高中理科数学解题方法篇(参数范围).doc

导数参数范围数学高考
G.导数，高考中新的“经济”增长点
1、利用导数研究函数的单调性问题
设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0则f(x)为减函数。反之亦然。高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。
(20)(安徽文 本小题满分14分)
设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,
其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式；
(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
20．（福建文 本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
2、利用导数求解函数极（最）值问题
设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号；定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。高考常结合求函数极值(最值)、参数取值范围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。
19．（北京理 本小题共13分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积的最大值．
19．（湖南理 本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．
（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．
（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．

Ｏ
A
E
D
B
H
P

3、利用导数的几何意义解决有关切线问题
函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0.f(x0))处切线的斜率。高考常结合函数图象的切线及其面积、不等式等问题对导数几何意义的应用进行考查。
19.(全国二理 本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，
证明：．
4、利用导数求解参数的取值范围或恒成立的不等式问题
构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，可解决不等式证明、参数取值范围等问题。设置此类试题，旨在考查导数基础性、工具性、现代性的作用，以强化数学的应用意识。
21. (陕西文 本小题满分12分)
已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
（22）（浙江理 本题15分）设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
5、利用导数知识求解数列问题
数列是一类特殊的函数，因此利用导数的知识来研究数列的有关问题，能取到简化运算的效果。
设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
F. 函数与导数经典例题剖析
题型1:函数的概念及其表示
例1、（2008年山东卷）设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2、（2008年山东卷）已知，则的值等于 ．
例3、（2008年广东惠州一模）设 ，又记
则 （ ）
A．； B．； C．； D．；
【解析】:本题考查周期函数的运算。，
，据此，，，因为型，故选.
［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。
题型2:函数图象与性质
例4、（2008广东惠州一模） “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）

A B C D

【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。
［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。
题型3:函数的零点
例6、（2008山东荷泽模拟题）函数的零点所在的区间是 ）
A． B．（1，10） C． D．
【解析】：因为f（1）＝0－1＜0，f（10）＝1－＞0，即f（1）•f（10）＜0，所以函数f（x）在区间（1,10）之间有零点。
例7、（2007广东高考题）已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。
【解析】当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。
当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况：
①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时

或
解得1≤a≤5或a=
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时
或
解得a5或a<
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

(-∞, ]∪[1, +∞)。
题型4:函数的应用
例8、（2008广东高考试题）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
【解析】：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得
当时，；当时，，
因此，当时，取得最小值，元.
答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
［点评］：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.
题型5导数的简单应用
例9、（2008年广东卷）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。答案为B。
题型6导数的综合应用
例10、（2008年山东卷）已知函数，其中，为常数．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．
【解析】：（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，
当时，，所以．
（1）当时，由得，，
此时．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，
当时，在处取得极小值，极小值为．
当时，无极值．
（Ⅱ）证法一：因为，所以．
当为偶数时，
令，
则（）．
所以当时，单调递增，
又，
因此恒成立，
所以成立．
当为奇数时，
要证，由于，所以只需证，
令，
则（），
所以当时，单调递增，又，
所以当时，恒有，即命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当时，．
当时，对任意的正整数，恒有，
故只需证明．
令，，
则，
当时，，故在上单调递增，
因此当时，，即成立．
故当时，有．
即．
［点评］本题依托函数与导数的有在知识，综合考查考生的数学素养。本题第（1）问，是一个常规问题，只要考生基本功扎实，解决起来困难不大；第（2）问就需要考生有较高的分析问题、解决问题的能力，利用导数证明不等式的基本思路是通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，在证明过程中，还要进行不等式的放缩，如果考生缺乏这样的思想意识，不能自觉地朝这人方向思考，要顺利地完成这一问的解答是不可能的。
E.高考中导数问题的常见类型及解法
类型1——利用导数的几何意义处理曲线的公切线问题
例1 （03年全国高考文科试题）已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时，C 和C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。
解 ：设公切线L切C于P(x,y),切C于P(x,y), 则L的方程有两种表达方式：①;②.
∵
∴①、②变为和
于是消去,得，由题意知，，此时，重合。
故当时，和有且仅有一条公切线，且公切线方程为.

