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浅谈初中学生数学思维方式的训练

提要
新世纪的中国公民应该具有怎样的“数学素质”?所谓数学素质就是数学思维能力，即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力。数学教学旨在追求思维品质的提高。
根据初中学生的特点，以及课程标准的要求，我在课堂教学实践中，将抽象的逻辑思维和空间观念转换为具体的、简明的几种思维方式：整体性思维方式、连动性思维方式、多向性思维方式、逆向性思维方式和跨跃性思维方式，对初中学生进行思维方式训练，取得了良好的效果。
对照试验客观、真实地反映了尝试结果，即开展思维专题训练对促进学生思维的发展有较大的影响。
关键词：初中数学 素质教育 思维方式

一、对学生进行思维方式训练的意义
1、数学一向被称为“思维的体操”。数学教学旨在追求思维品质的提高。社会的发展，对数学教学提出了更高的要求。现代教学论认为学生是学习过程的主体，在数学教学过程中应把培养和发展学生的数学思维能力，教会学生学会学习放在重要的地位。
2、中国的基础教育正在从“应试教育”向“素质教育”转轨，新世纪的中国公民应该具有怎样的“数学素质”，已成为数学教学研究的主要课题。改革开放的步伐，社会主义市场经济的大潮正向缺乏活力的数学教育提出新的要求，必须“面向世界，面向未来，面向现代化”。
“素质教育”的口号已经提出好几年了，但是究竟什么是我国未来公民的“数学素质”，尚未完全统一认识，也需更深入的探讨。我比较倾向于当前流行的一种看法：所谓数学素质就是数学思维能力，即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力。
3、1988年，我国国家教委颁布了义务教育教学计划（试行草案）和数学教学大纲（初审稿），1992年4月，又进行了重要修改，并正式公布。教学大纲从我国教育的实际情况出发，规定了初中数学教学的基本要求。初中数学教学，使学生学习和掌握代数、平面几何的初步知识，初步培养逻辑思维能力和空间观念，进一步培养学生的数学运算能力。
根据上海市教育委员会最新颁布的《上海市中小学数学课程标准》（试行稿），该课程的总目标强调：打好基础，学会应用，激发兴趣，启迪思维。
二、初中数学教学中思维方式训练的主要方面
根据初中学生的特点，以及课程标准的要求，我在课堂教学实践中，逐步培养学生对数学的兴趣，将抽象的逻辑思维和空间观念转换为具体的、简明的几种思维方式，例如：整体性思维方式、连动性思维方式、多向性思维方式、逆向性思维方式和跨跃性思维方式，取得了良好的效果。
思维方式训练的实例：
1、整体性思维方式的训练
整体性思维方式是对对象的整体理解，放过个别细节，产生合理的思维跳跃，直接把经验因素同问题的本质联系起来，或是凭借观察、联想去领悟事物的本质，揭示事物之间的内在联系。在数学教学中，引导学生将问题看成一个整体，作整体观察思考，往往会收到事半功倍之效。
例如：因式分解 (2x+3)2 +3(2x+3) - 4
有些学生会展开、合并之后再用十字相乘进行分解因式。如果引导学生把(2x+3)看成一个整体，那么此题很快就会迎刃而解。
2、连动性思维方式的训练
连动性是一种由此思彼的思维能力，它以两种形式表现出来：一是“纵向连动”，即发现一种现象后，立即纵深一步，探究现象的原因；二是“横向连动”，即发现一种现象后，便联想出特点与之相似的和相关的现象。
例如教师通过让学生解方程：x2-5x+6=0，x2-7x+12=0，并要求学生计算各方程的两根之和与两根之积诱导学生猜测其与方程系数a, b, c有何关系，进而“发现”根与系数的关系。
3、多向性思维方式的训练
多向性，也称多维性，是指在思考问题时从多种角度、方向进行探索，适时地、灵活地变换可能影响事物质和量的诸因素中的某种或某些因素，形成多种设想，经过充分研讨和可行性论证，筛选出最佳方案，以最小的代价获取最大的成果。教学中可通过“一题多变”、“一题多解”、“一律（理）多用”的训练来培养学生的多维性机智。
例如初二几何：一块三角形余料ABC的边BC＝120 mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上其余两个顶点分别在AB、AC上，求正方形的边长。
本题的特点是在一般三角形中，通过图形性质，利用边长(a)与该边上的高(h)这两个数据得解的。在解完此题后，我引导学生，若把正方形转化在特殊D中，只要能求出一边与该边上的高，同样可求出正方形的边长。由师生共同讨论，编出下列四道题，进行“一题多变”的训练：
(1)、在RtDABC中，ÐC＝900, AC＝b, BC＝a, 求图中正方形的边长。（如图1）
(2)、在RtDABC中，ÐC＝900, AC＝b, BC＝a, 求图中正方形的边长。（如图2）
(3)、在等腰DABC中，AB＝AC, AB＝c, BC＝a, 求图中正方形的边长如图3)
(4)、在等边DABC中，边长BC＝a，求图中正方形的边长。（如图4）

