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谈三类数学问题情境
发表于 中国数学教育，2009,5
摘要：数学问题情境对探究教学和“数学情境——提出问题”教学具有决定性的作用.根据数学问题情境能否揭示数学对象的本质分为无意义数学问题情境、假性有意义数学问题情境和有意义数学问题情境三类.由于文化差异、地域差异、民族差异导致不同学生群体之间的知识与经验和他们的兴趣的不同，有意义数学问题情境分为潜在有意义问题情境和实在有意义数学问题情境. 为学生创设实在有意义数学问题情境是数学问题情境创设的归宿.
关键词：数学探究，问题情境，有意义情境
1 缘起
随着新课程改革的进行，数学探究教学和“数学情境——提出问题”教学的研究也逐步深化和完善.数学探究教学强调“探究”， “情境——问题提出”强调“提出问题”，而“探究”和“提出问题”的前提是学生能够发现问题，并且对问题具有浓厚的兴趣，因而问题情境本身对学生发现问题、提出问题进而主动深入探究下去具有决定性的意义.
所以，对于问题情境的创设者来说，创设出对于学生来说具有实际价值的问题情境显得非常重要，什么样的问题情境是具有实际价值的问题情境?评价问题情境标准是什么?我们尚需进一步探讨，对这些基本问题的认识直接决定着问题情境在创建有效的数学课堂教学的价值和运用.
2 三类数学问题情境
数学问题情境可以是源于实际生活的素材，可以是数学问题本身的问题情境，还可以是以其他学科为背景的问题情境.但是问题情境的根本目的是让学生“从无到有”的建构当前研究数学对象的本质，解决问题，发展能力.所以，对于问题情境本身来说，第一任务要能够揭示研究数学对象的本质特征.
根据数学问题情境是否能够揭示数学对象的本质分为无意义问题情境、假性数学问题情境和有意义数学问题情境.
2.1 无意义数学问题情境
如果问题情境的创设者创设的问题情境不能够揭示数学对象的本质或者问题情境过于情境化而掩盖了要揭示数学对象的本质，称为无意义数学问题情境，无论创设者所创设的问题情境多么有趣，多么源于生活，多么有教育意义，但如果问题情境不能够揭示当前要研究数学对象的本质，那么创设的这个数学问题情境还是一个无意义数学问题情境，并且可以断定，由这个无意义数学问题情境引出来的一节数学课是哗众取宠的，是华而不实的，最大的受害者是学生.
在文[1]中，作者刘智强老师提供了这样的教学案例：
1、 多媒体播放李白的资料：生平、画像、诗词，所用时间1分钟.
2、 配音朗诵并分析李白的《将进酒》：诗深沉浑厚，气象不凡.情极悲愤狂放，语极豪纵沉着，大起大落，奔放跌宕.诗句长短不一，参差错综，节奏快慢多变，一泻千里等等，所用时间8分钟.
3、 用“莫使金樽空对月”引出“酒杯”：“人生得意须尽欢，莫使金樽空对月，天生我材必有用，千金散尽还复来.”其中的“金樽”为何意？——酒杯，所有时间1分钟.
4、 介绍酒杯课件演示）：直角酒杯、椭圆酒杯、抛物线酒杯（按酒杯的轴截面形状分），所用时间1分钟.
5、 酒杯中的数学1：如果已知一抛物线酒杯，我们测量得杯口宽4cm，杯深8cm，能否求出该抛物线方程？通过练习，复习抛物线的定义、标准方程等，为后面的探究在知识上做好铺垫，所用时间3分钟.
6、 酒杯中的数学2：定长为2的细棒AB的两个端点在抛物线酒杯x2=y上移动，记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M的坐标.
刘智强老师是这样给出评注的：这是一节抛物线知识的应用课，感觉从声音、画面、情境都很有感染力，但前面的14分钟，只引出了酒杯，不经济，浪费时间.从李白、酒杯到酒杯中的数学，这样的故事情境具有一定的人文性和生活化，但情境指向的仅仅是酒杯，不是本节课的本质问题，这样的情境太重形式，表面的东西，没有意义.设计中的1至4步与课的目标及内容没有什么联系，远离数学本质，为情境化而设计情境.
抛物线知识的应用课，本质上就是运用抛物线知识解决问题，并且达到对抛物线相关知识继续内化的效果，所以向学生呈现的问题情境应该揭示数学对象的本质——运用抛物线知识解决问题，而不是把李白的相关信息“强拉硬拽”到数学问题情境中，像这类为了哗众取宠，渲染课堂气氛而创设的问题情境，掩盖了数学对象的本质，对于学生来说，没有获得数学上的理解，因而是无意义数学问题情境.像这样的无意义数学问题情境还很多，比如文[2]中的为了探究“随机事件的概率”时所创设的问题情境等等.
