不等式证明论文.doc

摘 要
在中学数学的教学中，不等式的证明始终是一个难点，也占有重要的地位，是数学中不可缺少的工具之一。关于不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，从而不等式证明的教学在发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力方面也发挥着重要的作用。就其知识范围而言，涉及到代数、三角、几何等各个初等数学领域，有较强的综合性和多样性。由于许多初等数学中的问题往往蕴含着数学中较高层次理论和再实践的问题。为解决高等数学与初等数学的脱节现象，有意将高等数学的原理和方法应用于一些初等数学的证明与计算。不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会用高等数学的原理和方法解决初等数学问题时居高临下驾轻熟驭的感觉。因此，本文着眼于不同角度，应用不同的知识,从三个方面:1.不等式证明的基本方法；2.不等式证明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法对若干例题的讲解，初步概括一些证明不等式的若干方法。

关键词:不等式；初等数学；证明方法

Abstract
The inequality proof has always been a difficult point in mathematics teaching in middle school. However, it also plays an important role, and is an indispensable mathematical tool in mathematics teaching. As for the method, there are many fliexiblity and skills and have no fixed principle to obey. Therefore, the inequality proof takes an important part in the development of the students’ mathematical thinking, and logical thinking. A rage of knowledge including algebra, trigonometry, geometry and every area of primary mathematics, there is a strong integrated and diversity. Because many elementary mathematics problems often contains a higher level mathematics, theory and more practice problems. In order to solve the problem that higher mathematic alienated from the middle-mathmaticals. This paper will apply the principles methods of mathematics to some elementary mathematical proof and Calculation purposely. Doing like this: Not only to enlarge students’ range of knowledge, but also enable students to realize that using the principles of advanced Mathematics to solve Elementary Math problems just like doing a familiar job with ease. Therefore, this paper will use a variety of knowledge such as: 1 Inequality out the basic method; 2.Inequality out special methods; 3. Using advanced mathematics from different aspects to analysis some example to gain some methods of the inequality proof.

Key words: Inequality; Elementary Math; Methods of proof

I

目 录
摘 要 I
ABSTRACT II
引言 1
1 不等式证明的基本方法 1
1.1 综合法 1
1.2 分析法 2
1.3 比较法 3
1.4 反证法 4
1.5 数学归纳法 4
1.6 放缩法 5
2 不等式证明的特殊方法 6
2.1 换元法 6
2.1.1 代数换元法 6
2.1.2 三角换元法 7
2.2 参数法 7
2.3 面积法 9
2.4 化整法 9
2.5 通项公式法 10
3 利用高等数学证明不等式的方法 10
3.1 函数单调性法 11
3.2 函数图形的凹凸性进行证明法 11
3.3 拉格朗日中值定理法 12
3.4 柯西中值定理法 12
3.5 函数的极值和最值法 13
3.6 泰勒公式法 14
4 结 语 15
参考文献 16
谢 辞 17

咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计）
引言
数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在 1882年 -1928 年数学不等式理论的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。于1934年以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。
本文应用不同的知识从三个方面：1.不等式明的基本方法；2.不等式明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法综合对若干例题的讲解,初步概括一些证明不等式的若干方法。
1 不等式证明的基本方法
不等式证明的一般方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等。
1.1 综合法
利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：…，即从已知逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论。
例1 设，若，，,
试证明：对于任意，有.
分析 要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．
本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论也不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”因此，我们可以，和当成两个独立条件，先用和来表示.
因为 ,
所以 ,
.
当时，，
所以，根据绝对值不等式的性质可得
，，.
所以

综上，问题获证.
用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论。用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。
1.2 分析法
当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明的逻辑关系为：…，书写的模式是：为了证明命题成立，只需证明命题为真，从而有…，这只需证明为真，从而又有…，……这只需证明为真，而已知为真，故必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
例 2 已知:,, 且，求证:.
证明 欲证,
只需证,
因为,故.
所以只需证, .
只需证.
由已知,
所以只需证. 而,.
故≤.
故原不等式成立。
1.3 比较法
比较两个式子的大小，求差或求商（与0或1的大小关系）是最基本最常用的方法。
例3 如果用kg白糖制出kg糖溶液，则糖的质量分为，若在上述溶液
中再添加kg白糖，此时糖的质量分数增加到将这个事实抽象为数学问
题，并给出证明。
解 可以把上述事实抽象为如下不等式问题：
已知都是正数，并且，求证：
证明
因为都是正数，并且，
所以
,，
即 .
比较法是证明不等式的基本思路。
1.4 反证法
假设不成立，但是不成立时，又无法解出本题，于是成立。即有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及它的性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
例4 已知锐角,满足+=2，求证+＝.
证明 假设+＞，则＞-，＞-,
因为，，-，-(0，),
所以
＜(-)＝,
＜(-)= ,
从而2=+＜+=2矛盾.
故 +≤，同理+≥，
得 +=.
1.5 数学归纳法
应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命
题的步骤：
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当时命题成立，
（3）证明当时命题也成立；
根据（1），（2）和（3）可知命题对于从开始的所有正整数都成立．
例 5 证明…
分析 此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明。
证明 ①时，不等式的左边=1，右边=2，显然1<2，
所以，时命题成立。
②假设时命题成立，
即 …
则当时，
左端…
右端.
由于
=
.
所以，，即时命题也成立。
由①②可知原不等式得证。
1.6 放缩法
将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。
例 6 证明 ….
证明 法1
因为
即 ，
所以
… …
所以 …
法2（构造法、函数法）
设 …
因为