评注：本题主要考察导数的几何意义、公切线方程的两种表示法以及二次方程的相关知识。注意“”与“”表示同一条直线的充要条件是“且”，在曲线的公切线问题中常常以此来构建方程。
类型2——利用导数研究三次函数、简单分式函数的性质
例2 （2003年安徽省春季高考题）已知在与x=1时都取得极值。（1）求b、c之值；（2）若对任意，恒成立。求d的取值范围。
解 ⑴
由题意知,是方程的两根,于是

⑵
当时,
当时,
当时,
当时,有极大值
又时, 的最大值为
对任意恒成立即
或
例3 (2004年合肥市高考模拟题)研究函数的单调性.
本题主要考查导数与函数单调性的关系,注意分类讨论的思想方法.
解:
① 当时,由得

+
-
-
+
从上表中的符号随取值的变化规律发现,此时的单调区间是和,单调减区间是和.
② 当时, 此时的定义域为
因此在内单调递增.
③ 当时,定义域为
此时单调区间是和没有单调减区间.
评注:用传统数学教材中的知识与方法往往难以研究象例2、例3这种函数问题的单调性、极值与最值,导数无疑为这类问题的解决提供了方法.掌握可导函数的单调区间、极值与最值的求解方法是解题的关键.
类型3——已知函数的单调性,反过来确定函数式中特定字母的值或范围.
例4 (2000年全国高考试题) 设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.
解:函数在上是单调函数,即或在上恒成立.
① 由,得在上的最小值是0,所以此与题设矛盾.
② 由,得
在上连续递增,且所有值都小于1,所以
综合①②可知,当时,函数在区间上是单调函数.
评注:可导函数在(a,b)上是单调递增(或单调递减)函数的充要条件是:对于任意都有(或),且在(a,b)的任意子区间上都不恒为零.在高中阶段.主要出现的是有一个或多个(有限个)使的点的情况.像例4这种逆向设置问题,是今后高考命题的一种趋向,它充分体现了高考”能力立意”的思想.对此,复习中应引起高度重视.
类型4——利用导数处理含参数的恒成立的不等式问题
例5 (2003年安庆市高考模拟题) 已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
解: 令
① 当时,由得且当时当时,
是的最小值.
在上恒成立即
② 当时,由得

x
(-x)
(-,0)
(0,)
(,+x)
f(x)
1
+
-
+

从上表可知f(x)=- a +2是极大值f()是极小值且为f(x)在(-,+)上的最小值．
　因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0,
即-2势预测与考场创优策略
考点命题特点及趋势展望
1、传统内容常考常新，重要考点重点凸现.
1.1函数、导数与不等式
纵观近几年高考各地试题，重要的考点主要表现在以下几个方面：
1.1.1函数的图象与性质
函数的定义域、值域、最值、函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性等历年都是高考的热点内容，不过题目多以基础题出现.
[题1]（2007年重庆卷）已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，则（ ）、

A．f(6)>f(7)
B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9)
D．f(7)>f(10)
[解析]：由已知得y=f(x)的对称轴为x=8，f(x)在上为减函数，则f(x)在上为增函数，所以f(6)=f(10)的关系
[题3] （2006浙江卷）设，若，，求证：
（1）a>0，且； （2）方程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根.
解析：（1）因为，所以. 由条件a+b+c=0，消去b，得a>c>0；由条件a+b+c=0，消去c得.
故.
（2）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得. 又因为，
而，所以方程f(x)=0在区间与内分别有一实根.
故方程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根.
[点评]高考对三个“二次”的联考，常存常新，特别是充分利用二次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了。
1.1.3函数与不等式的综合问题
[题4]（2007年全国卷）设函数.
（1）证明：的导数；
（2）若对所有都有，求a的取值范围.
[解析] （1）略；（2）令，则，
（1）若，当x>0时，，故g(x)在(0，+∞)上为增函数，所以，x≥0时，，即.
（2）若a>2，方程的正根为，此时，若，则，故g(x)在该区间为减函数.
所以，时，，即，与题设相矛盾.
综上，满足条件的a的取值范围是
[点评]：导数知识与不等式知识的结合求解一类参数的取值范围，是在知识的交汇点上设计的题目，能考查学生对各知识点进行渗透及综合分析问题的能力，每年的高考都有不少这样的题，今年也如此.
1.2 数列与不等式
数列与不等式既是高考的主干知识，又是数学高考的重点内容之一，近几年的高考试题中，既注重数列、极限等自身内容的综合，也注重考查思维能力，在数列与不等式这一部分，常以压轴题的形式出现，它主要从以下几个部分考查：
1.2.1 等差、等比数列
[题5]（2007福建卷）等差数列{an}的前n项和为
（1）求数列的通项与前n项和Sn；
（2）设，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
解析：（1）由已知得