2.2假性数学问题情境
所谓假性数学问题情境指数学问题情境创设者创设的问题情境不完全能揭示数学对象的本质，但经过教师的“强行”引导，又接近于揭示数学对象的本质，问题情境是背景和数学对象相互“机械嫁接”而成的.假性有意义数学问题情境给学生的感觉是突兀的，不明方向的.也许学生在教师创设的问题情境中，积极的讨论，但问题情境没有揭示数学对象的本质，学生是在热闹的情境中糊涂的学习.
本部分所选取的案例是某市一节公开课的教学片段：
师：今天我们要学的内容和计算机有很大的关联.有人说计算机科学他本身就是科学,数学的发展极大的促进了计算机的发展.那么今天我们所学的内容和计算机的编程有着很大的关联.那么在之前我们先来看这样一个游戏.
大家都喜欢看幸运52，也喜欢李咏，是吧.现在我这里提供了两个商品,第一个是由废旧的螺丝和铁丝做成的一个很有创意的商品.今天我就来模仿一次李咏,猜一猜商品的价格,30秒内猜出来,这个就送你.现在开始抢答.
生：10元.
师：低了.
生：15元.
师:高了.
生：12元.
师：对了,这个就送给你吧.(台下热烈鼓掌)好,下面看这个商品(课堂气氛非常活跃),这台笔记本电脑,1.6个G,内存256兆,硬盘40个G.精确到100.现在开始.
生：590元.
师:高了.
生:545元.
师:对了,这个就不送给你了.好了,游戏完了，现在要思考了.我们要用数学的眼光去看待生活的问题.我问两个问题:有什么样的技巧?从中发现了什么样的数学方法?
生:我猜先大概确定它在某个范围之内,采用对半,一直下去,取中间值.
师:我们绝对不会说这台笔记本电脑从一百元起,我们也不会从一万元猜起.这个就体现了我们大概先估算下他大概在什么范围之内,然后再往下猜.好,第一个先估算范围,第二个是不断的逼近,这就是我们数学的逼近思想.
这是关于“求方程近似解”的第二课时.在《普通高中数学课程标准》中指出“根据具体函数的图像，能够计算器用二分法求相应方程的近似解.了解这种方法是求近似解的常用方法.在本节课中，着重要解决两个问题，一是引导学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思想.对于这个问题，最好的处理方法是让学生自己去发现，而不是教师把“逼近”的思想告诉学生.二是引导学生探索缩小区间的方法，第一个问题解决后，学生已经发现要用逼近的思想和缩小区间来逼近这个近似解，那么“怎样缩小区间”——寻找缩小区间的方法.缩小区间的方法有多种，但是要引导学生找到一个方便缩小区间的方法.
上面的案例中，虽然问题情境很“时髦”，看似和二分法又有联系，但却没有揭示数学对象的本质.本节课数学对象的本质是“逼近”的思想，只有深刻理解“逼近”的思想，才能对寻找缩小区间的方法有一个清楚的认识.然而，在问题情境中，学生并没有在10，15，12这三个数中经历“逼近”的过程，也就发现甚至是体验不到“逼近”的思想，经过教师“强求”性的引导和告诉，学生似乎知道了“逼近”思想，但还是不能把握“逼近”思想的本质，因而对“求方程近似解”的方法——二分法也就认识不透. 再者，缩小区间的方法不止一种，比如还有三分法，黄金分割法等，有的方法缩小区间的速度比二分法更快，只不过是因为二分法在解决问题的过程中使用方便，才确定用二分法求方程近似解.所有这些只有在深刻理解“逼近”思想之后才能获得的.
2.3 有意义数学问题情境
有意义数学问题情境指问题情境创设者创设的问题情境能揭示数学对象的本质.有意义数学问题情境因学生的文化差异、地域差异、民族差异导致不同学生群体之间的知识与经验和他们的兴趣的不同，而具有相对性.因此，有意义数学问题情境进一步分为实在有意义数学问题情境和潜在有意义问题情境.
2.31 实在有意义数学问题情境
能揭示数学对象的本质，建立在学生已有的知识经验基础之上，并且能引起学生探究的兴趣的问题情境，称为实在有意义数学问题情境.学生在实在有意义数学问题情境中探究数学、品味数学、生成数学、体验数学、享受数学，“从无到有”的建构新概念、新方法，学会学习，进而发展自己的认识力.
