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高中数学学案中存在的问题及对策
本文摘自《教育理论与实践》，作者暂不公布。
新课堂教学模式在我省如雨后春笋般发展起来，走进实施新课堂教学模式改革的学校，总是给我们充满生机活力的印象，他们的成功象旗帜一样召唤者我们积极跟进。尤其是课改学校学生那种积极向上，热情好客，善于思考，活泼乐观的精神面貌更是给我们留下了深刻的印象，让我们按捺不住激动的心情，想尽快的做课堂教学模式的改革。从哪里做起呢？当模式改变后，会涉及到各个方面的改变，甚至是深度变革。本文就学案编写问题进行分析。在这些学校学习的过程中深深的感受到，在新的教学模式下，学案是生命线。当我们在探讨学生自主学习的效果如何、探索研究的深度如何、展示交流的激烈度如何，等等问题时，其实应该首先去关注这些活动的起点，也是活动的载体的驱动力如何。这个起点，这些活动的载体就是学案！下面就笔者对学案的观察、思考和解决办法提出一管之见，与同仁们分享。
一、高中数学学案中存在的问题及思考
山西新课堂教学模式，以事实证明它在全面提高学生素质，在提高学生的高考成绩方面都是非常有实效的，进行课堂教学模式改革的学校因此而坚定信念，稳步前行。为了更好地发挥新课堂教学模式的作用，必须从根本上解决学案中的问题。根据观察，发现学案中存在着这样那样的问题，归纳概括，主要的问题有如下三个：
第一，学案习题化，忽略新知的形成过程
数学学习要注重知识的形成过程。过程性目标是三维目标之一，只有经历过程，学生才能真正理解知识，才能领悟蕴含其中的数学思想，才能感受策略性知识的重要性，才能积累解决问题的经验。但是在现实的学案中这一目标体现的如何呢？
案例1 《几何概型》一课学案摘编
一、课堂基础知识梳理
1．几何概型的概念
2．几何概型的计算公式
3．常见的几何概型有三种：与长度有关的几何概型；与面积有关的几何概型；与体积有关的几何概型。
二、典型例题分析与变式
共设计了4道例题及一个变式（略）。
说明：这个学案还略去了前面的教学目标、教学重难点。
这是一节新知识学习的课，但是学案的核心“其实都是练习题，其基本功能不是导学，而是将练习前移。”①依据这份学案，第一部分新知识的学习就是让学生看书后将结论抄到学案上，学生在学习过程中就起着搬运工的作用。第二部分就是解题。之所以编制出这样的学案，其根源在于教师的理念，在他们的观念中数学学习就等同于“看书——记结论——做题”。他们不理解数学知识与数学学习过程，只能抓住有形的、具体的知识技能，让学生记忆、做题训练，体现在学案上就是习题化。学生用这样的学案学习，没有资源、没有素材、没有方法指导，更不可能经历知识的生成过程，他们不能真正理解为什么，机械记忆加大题量训练成为数学学习的主要方式，学生负担加重，思维不但得不到提升，反而被制约，学习效果下降。
第二，学案以知识为中心，忽略学生的认识发展规律
数学教学要尊重学生的认知发展规律，尤其是在学案导引下的新模式的学习过程中，更是如此。据此在学习过程中要做到丰富学生的感性经验，为学生理解新知识奠定基础；打通学生已有知识经验与新学习内容的关系，以期“温故而知新”的效果；在学习过程中，要将教师需要给予的指导、要求，以及学生应该掌握的研究方法明确地呈现在学案中，让学生感到时刻有无声的老师引导他进行有效的学习。可见学案不仅仅是知识单，而是按照学生认知发展规律展开的一个研究任务系列单。
案例2：《复数代数形式的乘除运算》一课的学案摘编。
第一板块：请学生看书。
第二板块：在引导学生阅读了教材之后，给出如下的学习流程：
1.请同学们回忆多项式的乘法运算： ，类比多项式的乘法运算，若设两个复数代数形式分别为： ，那么这两个复数的乘法应如何运算？
2.我们知道实数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，那么复数的乘法是否也满足上述运算律呢？
设，请试证明上述运算律.
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）乘法对加法的分配律：
3.由课本59页例3你能得到什么样的结论？
4．两个复数互为共轭复数的充要条件是 ；复数的共轭复数记作 .
5.请同学们完成课本59页思考.