故
（2）由（1）得.
假设数列{bn}中存在三顶bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则
，即
∴
∵
∴ 与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
[点评]：本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力.
1.2.2 递推数列.
递推数列是近几年高考命题的一个热点内容之一。常考常新模型化归是解题的常用方法：化归为等差或等比数列解决；借助数学归纳法解决；推出通项公式解决；直接利用递推公式推断数列的性质解决.
[题6]（2007天津理）在数列{an}中，
，其中.
求数列{an}的通项公式.
[解析]方法1：根据已知条件得，据此猜想，然后用数学归纳法证明如下：（略）
方法2：将
两边同除以，则
即：.
令.
则.
∴{bn}为等差数列，公差d=1.
且
∴
从而，.
[点评]解法1通过求出的基础上，猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法给出证明，而解法2利用等价转换的思想，将数列转化为等差数列，注重了对能力的考查.
1.2.3 数列与不等式
数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式、求不等式中的参数范围、求数列中的最大项、最小项、比较数列中的项的大小关系、研究数列的单调性等问题. 数列不等式的证明和解决要调动证明不等式的各种手段，如比较法、放缩法、函数法、反证法，均值不等式法、数学归纳法、分析法等. 因此，这类问题解决方法相当丰富，是考查逻辑推理、演译证明、运算求解、归纳抽象等理性思维推理以及数学联结能力的好素材.
[题7]（2006天津卷），已知数列满足，并且（为非零参数，n=2,3,…）
（1）若成等比数列，求参数的取值范围.
（2）当>0时，证明；
（3）当>1时，证明
解析：（1）（略）
（2）由已知，及，可得由不等式的性质，有
另一方面，
.
因此，故
.
(3)当>1时，由（2）可知
又由（2），则
从而
因此.
[点评]：本题中的（2）是利用不等式的性质进行证明的，而（3）利用放缩法转化数列求和进行证明的.
1.3 三角与向量
1.3.1 三角的恒等变换
[题8]（2007四川卷）已知且.
（1）求值；
（2）求.
解析：（1）由
得

于是
（2）由，得
又
.
由得

所以
[点评]：本题考查三角恒等变形的主要基本公式，三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力.
1.3.2三角函数的图象与性质.
[题9]（2007安徽卷）函数的图象为C.
①图象C关于直线对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的序号是 。
[解析]将代入函数得
＝－3.∴①正确；
令，即
∴②正确；将x的图象向右平移个单位得
∴③错误，[答案]：①②.
[点评]：考查三角函数的图象与性质.
1.3.3向量的运算.
向量的平行、垂直及平面向量的数量积是向量运算中的重要的考点，2008年仍在此命题，仍以客观题出现.
[例10]（2007重庆卷）如图，在四边形ABCD中，
则的值为（ ）

A．2
B．
C．4
D．
[解析]：
又，且BD⊥DC,
∴AB//DC. 延长AB到E，使BEDC（如图），连CE，则CDDB.
∴CE⊥AE，△AEC是等腰直角三角形，∠EAC＝45°.
∴
[答案]C
[点评]：本题考查向量的基本运算.
1.3.4 三角形内的三角函数.
三角形内的三角函数问题主要考查解三角形、三角形形状的判定，三角形内的恒等变换.
[题11] （2007浙江卷）已知△ABC的周长为，且
（1）求边AB的长；
（2）若△ABC的面积为，求角C的度数.
[解析]（I）由题意及正弦定理，得

两式相减，得AB＝1.
（II）由△ABC的面积得
由余弦定理，得
∴.
[点评]：本题充分利用正弦定理和余弦定理解三角形.
1.4 排列、组合、二项式定理、概率与统计
1.4.1 排列组合问题.
具体解题策略如下：
（1）相邻问题，捆绑为一；
（2）不相邻问题，插空处理；
（3）特殊优先，一般在后；
（4）定序问题只选不排（或先排后除）；
（5）元素相同排列，定序处理；
（6）条件交叉，容斥原理；
（7）平均分堆，先分后除；
（8）不同球入盒，先分堆后排列；
（9）相同球入盒，隔板处理；
（10）正难则反，排除法处理；
1.4.2 二项式定理.
二项式定理主要考查二项展开式及展开式的通项，并利用通项求特征项或特征项的系数，并注意系数与二项式系数的区别。一般以客观题形式出现，题目较为基础.
1.4.3 概率与统计.
概率与统计的引入拓宽了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的极好素材. 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生生活，注重考查基础知识和基本方法.
随机变量是理科高考的必考内容，其中理科离散型随机变量的分布列、期望与方差最热点. 题型以解答题为主，以选择题、填空题为辅. 这种形势有可能发生变化，即有可能转变为以客观题为主. 文科主要是抽样方法的考查，以客观题为主.
[题12]（2007安徽卷）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好将笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔，以表示笼内还剩下的果蝇的只数.
（1）写出的分布列（不要求写出计算过程）；
（2）求数学期望E；
（3）求概率P（≥E）.
解析：（1）的分布列为