例如在《马明数学教育论文集》中，记录了1985年12月19日发表在《新华日报》上的文章中登载有这样一个问题情境：
数学的内容比较抽象，教不好，学起来索然无味.250是多大的数？学生不甚关心.怎样才能引起他们的兴趣呢？
马明在课堂上这样提问：“用一张报纸对折五十次，你们想一想大概多厚？”
学生：“怕有几尺厚吧.”
马明：“差远了，你们往多的方面想.”
学生：“能有几丈吗？”
马明：“再大胆些.”
有的学生怯生生地说：“总不能有几百米高吧.”
马明：“你把对折五十次以后的这张纸放在地面上，另一头就远远超过月球了.也就是说，今天晚上你们可以顺着它爬上月球.”
学生哄堂大笑，可谁也不相信这个结论.他们紧张地进行对数计算.结果出来了，这叠纸的远远超过月球高度的好几百倍.
这是在让学生建构“指数函数”概念时采用的问题情境，该问题情境不但能够揭示数学对象——指数函数的本质，而且是建立在学生已有认知基础之上的，所有的学生都见过报纸，也都折过纸，但是却没有对折过50次，当马老先生问学生把纸对折后的厚度时，深深的吸引着学生，进行积极主动的探究.贵州师大的吕传汉教授在南京师大作关于“数学情境与提出问题”的学术报告时，也提到了在贵州省用到过这个问题情境，收到了同样的效果.因此，数学问题情境不一定要强调“新”，不一定要复杂，而要强调它的实际价值，进行有效的数学教学.
例如在文[3]中，刘洪璐老师的一节“分类计数原理与分步计数原理”课中，使用一个问题情境系统的“火”烹整节课研究数学对象——分类计数原理与分步计数原理本质的“肉”， 问题情境是以李响(理想的谐音)考上北京大学及其后继的大学生活展开，而这些发生在李响身上的事情都是从所教学生身边生活中提炼出来的.教学情境人文化，典型化，整节课高潮不断，但又都紧紧围绕数学对象的本质而展开，进而揭示数学对象的本质.学生虽然没有经历大学生活，但问题情境中呈现的具体情节都是从学生身边提炼出来的，是建立在学生的认知基础之上的，再加上学生对大学生活的向往，因而探究问题的兴趣也就油然而生.对于这个班的学生来说，这个问题情境系统是实在有意义数学问题情境.
2.32 潜在有意义数学问题情境
有的数学问题情境虽然能揭示数学对象的本质，但是却因学生群体没有相应问题情境的背景知识和经验，或者对问题情境没有兴趣而不能对数学对象进行深入探究的问题情境称为潜在有意义数学问题情境，很难想象会有学生对不感兴趣的问题情境进行主动的探究.
刘洪璐老师创设的问题情境是从她所带的学生身边的事情中提炼出来的，考虑到这些学生是生活在城市中，他们的经历与农村的学生，特别是贫困地区或者山区的学生不同.比如说农村的学生基本上没有申请过电子邮箱，也就没有关于电子邮箱的知识经验，这个问题情境如果在农村地区利用起来，就会从实在有意义问题情境“降级”为潜在有意义问题情境.是不是这个问题情境就不可以利用了呢？不是，可以在上这节课之前，教师运用“先行组织者”，也就是关于电子邮箱背景知识，让学生对电子邮箱的背景知识有所了解，之后，这个潜在的有意义数学问题情境就“升级”为实在有意义数学问题情境.潜在的有意义数学问题情境和实在的有意义数学问题情境之间的关系可用下图表示：

教师→ 实在的有意义数学问题情境 ←学生
先行组织者
潜在的有意义数学问题情境
3 结束语
根据上面的论述，创设数学问题情境，实在有意义数学问题情境是数学问题情境创设的归宿.实在的有意义数学问题情境，为学生揭示数学对象的本质，让学生利用已有的知识和经验，在问题情境中积极参与探究，利用科学研究一般方法生成新知识新经验，从而培养学生的可持续发展能力.
参考文献：
[1] 刘智强.从三则教学案例中看数学问题情境的有效设计，中学数学研究[J]. 2008，3：9—10.
[2] 吴新建.高中数学问题情境教学中的几个误区，数学教学通讯[J].2008，1(上半月):17.
[3] 刘洪璐 胡晋宾. 借鉴文学创作手法进行教学设计的一次尝试，数学通讯[J].2008，3：1—4.