高考数学大题经典习题.doc

1. 对于函数。
〔1〕假设在处取得极值，且图像上每一点切线斜率均不超过试求实数取值范围；
〔2〕假设为实数集R上单调函数，设点P坐标为，试求出点P轨迹所形成图形面积S。
1. 〔1〕由，那么
因为处取得极值，所以两个根
因为图像上每一点切线斜率不超过
所以恒成立，
而，其最大值为1．
故
〔2〕当时，由在R上单调，知
当时，由在R上单调恒成立，或者恒成立．
可得
从而知满足条件点在直角坐标平面上形成轨迹所围成图形面积为
2. 函数〔〕图象关于原点对称，、分别为函数极大值点和极小值点，且|AB|＝2，.
〔Ⅰ〕求值；
〔Ⅱ〕求函数解析式；
〔Ⅲ〕假设恒成立，求实数取值范围.
2. 〔Ⅰ〕 =0
那么
|AB|＝2
又
〔Ⅲ〕 时，求最小值是-5
3. 是定义在R上函数，其图象交x轴于A，B，C三点，假设点B坐标为〔2，0〕，且在和[4，5]上有一样单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反单调性．
〔1〕求c值；
〔2〕在函数图象上是否存在一点M〔x0，y0〕，使得在点M切线斜率为3b？假设存在，求出点M坐标；假设不存在，说明理由；
3. ⑴ ∵在和上有相反单调性，
∴ x=0是一个极值点，故，
即有一个解为x=0，∴c=0
⑵ ∵交x轴于点B〔2，0〕
令，那么
∵在和上有相反单调性
假设存在点M〔x0，y0〕，使得在点M切线斜率为3b，那么
即
又， ∴△＜0
∴不存在点M〔x0，y0〕，使得在点M切线斜率为
4. 函数
〔1〕求函数最大值；
〔2〕当时，求证；
4. 〔1〕
令得
当时， 当时，又
当且仅当时，取得最大值0
〔2〕
由〔1〕知
又
5. 是定义在，，上奇函数，当，时，〔a为实数〕．
　　〔1〕当，时，求解析式；
　　〔2〕假设，试判断在[0，1]上单调性，并证明你结论；
　　〔3〕是否存在a，使得当，时，有最大值．
5. 〔1〕设，，那么，，，是奇函数，那么，，；
　　〔2〕，因为，，，，，即，所以在，上是单调递增．
　　〔3〕当时，在，上单调递增，〔不含题意，舍去〕，当，那么，，如下表
x