……

，
所以是N是的增函数，
≥，
….
从上述证法可以看出：其中用到了这一事实，从而达到了和之间的转化，也即和之间的转化，这就提示我们，本题可以直接利用这一关系进行放缩。
2 不等式证明的特殊方法
不等式的证明除了基本的方法外，本文拟从不等式证明的特殊性，归纳一些特殊的证明方法。如换元法、参数法、面积法、化整法、通项公式法。
2.1 换元法
通过对所证不等式添设辅助元素，使原来的未知量(或变量)变换成新的未知量(或变量)，从而更容易达到证明的目的。此种方法证明不等式一般采取以下步骤:
〈1〉认真分析不等式,合理换元；
〈2〉证明换元后的不等式；
〈3〉得证后,得出原不等式成立。
换元法可分为两大类。
2.1.1 代数换元法
在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。
例 1 求证:
分析 由于根指数为3，若采取两边三次方的办法，中间运算较繁。根据不等式左边的特点，考虑公式，不妨设=，b=于是只需证<24即可。
证明 设=,b=，
可见并且,a>b,
又有 ,
故 .
以乘此不等式两边得
,
故,
即,
对上式两边均加上
即 ,
即 ,　

所以 .
即原不等式成立。
2.1.2 三角换元法
多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题。
例2 已知,求证.
分析 由已知可想到三角公式
故可产生换元。
证明 由已知可设,
则代入求证不等式中
.
即所证不等式成立。
可见对于冗长而复杂的不等式用代数法换元，可以使问题变得明显简单。对于含有根式或带有绝对值符号的不等式，可用三角法换元，同样可以将难化易。
2.2 参数法
有些不等式的证明，可以通过引入参数，将问题化成对参数的讨论，从而达到证明的目的。
例 5 已知，求证.
分析 由已知条件入手，可分别引入单参数、双参数、三参数解决问题。
证明
法1(单参数法)
由已知，　
　故

.
而最大值为,
故有成立。
法2(双参数法)
令,　则 .

.
所以 .
法3(三参数法)
设 且.

=.成立。
2.3 面积法
将某些不等式证明化为求面积的问题，能够更加明显简单。
例6 求证 如果,那么.
分析 已知中已给出两个角，则可将这来那个角放于特殊图形中。
证明 作RT△ABC，使∠ABC=90°，∠BAC=在BC上取一点D，使∠DAB=以A为圆心，以AD为半径作圆弧交AC于F，交AB延长线于E，（如图1）。
则有

图1
.
故所证不等式成立。
2.4 化整法
在一类分式不等式的证明中，若把分式分裂成整数（或整式）部分和分式部分，并使几个分式的整数部分相等。这样不等式的证明就转化为剩余部分分式的大小比较，而后者比前者简单多了。
例 8 若,求证.
分析 左右两边均可写成两部分：， .
而，则故可证明。
证明
.
即所证不等式成立。
2.5 通项公式法
型如型不等式，可将视为数列{}的前几项和，而=,即为数列的前几项和。则即，应用= 求出去与比较，若有则有。
例 5 求证： .
分析 这是不等式属典型通项公式法证明。
证明 左边是数列的前几项和，
设左边的和为,右边为，
当时

.
即有成立，再有当时
也适合上式
从而有,即原不等式成立。
3 利用高等数学证明不等式的方法
在讲授高等数学过程中，如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何将解决高等数学与中学数学脱节的现象，是高等院校在数学教学中需要探讨解决的问题之一。有许多不等式在数学研究中有着重要的作用。但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出几种证法。
3.1 函数单调性法
利用函数单调性证明不等式是数学分析中最常用的一种方法。其理论依据是函数单调性的定义。在证题中常要用到结论：若函数在内可导，且，则在内严格递增（递减）。
例 1 已知都是正整数，且.证明不等式
分析 原不等式等价于相当于函数=满足 ,于是只需证明在区间上是减函数即可。
证明 原不等式等价于
取函数=
则