6.请同学们回忆根式的除法运算：
= 。
类比根式的除法运算，我们应如何进行两个复数的除法运算？
= = = 。
7.请同学们完成课本60页练习：（要求：书写要认真、过程要规范）
第三板块：在上述任务完成之后，给出近20道练习题。（此处不赘述）。
根据建构主义的思想，复数的学习，应该充分运用学生已有知识经验中有理数、实数等知识学习时学生获得的知识，以及获得这些知识的过程中积累的经验、研究方法和策略性知识，发挥这些知识，尤其是隐性知识和研究方法的作用。在本节开始学习时，将起点向前移一步，即从梳理旧知识开始，这些旧知识包括实数的乘法分配律、分母有理化等等，然后再运用类比、对比的方法展开研究。学生的学习就会自然流畅，犹如静静流淌的小河，滋润着每一个学生的心田。但仔细分析案例2中的学案，学生的探究体验在哪里？在文本中可以看到“回忆类比”、“得到”等似乎指导学生活动的字眼，但因为有了前面的看书过程，学生已经先入为主地获得了新知识，所以大大地弱化了这些活动的质量。之所以导致这种结果，是因为“当前的学案文本，多数仍是以知识逻辑为线索的学习提纲，并非对学生探究和体验活动的设计。”②这是教师不理解数学教学教什么、怎么教导致的。
第三，学案设计为教材中的结论负责，忽视学生思维能力的培养
数学学习的目的是什么？不是为了记忆前人积累的丰富的结论，而是要在这个过程中培养学生的能力，“数学是思维的体操”。于是在很多学案中，都设计了很多的问题，以期用问题推动学生的思维，但是带有问号的“问题”能达到这个功能吗？
案例3 《函数的单调性》一课学案摘编
1．画出下列函数（略）的简图，并说明函数值随的增大怎样变化？
2．如何从“数”的角度，对“函数值随的增大而增大（或减小）的特征”给以具体地定量刻画呢？
3．函数在区间上,函数值随的增大而增大，函数在区间上,函数值随的增大而减小，你能用符号语言说明吗？
4．多个应用函数单调性进行证明的题目（略）。
5．函数在区间上是增函数吗？并说明理由．
6．回顾上述学习过程，你能总结我们研究函数单调性的方法吗？
在这个学案中，教师设计了若干个问题，但是“学案”中“所提出的问题全部来自教师，学生依然处于被动完成作业，即被动学习的地位。”③[2]尤其是本学案中问题3，这是本节学习的难点和重点，仅仅凭借这一个问题学生是不可能真正理解函数单调性的定义的，学生仅仅是记住书本中的结论而已。
类似的问题在案例1和案例2中也存在。学生为什么要学习这些新知识，学生不得而知，因为教师让看书，书上有这些结论，后面要做题，所以要记住。至于从思维层面，学生并不理解为什么要学习，也不清楚该怎么学习，虽然文本中要求要“类比”，“类比”也的确是本节的研究方法，但在学案的设计中没有突显出来它的思想性，引领性。
此外，“学案的编制不能仅仅设计学生预习自测、归纳要点、讨论解题方法、练习巩固等以知识掌握为线索的环节，更要引领他们拓展阅读、操作实验、探究情境、观察社会、体验生活，拓展学案的行为内涵。……学案不是知识的记录本，而是探索未知世界的指南。因而学案不是平面的，而是立体的，不是静态的，而是动态的。”④
根据上述问题我们不得不思考：
1．如何找到一个平衡点，设计出即能完成一线教师关注的练习，又有别于“练习册型”的学案呢？[3]
2．如何以学生的认知发展规律和知识的发展规律为线索设计学案？当二者发生矛盾时如何选择呢？
3．如何设计学案，引导学生提出问题呢？
4．如何将教师的“导”体现在学案中？如何激发学生不局限于学案，进行更丰富的探索活动呢？
5．在学案中如何引导学生“生成”，生成什么？如何激活学生的思维呢？
6．如何让学案引导学生进行真正的学科思维活动，而不仅仅是盲目地完成题海呢？
二、高中数学学案中问题的解决对策
无论哪种模式的课堂，做教学设计都要遵循“三理解”⑤的原则，即理解数学，理解学生，理解教学。所谓理解数学，就是要理清所学知识的来龙去脉、相互联系、其数学本质和要点、学习的意义和价值；所谓理解学生就是要了解学生的已有知识经验、认知结构、知道它们的发展规律，理解学生学习的心路历程；所谓理解教学，就是要明确教学活动过程中师生的角色定位，如何实现授人以渔，而不是授人以鱼，如何激发学生主动的倾向性的有意义学习等等。
针对前述问题，要从根本上解决，就要实践“去教材 求原创”的原则。在编写学案时，教师的思路被束缚，目标直指书上的结论，学生的学习也因此被禁锢。因此要让教师摆脱束缚，扔掉拐杖，按照“三理解”的原则去编写学案，这就是所谓的“去教材”。“去教材”之后要引领学生“拓展阅读、操作实验、探究情境、观察社会、体验生活”，充分体现教师的“导”。在“三理解”原则下的学案，学生的学习就能够按照科学的路径展开，拓展学习的行为内涵，从而学生就能够提出问题、发现问题，学习过程不再是“填写”，而是思考、探索，于是能提出他们原始的思考和创造性的想法，这就是所谓的“求原创”。
“去教材 求原创”如何实现呢？提供两条策略：
第一，学案设计的思路要归纳法与演绎法并重，并在条件允许的情况下尽量使用归纳法。