，

＋
0
-

最大值

所以存在使在，上有最大值．
6. 在R上单调递增，记三内角对应边分别为，假设时，不等式恒成立．
〔Ⅰ〕求实数取值范围；
　　〔Ⅱ〕求角取值范围；
〔Ⅲ〕求实数取值范围．
19. (1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且，，
当，即时，，
时，时，，即当时，能使在R上单调递增，．
　　(2)，由余弦定理：5分
(3) 在R上单调递增，且，所以
，---10分
故，即，，即，即
7. 函数
〔I〕当时，求函数极小值
〔II〕试讨论曲线与轴公共点个数。
7. 〔I〕
当或时，；当时，
在，〔1，内单调递增，在内单调递减
故极小值为
〔II〕①假设那么 图象与轴只有一个交点。……6分
②假设那么，当时，，当时，
极大值为
极小值为 图象与轴有三个公共点。
③假设，那么。
当时，，当时，
图象与轴只有一个交点
④假设，那么 图象与轴只有一个交点
⑤当，由〔I〕知极大值为
综上所述，假设图象与轴只有一个公共点；
假设，图象与轴有三个公共点。第二组：解析几何
1. 点C〔-3，0〕，点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
〔1〕当点P在y轴上运动时，求点M轨迹C方程；
〔2〕是否存在一个点H，使得以过H点动直线L被轨迹C截得线段AB为直径圆始终过原点O。假设存在，求出这个点坐标，假设不存在说明理由。
6. 〔1〕设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)
那么
由得3s—t2=0……………………………………………………①
又由得
把②代入①得=0，即y2=4x，又x≠0
∴点M轨迹方程为：y2=4x〔x≠0〕
〔2〕如图示，假设存在点H，满足题意，那么
设，那么由可得
解得
又
那么直线AB方程为：
即把代入，化简得
令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点〔4，0〕
答，存在点H〔4，0〕，满足题意。
2. 设为直角坐标平面内x,y轴正方向上单位向量，假设向量.
(1)求点M〔x,y〕轨迹C方程；
(2)过点(0,3)作直线与曲线C 交于A、B两点，设，是否存在这样直线，使得四边形OAPB为矩形？假设存在，求出直线方程；假设不存在，说明理由.
2. (1)
即点M(x,y)到两个定点F1(0,-2)、F2(0,2)距离之和为8,
点M〔x,y〕轨迹C为以F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点椭圆，其方程为
(2)由题意可设直线方程为，
由消去y得：(4+3k)x2 +18kx-21=0.
此时，△=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恒成立，且
由知：四边形OAPB为平行四边形.
假设存在直线，使得四边形OAPB为矩形，那么 .
因为，所以，
而，
故，即.
所以，存在直线：，使得四边形OAPB为矩形.
3. 一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．
〔Ⅰ〕求点关于直线对称点坐标；
〔Ⅱ〕求以、为焦点且过点椭圆方程；
〔Ⅲ〕设直线与椭圆两条准线分别交于、两点，点为线段上动点，求点 到距离与到椭圆右准线距离之比最小值，并求取得最小值时点坐标．
12. 〔Ⅰ〕设坐标为，那么且．
解得， 因此，点 坐标为．
〔Ⅱ〕，根据椭圆定义，
得，
∴所求椭圆方程为．
〔Ⅲ〕，椭圆准线方程为．
设点坐标为,表示点到距离，表示点到椭圆右准线距离．
那么，．
令，那么，
当，， ，．
∴ 在时取得最小值．
因此，最小值＝，此时点坐标为．
注：最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得点即为切点，最小值即为椭圆离心
4. 椭圆一个焦点，对应准线方程为，且离心率满足，，成等比数列.
(1)求椭圆方程；
(2)试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点、，且线段恰被直线平分？假设存在，求出倾斜角取值范围；假设不存在，请说明理由.
4. 〔1〕∵成等比数列　∴　
设是椭圆上任意一点，依椭圆定义得
即为所求椭圆方程.
〔2〕假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴
因此可设方程为：由
方程①有两个不等实数根
设两个交点、坐标分别为　∴
∵线段恰被直线平分　∴
∵　∴ ③　把③代入②得
∵　 ∴　∴解得或
∴直线倾斜角范围为
5. 向量.
〔Ⅰ〕求点轨迹C方程；
〔Ⅱ〕设曲线C与直线相交于不同两点M、N，又点，当时，求实数取值范围。
5. 由题意得：
〔II〕由得,
由于直线与椭圆有两个不同交点，，即 ①
〔1〕当时，设弦MN中点为分别为点M、N横坐标，那么
又 ②.
将②代入①得，解得, 由②得 ,
故所求取值范围是
〔2〕当时，
6. 设直线与椭圆相交于A、B两个不同点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.
〔I〕证明：；
〔II〕假设面积取得最大值时椭圆方程.
6. 依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故
将，得
由直线l与椭圆相交于两个不同点，得
即
〔II〕解：设由①，得
因为，代入上式，得
于是，△OAB面积
其中，上式取等号条件是
由
将这两组值分别代入①，均可解出
所以，△OAB面积取得最大值椭圆方程是
7. 如图，⊙：及点A，在 ⊙上任取一点A′，连AA′并作AA′中垂线l，设l与直线A′交于点P，假设点A′取遍⊙上点.
〔1〕求点P轨迹C方程；
〔2〕假设过点直线与曲线交于、两点,且,那么当时,求直线斜率取值范围.
7. (1)　∵l是线段A中垂线，∴,
∴||PA|－|P||=||P|－|P||=||=.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长双曲线上，故轨迹C方程为.
(2)设,,那么直线方程为,那么由,得
,.由,得.∴,,.
由,,,
消去,得.∵,函数在上单调递增. ∴,，所以 或.
故斜率取值范围为.

