高中数学常用公式-精简版.doc

高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系:,.
2 集合的子集个数共有 个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.
3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式;
(2) 顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）
(3) 零点式；（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式）
4 真值表： p且q：有假则假，同真为真；p或q：有真则真，同假为假；非p：真假性相反
5 常见结论的否定形式;
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有（个
小于
不小于
至多有个
至少有（）个
对所有，成立
存在某，不成立
或
且
对任何，不成立
存在某，成立
且
或
6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
（2）、，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
(3)、p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有
成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有
成立，则就叫f（x）在xD上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；（5）-增函数=减函数；（6）-减函数=增函数；（7）

复合函数的单调性：
函数 单调
单调性
内层函数
↓
↑
↑
↓
外层函数
↓
↑
↓
↑
复合函数
↑
↑
↓
↓
等价关系：
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.

(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：在前提条件下，若有，
则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：
定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
9函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2 ；
(3)、，此时周期为2m 。
10常见函数的图像：

11 对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与 的图象关于直线对称.
12 分数指数幂与根式的性质：
(1)（，且）.
（2）（，且）.
（3）.
（4）当为奇数时，；当为偶数时，.
13 指数式与对数式的互化式: .
指数性质：
(1)1、 ； （2）、（） ； (3)、
(4)、 ； (5)、 ；
指数函数：
(1)、 在定义域内是单调递增函数；
（2）、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
(1)、 ；（2）、 ；
(3)、 ；(4)、 ； (5)、
(6)、 ； (7)、
对数函数：
(1)、 在定义域内是单调递增函数；
（2）、在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、
(4)、 或
14 对数的换底公式 : (,且,,且, ).
对数恒等式：(,且, ).
推论 (,且, ).
15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1); (2) ;
(3); (4) 。
16 平均增长率的问题（负增长时）：
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
17 等差数列：
通项公式： （1） ，其中为首项，d为公差，n为项数，为末项。
（2）推广：
（3） （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和： （1） ；其中为首项，n为项数，为末项。
（2）
（3） （注：该公式对任意数列都适用）
（4） （注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 ；
注：若的等差中项，则有2n、m、p成等差。
（2）、若、为等差数列，则为等差数列。
（3）、为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列。
（4）、 ；
（5） 1+2+3+…+n=
等比数列：
通项公式：（1） ，其中为首项，n为项数，q为公比。
（2）推广：
（3） （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和：（1） （注：该公式对任意数列都适用）
（2） （注：该公式对任意数列都适用）
（3）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 ；
注：若的等比中项，则有 n、m、p成等比。
（2）、若、为等比数列，则为等比数列。
18分期付款(按揭贷款) ：每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
19三角不等式：
1）若，则.
(2) 若，则.
(3) .
20 同角三角函数的基本关系式 ：，=，
21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22 和角与差角公式
;;
.
=
(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
23 二倍角公式及降幂公式
.
.
.

24 三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
三角函数的图像：

25 正弦定理 ：（R为外接圆的半径）.

26余弦定理：
;;.
27面积定理：
（1）（分别表示ab、c边上的高）.
（2）.（特别重要）
28三角形内角和定理 ：
在△ABC中，有
.
29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μ)=(λμ) ;
(2)第一分配律：(λ+μ) =λ+μ;
(3)第二分配律：λ(+)=λ+λ.
30与的数量积(或内积)：·=||||。
31平面向量的坐标运算：
(1)设=,=，则+=.
(2)设=,=，则-=.
(3)设A，B,则.
(4)设=，则=.
(5)设=,=，则·=.
32 两向量的夹角公式：
(=,=).
33 平面两点间的距离公式：
=(A，B).
34 向量的平行与垂直 ：设=,=，且，则：
||=λ .（交叉相乘差为零）
() ·=0.（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式（了解，不做要求） ：设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.
38常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
3）
（4）.
（5）(当且仅当a＝b时取“=”号)。
39极值定理:已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
（3）已知，若则有
。
（4）已知，若则有

40 一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：
；
.
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
.
或.
42 斜率公式 ：
（、）.
43 直线的五种方程：
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
　两点式的推广：（无任何限制条件！）
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
直线的法向量：，方向向量：
44 夹角公式：
(1).　(，,)
(2).(,,).
直线时，直线l1与l2的夹角是.
45 到的角公式：
(1).(，,)
(2).(,,).
直线时，直线l1到l2的角是.
46 点到直线的距离 ：(点,直线：).
47 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
48点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：
若，则点在圆外;
点在圆上; 点在圆内.
49直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种():
;;.
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则：
;
;
;
;
.
51 椭圆的参数方程是.　离心率，
准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：.
52 椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
，；。
53椭圆的的内外部:
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
54 椭圆的切线方程:
(1) 椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）椭圆与直线相切的条件是.
55 双曲线的离心率，准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.
焦半径公式，，
两焦半径与焦距构成三角形的面积。

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为
（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是。
57双曲线的切线方程:
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
58抛物线的焦半径公式:
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
59二次函数的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；
（3）准线方程是.
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
（弦端点A，由方程 消去y得到
,为直线的倾斜角，为直线的斜率，.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；

68球的半径是R，则其体积,其表面积．
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为
(正四面体高的),外接球的半径为(正四面体高的).

80 在处的导数（或变化率）：
.
瞬时速度：.
瞬时加速度：.
81 函数在点处的导数的几何意义：
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
82 几种常见函数的导数：
(1) （C为常数）.(2) .(3) .
(4) .　(5) ；.
(6) ; .
83 导数的运算法则：
（1）.（2）.（3）.
84 判别是极大（小）值的方法：
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
85 复数的相等：.（）
86 复数的模（或绝对值）==.
87 复平面上的两点间的距离公式：
（，）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程，
①若,则;
②若,则;
③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.

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