=时，
设P(k, －k－1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中
k2+k2= 解得k1=， k2=－
∴P1（，－） P2（－，）
②以A为顶点，即AC=AP=
设P(k, －k－1)
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣
在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2
(2－k)2+(－k－1)2=5
解得：k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1, －2)
③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=k
∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜
在Rt△PLA中
(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2
解得：k=∴P4(,－)
综上所述： 存在四个点：P1（，－）
P2（-，） P3(1 －2) P4(,－)
y
A
B
C
O
x
． (10山东临沂）如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、
B(2，0)两点，且与y轴交于点C；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四
点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点
为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
答案：[解] (1) 根据题意，将A(-，0)B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个
方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，
∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。
在△BOC中，BC===。
AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5==AB 2，∴△ABC是直角三角形。
(2) 点D的坐标为(，1)。
(3) 存在。由(1)知，AC^BC。
y
A
B
C
O
x
P
j 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线
BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线
BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b，
把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，
∴直线AP的解析式为y= -x-。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
y
A
B
C
O
P
x
∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，
x2= -(舍去)。当x=时，y= -，∴点P(，-)。
k 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。
可求得直线AC的解析式为y=2x+1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代
入直线BP的解析式，求得b= -4，
∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线
上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，
即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。
当x= -时，y= -9，∴点P的坐标为(-，-9)。
综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。
．（10山东潍坊）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结
(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
(2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

答案：解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：
∵抛物线与轴交于点
∴
∴
所以，抛物线的函数关系式为：
又
因此，抛物线的顶点坐标为
(2）连结∵是的两条切线，
∴∴
又四边形的面积为∴∴
又∴
因此，点的坐标为或
当点在第二象限时，切点在第一象限.
在直角三角形中，
∴∴
过切点作垂足为点
∴
因此，切点的坐标为
设直线的函数关系式为将的坐标代入得
解之，得
所以，直线的函数关系式为
当点在第三象限时，切点在第四象限.
同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为
因此，直线的函数关系式为
或
(3）若四边形的面积等于的面积
又
∴
∴两点到轴的距离相等，
∵与相切，∴点与点在轴同侧，
∴切线与轴平行，
此时切线的函数关系式为或

当时，由得，
当时，由得，
故满足条件的点的位置有4个，分别是

说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.

．(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．
(1）求满足条件的所有点B的坐标；
(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．

【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝＝5．
(1）当OA＝OB＝5时，
如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）．
如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）．

x
y
B
C
A
O
x
y
B
C
A
O

(2)
(1)

当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）．
当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则，解得OB＝，点B的坐标为（－，0）．y
B
C
A
x
O
(3)
(4)

y
A
B
D
x
O

(2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为，可得方程组，解得a＝，，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(当OA＝OB时，同理得．
(3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE，．设BE＝4m，PE＝3m，则点P的坐标为（4m－8，－3m），代入，解得m＝3．
则点P的坐标为（4，－9），
S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48．
若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9），
S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48．

(5)
O
y
B
C
A
x
P

E

(6)
x
y
B
A
O
C
P

F

(当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF，．设BF＝4m，PF＝3m，则点P的坐标为（4m－5，－3m），代入，解得m＝．
则点P的坐标为（1，－），
S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝．
若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF，．设点P的坐标为（－n，－3n），代入，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75．

． (10广西河池）
如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．
(1）线段的长为 ，点的坐标为 ；

M
C
B
O
A
图11
(2）求△的面积；
(3）求过，，三点的抛物线的解析式；
(4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该
抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形
为平行四边形，求点的坐标．

答案：解：（1）4 ；.
(2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，
∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM
又 ∵ OA=2BC
∴ AM＝2CM ，CM＝AC
所以
(注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）
(3）设抛物线的解析式为
　　　由抛物线的图象经过点,,.所以

　　　解这个方程组，得，，
所以抛物线的解析式为
(4）∵ 抛物线的对称轴是CD，
① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点；
② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以.
同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.
综上所述，点F的坐标为，.

．（10广西桂林）如图，过A（8，0）、B（0两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．
(1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
(2）求S与t的函数关系式；
(3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解（1）C（4，）
的取值范围是：0≤≤4
(2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）
∴DE=-=
∴等边△DEF的DE边上的高为：
∴当点F在BO边上时：=，∴=3
① 当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-

S=
=
=
② 当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形
S=
=
(3）存在，P（，0）
说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,
若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）