华师大九年级下数学(全章学案).doc

华师大版九年级数学下册教学案　　　　　　　　　　　　　　　化庄中学　　姚栋祥
27.1 《二次函数》教学案
学习目标
1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；
2．会建立简单的二次函数模型，并能够根据实际问题确定自变量的取值范围；
3．通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证观点．
学习重点、难点
重点：对二次函数概念的理解．
难点：抽象出实际问题中的二次函数关系．
预习导学
1.请写出一个一次函数,一个反比例函数,回忆这两个关系式的特点.
2.比较与有什么共同特点？与已学过的一次函数之间的区别.
学习研讨
问题1：要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（你知道怎样围矩形的面积最大吗？）

（1）的值是否可以任意取？有限定范围吗？
（2）我们发现，当AB的长（）确定后，矩形的面积（）也就随之确定，是的函数，试写出这个函数的关系式．

问题2
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
分 析：在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为元，是的函数，试写出这个函数关系式。

观察：得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？
概 括：它们都是用自变量的 来表示的．
二次函数的概念：
形如（ ）（、、是 ，）的函数叫做二次函数．ax2叫做 项，a为二次项 ；bx叫做 项， b为一次项 ；c为 ,
注意：（1）关系式都是整式，（2）自变量的最高次数是二次，（3）二次项系数不等于零.
课堂达标练习
1．已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm．
（1）当它的一条直角边长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积；

（2）设这个直角三角形的面积为S cm2，一条直角边长为cm，求S关于的函数关系式．

2．已知正方体的棱长为cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3．
（1）分别写出S与、V与之间的函数关系式；
（2）这两个函数中，哪个是的二次函数？

3.设圆柱的高为6 cm，底面半径r cm，底面周长C cm，圆柱的体积为V cm 3．
（1）分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；
（2）这三个函数中，哪些是二次函数？

课堂作业：
P4习题27.1第3，4题。
教学反思:
27.2.1《二次函数y=ax2的图象与性质》导学案
　学习目标：
　　1、会用描点法画出二次函数y=ax2 的图象；
　　2、根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质；
　　3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；
　　4、领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力；
　学习重点：根据特殊二次函数图象，观察、分析、归纳出二次函数的性质；
　学习难点：用数形结合的方法归纳二次函数的性质。
学习过程：
一、尝试题一：（学生尝试自主完成以下题目：）
1. 请回忆正比例函数、一次函数和反比例函数的图象，它们分别是什么形状？（ 、 ）
我们是用怎样的方法得出这些图象的？
用描点法画图象有哪些步骤？（ 、 、 ）
x
y
O
2
－2
A
B
2.下面是一次函数的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？
3. 我们已经知道了二次函数的一般形式
是 ，接下来我们仿
照前面研究函数图象的方法来研究二次函数的图象。
请仿照前面画函数图象的方法画出函数的图象.
①自变量x的取值范围是什么？
②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？
③若选7个点画图，你准备怎样选？
(1)
x

(2)
x

4．根据所画图像回答课本议一议的5个问题，把你的结论与小组同学交流：
(问题详见课本)
5. 总结y＝ax2﹙a＞0﹚的图像及性质：

二、尝试题二：
1..画出函数的图象
列表：
x

y

描点画图：

2.从函数图象入手，再次总结二次函数y＝ax2﹙a＜0﹚的性质
　你能得出y＝ax2的性质吗？
 抛物线
 y＝ax2 （a＞0）
 y＝ax2(a＜0)
 顶点坐标

 对称轴

 位置

 开口方向

 增减性

 最值

四、课堂检测：
填空题:
1. 抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y 随着x的增大而减小,当x = 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
2.抛物线位置在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.
3.已知二次函数①y=-x2; ②y=15x2;③y=-4x2;④y=- x2;⑤y=4x2.
(1)其中开口向上的有_______(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是_填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________
五、学后反思:
1.通过本节课学习，我的收获是： ;
2.我感到疑惑的是： ;
作业：P7练习第1，2题。
教学反思：
27.2.2《二次函数的图像与性质》学案
教学目标：
1、 理解并记忆（a≠0）类型函数的图像特点及性质。
2、 能说出二次函数（a≠0的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性。
3、 能用运动变化的观点理解（a≠0）与图像之间的关系。
重点难点：
教学重点：理解（a≠0）类型函数的图像特点及性质。
教学难点：灵活运用（a≠0）类型函数的性质解决问题。
教学过程：
一、复习旧知：
1、二次函数的图像是 。
2、二次函数的图像具有什么性质？请填写下表：

a＞0
a＜0
开口方向

顶点坐标

对称轴

最值

增减性
图像特征
当x＜0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而 ；
当X＞0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而 。
当x＜0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而
当X＞0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而 。
函数值变化

3、 完成下面各题：
（1）的图像与的图像关于 对称。
（2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
二、导入新课：
本节课我们研究（a≠0）类型函数的图像与性质。
三、新知探究：
（一）在同一坐标系中画出函数的图像。