.
所以在上是减函数，从而结论成立。
3.2 函数图形的凹凸性进行证明法  
函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数，利用函数 在所给
区间的二阶导数确定函数的凹凸性。
函数为凹函数,则，
函数为凸函数,则，
从而证明出结论。
例 2 试证:,(x>0,y>0,x≠y).
证明 令,,,
故在或,是凹函数，
于是［］(),
  即［］,
   即.
    类似的如：证明,.
3.3 拉格朗日中值定理法
定理 若函数在闭区间上连续；在开区间内可导，则在内至少一点使得.
例 3 证明 当且时成立不等式.
证明 设则对任意，在以x和0为端点的区间上应用拉格朗日中值定理有或在0和之间。
当时，由，可推知.
当时，由，可推知.
从而得到所要证的结论。
3.4柯西中值定理法
定理 设 、满足
(i) 在区间 上连续，
(ii) 在 内可导，
(iii)不同时为零，
(iv)，
则至少存在一点使得.
例 4 设 证明：.
分析 原不等式可等价于不等式左边可看成是函数在区间上的改变量的商,故可用柯西中值定理证明之。
证明 原不等式等价于，
取,
显然和在区间上满足柯西中值定理条件，
于是存在，使得=，
即.
因为，，
所以，，,
从而 或,
因此.
即.
3.5 函数的极值和最值法
极值的定义 设在某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于的
任意点都有:
(1),则称为的极大值, 称为的极大值点;
(2),则称为为的极小值, 称为的极小值点;极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点.
设在上连续，则在上必有最值。
求最值的方法：①求
②求出在内的所有驻点和不可导点
③求,,,其中最大（小）的即为在上的最大（小）值。
例 5 求证：若p，则对[0，1]上任意有
证明 取函数，
则有==
令=0，=，
解得驻点
由于在闭区间[0，1]上连续，因而在[0，1]上取得最大值和最小值，又在[0，1]上可导，并且， .
所以在上最小值是，最大值是1.
从而对上的任意有
即,.
3.6 利用泰勒公式法
泰勒公式沟通了函数与高阶导数之间的关系，如果问题涉及到函数和高阶导数，就可以考虑用泰勒公式。用泰勒公式证明不等式时，常需将函数按某些特点展成泰勒公式，通过分析余项在点的性质，而推出不等式。
例 6 若函数满足：
（1）在上具有二阶可导函数，
（2）且满足条件 ，
则在区间 内至少存在一点 使得 ，所以在的一阶泰勒公式成立。
在点和分别展成泰勒公式有
， （1）
， （2）
取，且由有， （3）
， （4）
（4）（3）式并取绝对值得，
取=有，2，
于是.
即，.
因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用和表示。

4 结 语
不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一。众所周知，不等式的讨论在高等数学中起着重要的作用，由于不等式是讨论数量大小的，而这种数量或函数之间大小关系的比较能更广泛地显示出变量之间相互制约的关系，从而进一步研究、估计函数变化状态的趋势。高等数学主要是用极限概念来解决问题。而极限概念是用不等式定义的，它是描述某一序列或函数在变化的过程中“某一时刻”以后，“无限接近”，“无限增加”或“摇摆不定”等情况，这用某些具体的量相等的关系是无法描述的，只有用不等式才能反映“某一时刻”以后函数的变化状态。即不等式教学在高等数学教学中有着重要的地位。本文总结出若干种比较常用的不等式证明的方法，至于其它证明方法有待于大家去进一步的探索和发现。

参考文献
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谢 辞
四年的大学生活已接近尾声，其间的刻苦努力和勤奋学习让我的大学生活过的丰富而充实，作为大学四年学习成果的最后总结，本次论文撰写工作的完成将为其画上一个完美的句号。
这次论文写作，对我的影响很大，感受很深。首先我知道了要写一篇像样的论文不是一件容易的事。准备材料是一项繁重而又复杂的工作，需要很大的耐心，而且还要有数据的来源，这期间得感谢图书馆的工作人员还有网络中心的人员给我提供的方便，再次感谢。在论文写作期间，我得到了郭艳春指导老师的热情而又耐心的指导。因为这是第一次写这样具有学术性、系统性、而且结构又要求十分严谨的论文，所以在写作过程中遇到了不少困难。在论文的排版和打印工作中，我得到了身边好友和同学的热心帮助，在此我对他们表示谢意。

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