（图1） （图2） （图3） （图4）

4、逆向性思维方式的训练
逆向性是多向性的具体表现，是指当看到一种现象后，立即想到其反面：“如果倒过来LL会怎么样?”这是一种从已知发现未知的重要方法。它使思维在一个方向受阻后能马上随机应变转到相反方向，可以有效避免单向性认识过程的机械性，克服线性因果律的简单化，开阔思路和视野。如探索一些定理的逆命题是否正确，不仅可以巩固所学的知识，而且能激发学生探求新知识的兴趣。
例如：学过了“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合”的命题后，让学生联想一下“三角形的一个角平分线平分它所对应的边，那么，这个三角形是等腰三角形”这个逆命题是否成立。接着，又在众多的证法中筛选出三种供学生辩析：

证法一：延长AD至E，使AD＝ED，连接BE（见右图）
则DADC @ DEDB Þ AC=BE
ÐDAC=ÐBED=ÐBAD ÞAB=BE ÞAB=AC

证法二：AD平分ÐBAC Þ AB:BD＝AC:DC
又BD＝DC，则AB＝AC
证法三：在DABD和DACD中
QÐBAD＝ÐCAD，AD＝AD，BD＝CD
\DABD @ DACD，AB＝AC，DABC为等腰三角形

证法一利用延长线作辅助线，能巩固全等三角形的知识，
起了证明命题的作用。
证法二利用角平分线定理，证法简明。
证法三是错误的，因为两边及其中一边的对应角相等的两个三角形不一定全等。
5、跨跃性思维方式的训练
所谓跨跃性，即讲究在思维的速度和效率上不循序渐进，而是保持较大的思维跨度。从思维进程来说，省略思维步骤，加大思维的前进跨度。要以最快的速度攻克未知，就要把注意力集中在事物的本质和结论上，暂时不顾及次要方面。教学中，鼓励学生大胆假设，畅思遐想，不断猜测，往往奏效。
例如：在DABC与DDEF中，已知ÐA＝ÐD，ÐB＝ÐE，ÐC＝ÐF，且这两个三角形中有一条边是相等的。试判断这两个三角形是否一定全等?
分析：本题与三角形全等定理的区别在于题中说“这两个三角形中有一条边是相等的”，而没有说“对应相等”。因此，这两个三角形不一定全等。于是，我们只需举出一个反例即可。例如：取BC＝4，CA＝6，EF＝6，FD＝9。可以看到，这两个三角形相似而不全等。
三、实验与评估
采用对照试验的方法来客观真实地反映“对初中学生进行思维方式训练的尝试”结果。
样本取自我所任教的两个班级。两班人数均为41人，刚接班时两班成绩基本相同。在教学时间均为一年的前提下，对试验班采用的教学方案有意识地编排思维方式训练的内容，并经常采用思维能力专题训练的形式，而对平行班采用一般的教学方案。一年后期末考试结果如下表：
试验班与平行班思维能力水平差异比较表
班级
人数
平均分
标准差
显著性检验
试验班
41
82.50
11.25

平行班
41
76.26
15.42
在显著性水平α=0.05时，有显著差异

试验班与平行班各方面能力差异比较表
班级
计算能力(36分)
概念理解(15分)
应用能力(49分)

人数
平均分
标准差
人数
平均分
标准差
人数
平均分
标准差
试验班
41
32.56
6.01
41
10.05
2.14
41
39.89
8.11
平行班
41
30.87
5.56
41
9.92
2.52
41
35.47
11.42

思维能力水平测试中的内容，对于试验班和平行班来说，在平时的教学中学生同时接触或同时不接触，只是训练的形式不同。试验班采取专题训练的形式，而平行班是以动脑筋的形式让学生作初步的了解。可见，训练和不训练效果是不一样的。思维能力水平测试中最后一个题目类型，试验班和平行班学生在课堂教学中都没有接触过。测试结果表明：试验班正确率为66%，平行班正确率仅为33.9%。
可见，开展思维专题训练对促进学生思维的发展有较大的影响。

四、结论
对初中学生进行思维方式训练的尝试，结果表明，其对培养学生思维能力有较大的作用。当然，我的工作尚属起步阶段，进一步的工作还有许多可作，在此仅供同行进行教学实践研究参考。

参考文献：
A、《数学教育研究导引》¾¾江苏教育出版社，张奠宙主编。
B、《关于思维科学》（1986.7）¾¾上海人民出版社，钱学森主编。
C、《高级教师论教学》¾¾华东师范大学出版社。
D、《中小学数学》（1995.1）¾¾中国教育学会主办。
E、《教育统计学》¾¾华东师范大学出版社，编著：王孝玲。