探索与发现：上面的两个函数有哪些相同点和不同点？
相同点：
不同点：
思考：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图像上相应的两个点之间的位置又有什么关系？你能得到什么结论？
（二）在同一直角坐标系中，画出函数的图像，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线。

（三）探究与归纳：
（a≠0）的图像可看作是由的图像经过怎样的变换得到的？（a≠0）有哪些性质？
（a≠0）
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0

a＜0

（a≠0）可看作是由的图像 （k＞0）或 （k＜0）平移︱k︱个单位得到的。
四、课堂练习：
1、抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是由抛物线向 平移 个单位得到的。
2、二次函数图像顶点在x轴下方，则m的值为（ ）。
A 5 B -1 C 5或-1 D 8
3、抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y取最 值，为 。
4.将抛物线的图像向上平移4个单位后，所得抛物线是 ，其顶点坐标是 。
5.抛物线与x轴的交点坐标是 ， ，与y轴的交点坐标是 。
教学反思：

27.2.3《二次函数的图象与性质》
学习目标
1．通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数的性质
2．通过二次函数的图象与二次函数y＝ax2图象之间的关系，形象直观地认识二次函数的性质．
学习重点、难点
学习重点：理解类型函数的图象特点和性质．
学习难点：灵活运用类型函数的图象特点和性质去解决问题．
【课前自学】
1.本节课将探讨二次函数y＝ax2和的图象与性质之间的关系．
例　在直角坐标系中，画出函数和的图象．
解 列表．

描点、连线，画出这两个函数的图象．

观　察
根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

思　考
这两个函数的图象之间有什么关系？

概　括
1.通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．
函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
2.可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．
3.画出和的草图，猜想的性质。

（1）的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
（2），当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．

【课堂学习】
在同一直角坐标系中画出函数、和的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数的图象可以看成由函数的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数的性质．再说出函数的图象可以看成由函数的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数的性质．
解：列表得
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

…

…

…

…

…

…

1.函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_ ___，顶点坐标是（_____，_____）．
2.得到函数的性质：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．
3.函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）．
4.得到函数的性质：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．
【课堂练习】
1. 已知函数、和．
（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3） 分别讨论各个函数的性质

2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？
【课堂小结】
你能说出函数y＝a（x－h）2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．

27.2.4《二次函数的图象与性质》
学习目标
1．在认识理解二次函数y＝ax2和的图象与性质的基础上进一步探求二次函数的图象与二次函数和y＝ax2的图象之间的本质联系．
2．通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数的性质．
重点、难点
重点：理解及类型函数的图象特点和性质．
难点：灵活运用及类型函数的图象特点和性质去解决问题．
复习导学
1．函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）．当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．

2．函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）．当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．
3．函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）．当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值最______值y ＝______．
本节课将探讨二次函数y＝ax2和的图象与性质之间的关系的基础上，进一步探求二次函数的图象与二次函数和y＝ax2的图象之间的本质联系．
课堂学习研讨：
例　在同一直角坐标系中，画出函数、
、和的图象．
解：列表

然后说出函数的性质．

归纳：函数的图象是由函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．
由图象可以找到函数的图象与函数的图象之间的关系．
试一试：
（1） 填写下表．

（2）从上表中，你能分别找到函数与函数、的图象的关系吗？

（3）函数有哪些性质？

（4）你能画出的图象，并说出它的性质吗？

做一做：
（1） 画出函数的图象，并将它与函数 的图象作比较．

函数的图象是由函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．
（2） 试说出函数的图象与函数的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
课堂练习
1.已知函数y＝x2、和．
（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；
（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3） 试讨论函数的性质．
解：（1）先列表，然后描点画图。

（3）讨论这个函数的性质

2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线
和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线y＝x2作怎样的平移？

课堂小结
1.你能说出函数y＝a（x－h）2＋k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．

2.本节研究了函数y＝a（x－h）2＋k（a、h、k是常数，a≠0）的图象及其性质，这种形式叫做二次函数的顶点式，是我们研究二次函数问题的重要形式。
3.不画图象说出下列函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标。
1） （2） （3）

（4） （5）

教学反思：
27.2.5《二次函数的图象与性质》
学习目标
1．能通过配方法将二次函数二次函数（）化成（）的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．会通过对称性画出二次函数的图象，并运用其解决实际应用问题，体会数形结合思想．
重点、难点
学习重点：通过配方法将二次函数二次函数（）化成（）的形式来研究函数的图象特点和性质．
学习难点：对函数的图象特点和性质的理解．
【课前自学】
1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（1）；　　　　（2）；
（3）；　　　　（4）．
2．本节课将探讨二次函数的图象与性质之间的关系的基础上，进一步探求二次函数的图象与二次函数的图象之间的本质联系．
【课堂研讨】
例 画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质．
分析：因为 ＝
所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x＝ ，顶点坐标为（ ， ）．
根据这些特点，我们容易画出它的图象．
解　列表．

