近世代数集合的等价------关系与分类.pptx

前页前页前页1 1目录后页返回1 1前页 三、集合的等价三、集合的等价 关系与分类关系与分类 定理1.1.1 -类 例7 例8 例9 二、集合的分类二、集合的分类 定义1.1.4 -集合的分类 例3 例61.11.1 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类 一、等价关系一、等价关系 定义1.1.1 -关系 定义1.1.2 -等价关系 例1 例2 例5 例4 定义1.1.3 -等价类前页前页前页2 2目录后页返回2 2前页一、等价关系一、等价关系元素的一个条件如果对 中任意一个有序元素对 的一个关系(relation)如果 与 满足条件 ，则称 与 有关系 ，记作 ；否则 称 与无关系 关 系 也称为二元关系，我们总能确定 与 是否满足条件 ，就称 是 定义定义1.1.1设 是一个非空集合,是关于 的 前页前页前页3 3目录后页返回3 3前页例例1设 是一个非空集合，的所有子集组成的 集合记为 因为对 的任意两个子集 ，或 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“”是 的一个关系进一步讨论可以发，这个关系还 具有下面两条性质：(1)反身性，即对 的任一子集 ，有 ；(2)传递性,即对 的任意子集 ,如果 ,则有 前页前页前页4 4目录后页返回4 4前页例例2 在整数集 中,规定 因为 这个关系也具有反身性和传递性 例例3 在整数集 中,规定 (即 与 互 素)因为 与 有且仅有一个成立,所 以是 的一个关系这个关系既不满足反身性也不满 足传递性,但却满足所谓的对称性,即对任意两个整数 ,由 ，可推出 与 有且仅有一个成立,所以“|”是 的一个关系 前页前页前页5 5目录后页返回5 5前页定义定义1.1.2设 是 非空集合的一个关系,如 果 满足(E1)反身性,即对任意的 ,有 ；(E2)对称性,即若 ,则 ；(E3)传递性,即若 ,且 ,则 则 称是 的一个等价关系等价关系(equivalence relation),并且如果 ,则称 等价于 ,记作 前页前页前页6 6目录后页返回6 6前页定义定义1.1.3如果是集合 的一个等价关系,对 ,令 称子集 为 的一个等价类等价类(equivalence class)的全体等价类的集合称为集合 在等价关系下的商集商集(quotient set),记作 前页前页前页7 7目录后页返回7 7前页例例易知,三角形的全等,相似,数域 上 阶方阵的相等,相似等都是等价关系,而例1,例2,例3所述的关系都不是等价关系 前页前页前页8 8目录后页返回8 8前页例例设 是正整数,在整数集 中,规定这个关系为同余关系同余关系 (congruence relation),并记作 (2)若 ,则 ；(3)若 ,有 ,则 与 等价当且仅当 与 被 除有相同的余数,因此称所以 是 的一个等价关系,显然 (1)对任意整数 ,则(读作“同余于 模 ”)整数的同余关 系及其性质是初等数论的基础 前页前页前页9 9目录后页返回9 9前页二、集合的分类二、集合的分类定义定义1.1.4如果非空集合 表成若干个两两不 相交的非空子集的并,则称这些子集为集合 的一种 分类分类(partition),其中每个子集称为一个类类(class).如果 的子集族 构成 的一种分类,则记作前页前页前页1010目录后页返回1010前页例例6 设 为数域 上全体 阶方阵的集合,令 表示所有秩为 的 阶方阵构成的子集.(1);(2)所以 是 的一种分类例例7 是整数集 的一 种分类 前页前页前页1111目录后页返回1111前页于 ,且 ,同一元素在两个子集中重复出现,例例8 对实数集 ,令子集 ,.由 所以 不是 的一种分类 前页前页前页1212目录后页返回1212前页三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间 联系联系定理定理1.1.1集合 的任何一个等价关系都确定 了 的一种分类,且其中每一个类都是集合 的一个等 价类.反之,集合 的任何一种分类也都给出了集合 的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那 些类 前页前页前页1313目录后页返回1313前页证证首先,为 集合的一个等价关系,则 (1)对任意的 ,由反身性知 ,所以 (2)如果 ,从而由对称性知 再由传递性知 又对任意的 ,则 ,.这说明,不同的类没有公共元素.于是 ,因此 .则有 同理 ,所以于是同样由传递性得前页前页前页1414目录后页返回1414前页从而由(P1),(P2)知,全体等价类形成的 一种 分类,显然每一个类都是 的等价类 其次,如果已知集合 的一种分类 ,在 中规 定关系“”：对任意的 ,由于 与本身属于同一类,所以.如果 ,即 与 属于同一类,自然 与 也 属于同一类,所以 .最后,如果 ,前页前页前页1515目录后页返回1515前页即 与 属于同一类,与 属于同一类,因而 与 同在 所在的类中,所以 因此“”是 的一个等价 关系.显然,由此等价关系得到的等价类就是原分类中那些类前页前页前页1616目录后页返回1616前页例例设 试确定集合 上的全部等价 关系 解解由定理1.1.1知，只要求出的 全部分类,也 即求出的 所有可能的子集分划即可(1)如果 分划为一个子集,则有 ;(2)如果 分划为两个子集,则有(3)如果 分划为三个子集,则有 前页前页前页1717目录后页返回1717前页因此,上共有五个不同的等价关系,它们是前页前页前页1818目录后页返回1818前页参考文献及阅读材料参考文献及阅读材料1闵嗣鹤,严士健 初等数论（第版）北京:高等教育出版社,1990 本书的第1章有关于整数整除性的详细讨论,第3章 则介绍了同余的概念及其性质 2 AignerM.Combinatorial Theory:Springer-Verlag;New York:Heiderberg,1979