0
1
2
3
4
5
6
P

（2）数学期望为
（3）所求的概率为
[点评]：本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.
1.5 立体几何
立体几何的线面关系是重点考查内容，特别要注意的是，对一道试题可以用二种方法选用，特别强调用向量法解决问题. 其中，一线与一面垂直是热点，中点是常考，正方体是重要模型。总之，立体几何常从以下几个方面考查.
1.5.1 位置关系的判断或证明.
[题13] （2007年江苏卷）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：
①m∥n, m⊥α n⊥α； ②α//β，mα, nβm//n
③m∥n, m∥αn∥α； ④α∥β，m∥n，m⊥αn⊥β；
其中正确的序号是（ ）
A、①③ B、②④ C、①④ D、②③
[解析]：由α∥β，mα, nβm∥n或m、n异面，∴②错
由m∥n，m∥an∥α或nα, ∴③错，故选C.
[答案]：C.
[点评]：本题考查两直线与平面垂直问题，①是两平行直线垂直同一平面，④是两平行直线与两平行平面中的一个垂直，则与另一平面也垂直.
1.5.2 空间的距离和空间的角
[题14] （2007福建卷）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
（1）求证：AB1⊥平面A1BD；
（2）求二面角A—A1D—B的大小；
（3）求点C到平面A1BD的距离；
[解析]：（1）取BC 中点O，连结AO，
∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，
连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，
∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD.
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
∴AB1⊥平面A1BD.
（2）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作CF⊥A1D于F，连结AF，由（1）得AB1⊥平面A1BD，∴AF⊥A1D, ∴∠AFG为二面角A－AD1—B的平面角.
在△AA1D中，由等面积法可求得AF=,
又，
所以二面角A—A1D—B的大小为.
（3）△A1BD中，BD=A1D=，
在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为
设点C到平面A1BD的距离为d.
由得