8. 如图，⊙：及点 ，在 ⊙上任取一点′，连′，并作′中垂线l，设l与′交于点P， 假设点′取遍⊙上点.
〔1〕求点P轨迹C方程；
〔2〕设直线与轨迹C相交于A、B两个不同点，与x轴相交于点D.假设面积取得最大值时椭圆方程．
8. (1)　∵l是线段中垂线，∴,
∴|PM|+|P|=|P|+|P|=||=2m.即点P在以、M为焦点，以为焦距，以为长轴长椭圆上，故轨迹C方程为，即.
〔2〕由 得
将代入消去，得 ①
由直线l与椭圆相交于两个不同点，得
整理得，即
设由①，得.
∵而点, ∴，所以，
代入上式，得
于是，△OAB面积
其中上式取等号条件是即
由可得.
将及这两组值分别代入①，均可解出
∴△OAB面积取得最大值椭圆方程是
第三组：数列不等式
一．先求和后放缩
例1．正数数列前项和，满足，试求：
〔1〕数列通项公式；
〔2〕设，数列前项和为，求证：
解：〔1〕由得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2等差数列，由，得，所以
〔2〕，所以
注：一般先分析数列通项公式．如果此数列前项和能直接求和或者通过变形后求和，那么采用先求和再放缩方法来证明不等式．求和方式一般要用到等差、等比、差比数列〔这里所谓差比数列，即指数列满足条件〕求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．

二．先放缩再求和
1．放缩后成等差数列，再求和
例．各项均为正数数列前项和为,且.
(1) 求证：；
(2) 求证：
解：〔1〕在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得
所以， ，
所以
〔2〕因为，所以，所以
2．放缩后成等比数列，再求和
例．〔1〕设a，n∈N*，a≥2，证明：；
〔2〕等比数列{an}中，，前n项和为An，且A7，A9，A8成
等差数列．设，数列{bn}前n项和为Bn，证明：Bn＜．
解：〔1〕当n为奇数时，an≥a，于是，．
当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是
〔2〕∵，，，∴公比．
3．放缩后为差比数列，再求和
例4．数列满足：，．求证：
证明：因为，所以与同号，又因为，所以，
即，即．所以数列为递增数列，所以，
即，累加得：．
令，所以，两式相减得：
，所以，所以，
故得．
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m〔m≥2〕个不同数排列P1P2…Pn中，假设1≤i＜j≤m时Pi＞Pj〔即前面某数大于后面某数〕，那么称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列全部逆序总数称为该排列逆序数. 记排列逆序数为an，如排列21逆序数，排列321逆序数．
〔1〕求a4、a5，并写出an表达式；
〔2〕令，证明，n=1,2,….
解〔1〕由得，.
〔2〕因为，
所以.
又因为，
所以
综上，.
注：常用放缩结论：〔1〕
〔2〕．
在解题时朝着什么方向进展放缩，是解题关键，一般要看证明结果是什么形式．如例２要证明结论、为等差数列求和结果类型，那么把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明结论为等比数列求和结果类型，那么把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明结论为差比数列求和结果类型，那么把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明结论为裂项相消求和结果类型，那么把通项放缩为相邻两项或相隔一项差，再求和即可．
虽然证明与数列和有关不等式问题是高中数学中比拟困难问题，但是我们通过仔细分析它条件与要证明结论之间内在关系，先确定能不能直接求和，假设不能直接求和那么要考虑把通项朝什么方向进展放缩．如果我们平时能多观测要证明结论特征与数列求和之间关系，那么仍然容易找到解决这类问题突破口．