画出的图象如图：．

由图象不难得到这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而 ；
当x＞1时，函数值y随x的增大而 ；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝ ．

做一做：
（1）请你按照上面的方法，画出函数的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
解　配方得 画出图象：

列表

由图象不难得到这个函数具有如下性质：
由图象不难得到这个函数具有如下性质：
当x＜ 时，函数值y随x的增大而 ；
当x＞ 时，函数值y随x的增大而 ；
当x＝ 时，函数取得最 值，最 值y＝ ．
（2）通过配方变形，说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
【课堂学习】
1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（1）；　（2）； （3） 2.对于任意一个二次函数（），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？（试试看能否自己求出来）

所以二次函数（）的图象的对称轴是：直线
顶点坐标为（， ）（即为抛物线的顶点公式）
总结二次函数（）（即）的性质
【课堂练习】
1. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）　　　　　　　 （2）
（3）　　　　　（4）
2.先确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出函数的图象，并说出它的性质.

【课堂小测】
1.填写表中的空格．

2.先确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出函数的图象，并说出它的性质.

【课后作业】
1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）； （2）；
（3）；　（4）．

2.　已知函数．
（1） 画出函数的图象；
（2） 观察图象，说出x取哪些值时，函数的值为0．

3.　已知二次函数．
（1） 先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象；
（2） 观察图象确定：x取什么值时，① y＝0② y＞0；③ y＜0．

小结与作业：
教学反思：

27.2.6《二次函数（）的最大(小)值》．
学习目标
1．会通过配方求二次函数（）的最大值或最小值．
2．经历应用数学知识解决实际问题的全过程，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题的最大值或最小值．
学习重点、难点
学习重点：会通过配方求二次函数（）的最大值或最小值．
学习难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题的最大值或最小值．
【课前自学】
1.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．
（1）；　 　　 　（2）；

2.通过配方求下列二次函数的最大值或最小值.
（1）；　 　　 　（2）

3.应用二次函数的有关知识去解决问题．
问题1：要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？
分析：设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，矩形的面积y m2
函数关系式为
（0＜x＜10）
即 　（0＜x＜10）
这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数（0＜x＜10）取得最大值．
将这个函数的关系式配方，得．
显然，这个函数的图象开口 ，它的顶点坐标是（ ， ），这就是说，
当x＝5时，函数取得最大值y＝ ．
这时，AB＝5（m），BC＝20－2＝ （m）．
所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m，与墙平行的一边长 m时，花圃面积最大，最大面积为 m 2．
【课堂学习】
例 用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设做成的窗框的宽为x m，则长为m．这里应有x＞0，且＞0，故 ＜x＜
做成的窗框的透光面积y与x的函数关系式是

当x＝ 时，函数取得最大值y＝ ．
答：

【课堂练习】
1.求函数的最大值或最小值

2．如图，有长24米的铁栏杆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间隔有一道铁栏杆的长方形花圃．设花圃中垂直于墙AD的一边AB的长为米，花圃的总面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果花圃的总面积为45平方米，求AB的长；
（3）能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，请求出
最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

【课堂小测】
1.求函数的最大值或最小值.

2．有一根长为40 cm的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？

3．已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？
（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）

【课后作业】
1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．
（1）y＝x2－3x－4； （2）y＝2－4x－x2； （3）y＝x2－2x－1；

（4）y＝－x2＋6x－7； （5）y＝2x2－3x；　　　　（6）y＝－2x2－5x＋7．

2.下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标．
（1）y＝4x2－4x＋1； （2）y＝－4x2－9；

（3）y＝－4x2＋3x；　（4）y＝3x2－5x＋6．

【课后拓展】
1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）当时，求的最大值或最小值；
（2）当时，求的最大值或最小值.

小结与作业:
教学反思：
27.2.7《求二次函数的关系式》
学习目标
1．会用待定系数法求二次函数的关系式．
2．学会利用二次函数解决实际问题，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．
学习重点、难点
学习重点：会用待定系数法求二次函数的关系式．
学习难点：在实际问题中求二次函数的解析式，将实际问题转化成数学模型．
【课前自学】
例1：已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），
求这个二次函数的关系式．
分析：当一个二次函数的图象的顶点坐标或对称轴是已知时，可以利用顶点式来确定二次函数的解析式，其中（，）是顶点坐标．
因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为
．
根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值．
解:设这个二次函数关系式为,依题意得:

所以，所求二次函数的关系式是
例2：已知二次函数的图象过（0，1）、2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
分析：当已知一个二次函数过三个点时,可以设二次函数的一般式（）
解：设所求二次函数为二次函数（），依题意得c＝1,
又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到

解这个方程组，得a = ，b =
所以，所求二次函数的关系式是

练习1. 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）,求出二次函数的关系式．

练习2. 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）,求出二次函数的关系式．

练习3.已知二次函数的图象过（0，-2）、（1，0）、（2，3）三点，求这个二次函数的关系式．

【课堂学习】
问题1如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
分 析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，
再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．
解:如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，
建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，
对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式