数学是演绎的，也是归纳的。演绎可以引导归纳，当演绎推理出现阻碍时，就是向归纳提出问题，促使归纳超越模糊、零散和残缺。如果没有归纳法的参与，演绎法将寸步难行，因此在数学教学中要注重归纳法。注重归纳法就是注重学生已有知识经验的作用，在获得知识的过程中学生要进行充分的观察、分析、归纳、概括等活动，在这样的学习过程中更注重培养学生探索发现的能力。
比如概念课学案，可以按照如下的思路设计：提供丰富典型例证（包含研究对象的正反例子）——把握概念本质（指导学生观察、分析、归纳、概括例证的特征）——给出概念形成定义（可以通过看书获得，并记忆，以规范数学语言）——辨析概念（从外延上帮助学生理解概念，通过举正反例子，让学生在应用中理解）——巩固升华（注意将知识技能化，在概念的指导下进行可操作的判断、分析）。
又比如原理（公理、公式、法则、定理）课，原理的获得过程是通过对丰富典型例证进行分析、比较、抽象概括其共同特征，获得猜想，之后再论证或者反驳。
原理课的学案要按照如下的思路设计：（1）原理的发现。波利亚在《数学的发现》中指出：“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”．在具体设计导航时，设计者应精心设计一定的问题情境，提供丰富的典型例证，让学生在一定的情境中，通过实验操作、观察分析、类比归纳、抽象概括等学习活动，自主探索规律，建立猜想去发现原理．（2）原理的确定。原理提出后，学习焦点转向原理的确定，即原理的论证．原理的论证的关键是在于探究论证的思路．（3）原理的剖析。原理被证明即成为定理，为了更进一步理解和把握定理，需要面对定理做一些逗留，用宁静的心态进行审视和剖析，以充分认识定理的价值和作用．定理的剖析主要有两个方面：一是建立定理域与定理系；二是数学思想方法和规律的揭示．（4）原理的应用。在原理的应用中，要注意安排好各类习题，既有基本训练，又有巩固知识的题型，还有综合型的题目．另外适当补充一些逆用，变用原理的例题或习题。
根据这一策略可以设计如下的学案：
案例4 《复数代数形式的乘除运算》（原理课）：
问题1 复数代数形式的乘法法则是什么？运算结果是什么数？这个法则的实施与实数的哪种运算类似？
问题2 复数代数形式的乘法是否满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律？为什么？
练习1：教材练习1及例2
练习2：例3
问题3 通过上述计算，熟悉了复数代数形式的乘法法则，深切感悟到了其与实数多项式运算的一致性。尤其是通过例3的求解，你发现了什么结论？把这些结论写下来，并证明或者反驳。
问题4 什么叫共轭复数？如何表示？一对共轭复数在复平面内具有怎样的位置关系？其积是什么数？写出其形式。
练习3：教材练习2
问题5 在完成练习2时，哪个题目可以用乘法公式？哪个题目可以转化后运用乘法公式？记住这个过程，它的逆运算可不是这么容易想到的。
问题6 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算。据此如何给出复数除法的定义？据此定义你能求出两个复数除法的商吗？结果是什么？
问题7 根据问题6的结论计算除法太繁琐。对比问题6探索出的结论与问题4的结论的形式，你能探索出两个复数除法的一种简便计算过程吗？请你写出来。
练习4 例4与练习3
问题8 在复数除法运算中体现了转化思想，转化的途径是什么，目标是什么？
问题9 本课时你有哪些收获？请你从知识方法经验等方面谈谈．下节课你将继续研究哪些问题？
作业：（9道题，略）。
第二，在教学设计的背景下做学案。学案是教学设计的产物，是教学设计的一个核心内容。虽然现在学生学习展开的载体是学案，但是，不能孤立地编写学案，要在“三理解”原则指导下，写出教学设计的基础上形成学案。教学设计是对教与学活动的全面设计，包含了对教学内容的分析，对教师教、学生学的设计；教学背景的分析、过程的设计等。学案是从教学设计中的教学过程中分离出来的，只包含教学过程设计中的主线问题。它是学生学习的线索、推进器。这样做学案，才更厚重，更全面。
根据上述的设计思路，就能实现“去教材”，把教材当成最主要的学习材料，真正做到“用教材教”，而不是“教教材”。学生利用按照这样的思路设计出来的学案学习就能实现“求原创”的目标，实现课标要求的“让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”，“使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京:人民教育出版社,2003;
[2]张彬福，“学案导学法”的问题出在哪里[J], 基础教育课程，2012年第4期；
[3]安桂清，学案教学：何去何从[J]，基础教育课程，2012年第4期；
[4]章建跃，理解数学 理解学生 理解教学[J]，《中国数学教育（高中版）》，2010年，第12期；
[5]张小平，漫谈数学的两重性[J]，《数学通报》，2012年第5期。