∴ 点C到平面A1BD的距离为.
[点评]：本题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识。考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.此题还可以用空间向量的方法解答
1.5.3 有关面积与体积的计算
计算几何体的体积问题，应记住相应的几何体的体积公式，要边证明边计算，一般会涉及到割补问题、特定位置问题，涉及到多面体、正棱柱（锥）以及球的性质。求体积、面积的最值时，往往还会选择导数方法来处理.
[题15]（2007年江西卷）直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，求此几何体的体积.
[解析]本题的几何体体积可转化为求三棱柱A1B1C1—A2B2C2和四棱锥B—AA2C2C体积的和，由已知，三棱锥A1B1C1—A2B2C2和四棱锥B—AA2C2C的体积都很容易求解.
过B作截面BA2C2//面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2.
作BH⊥A2C2于H，连CH. A1B1=B1C1=1，所以，=.
. .
[点评]本题是将所求几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，从而用规则的几何体求积方法求解，用割补方法解决此类问题较为合理.
1.6 平面解析几何
圆锥曲线主要从以下四个方面考查：
①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；
②求平面曲线的方程和轨迹；
③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明和范围确定
④涉及与圆锥曲线对称变换、最值和位置关系有关的问题.
综合以上知识，归纳如下：
1.6.1 直线与圆
[题16] （2007浙江卷）设m为实数，
若，则m的取值范围是 .
[解析] 题中所给的集合关系为两个点集的关系，记O(0, 0), C(3，－4)，借助图形并结合分析，若m<0，条件不成立，故当m≥0时，且mx+y=0的斜率大于等于时结论成立.
故.
[点评]本题考查了不等式的表示区域，开放性地考查了分析、解决问题的能力，与平时练习有较大出入，应予重视.
1.6.2圆锥曲线的概念与性质
[题17] （2007安徽卷）已知F1、F2分别是双曲线的左右焦点，A、B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
[解析] , ,
∴，故选D.
[答案]D
[点评]本题考查了双曲线性质，圆的性质及离心率求法.
圆与焦半径的位置关系是该题解决的关键，否则运算量大，容易出错.
1.6.3 曲线的轨迹方程
[题18] （2007江西卷）设动点P到点A(－1，0)和B（1，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ，且存在常数，
使得.
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线 ，并求出C的方程.
（2）过点B作直线交曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使，其中O为坐标原点.
[解析] （1）在△PAB中，|AB|＝2，则.
即 ，
∴点P的轨迹C是以A、B为焦点，实轴长的双曲线.
方程为.
（II）略.
[点评] 本题利用双曲线的定义证明P的轨迹为双曲线，求轨迹方程的常用方法有直接法、定义法、相关点代入法、参数法、待定系数法等.
1.6.4 直接与圆锥曲线的关系.
[题19]（2007天津卷）设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为.
（1）（略）
（2）设Q1、Q2为椭圆上两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程.
[解析] （II）
设点D(x0, y0)，当y0≠0时，OD⊥Q1Q2， ，
∴Q1Q2方程为y=kx+m，Q1(x1, y1), Q2(x2, y2)满足
，
故, 又，
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，∴，
∴，有.
当y0=0时，x=x0, Q1(x1, y1), Q2(x2, y2)满足，
∴ ，由于x1x2+y1y2=0，即
∴ ，D为坐标仍满足方程.
[点评] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考中重中之重，应熟练掌握解决此类问题的基本思想与方法，即方程组思想，在设直线方程时，应考虑到直线垂直于x轴的特殊情况，分类讨论等，在用韦达定理时，不能忘记△>0的条件.
1.6.5 定值与最值及参数的取值范围
[题20] （2007四川卷）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值.
（2）设过定点M(0, 2)的直线与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
[解析]（1）设P(x, y)，则，又 ∴x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值－2.
时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.
（2）直线x=0不满足条件，可设直线,
由得 ,，
令，得.
又，故cos<∠AOB>0， ∴ .
即，又，
∴ ∴k2>4，即－2时，还要注重能力的考查，确立能力立意命题的指导思想。因此命题时，特别注意知识之间的交叉、渗透与整合，命题者常常在知识的整合、交汇点上设计试题，应当特别关注下列整合模式.
2.1 平面向量与其也知识点的整合
由于平面向量具有代数式与几何双重形式的身份，具有极其丰富的数与形的教学背景和很强的工具性能，因此成为高考中能力考查的一大新热点.
2.1.1平面向量与代数的整合
例如：（湖北卷）已知向量ab，若函数a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围.
答案：t≥5.
2.1.2平面向量与三角函数的整合
例如：（山东卷，17）已知向量m和n ，且|m+n|=，求.
答案
2.1.3平面向量与解析几何的整合
例如：（全国卷I）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a＝（3，－1）共线.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
答案：略
2.1.4平面向量与平面几何的整合
例如：（湖南卷）P是△ABC所在平面上一点，
若，，则点△ABC的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
答案：D
2.2 数学期望与其他知识的整合
数学期望，作为新增的教学内容，既是教学重点，又是教学难点，近年来出现的数学期望与其它知识点整合的高考试题，让人耳目一新.
2.2.1数学期望与函数的整合
例如：（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市游览的景点与没游览的景点数之差的绝对值.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）记“函数f(x)=x2－3x+1在区间[2，+∞）上的单调递增”为事件A，求事件A的概率.
答案：（略）
2.2.2数学期望与解析几何的整合
例如：（全国卷III）设l为平面上过点(0, 1)的直线，l的斜率等可能地取，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E= .
答案：.
2.2.3数学期望与数列的整合
例如：（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白球的数量比为s:t，现在从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其中放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数.
（1）求的分布列；（2）求的数学期望；
答案：（略）
2.3 导数与其他知识的整合
导数是研究函数的重要工具，近两年来已出现导数在研究不等式及向量、三角函数等方面的综合试题.
2.3.1导数与不等式的整合
例如：（湖南卷）设f(x)、g(x)分别定义在R上的奇函数，当x<0时且g(－3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A、 B、
C、 D、
[答案]D
2.3.2三角导数与向量的整合
例如：（江西卷）已知向量a，b=，令f(x)＝a·b，是否存在实数，使（其中是f(x)的导函数），若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.
简解：由，得，但此时
无意义，故不存在这样的实数x.
3. 应用问题有规可循，偶尔出人意料之外
应用性问题，近年来，一改过去应用问题局限于函数及不等式的范畴，在线性规划、导数及概率、期望两年内就出现许多内容新颖、贴近生活的优秀试题，2008年应重点关注下列4种模式的应用题.
3.1利用线性规划求值
例如：（湖北卷）某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价格为140元；另一各是每袋24kg，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费 元.
解析：设购买35kg的x袋，24kg的y袋，则35x+24y≥106,x∈N, y∈N, 共要花费z=140x+120y.
作出35x+24y≥106，x∈N, y∈N对应的可行域，目标函数z=140x+120y在格点（1，3）处取最小值500元，填500.
3.2利用导数求最值
例如（辽宁卷）甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的甲方的情况下，乙方的利润x(元)与年产量(t)吨满足函数关系x=2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）；
(1)将乙方的年利润w（元）表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
[答案]略
3.3概率和期望的实际应用
例如（天津卷）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利1