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高中数学专题训练——古典概型与几何概型
古典概型与几何概型
【知识网络】
1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。
【典型例题】
[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为 （ ）
A． B． C． D．
（3）在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为 （ ）
A． B． C． D．
（4）向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积小于”的概率为 ．
（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．
[例2]考虑一元二次方程x2+mx+n=0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。
[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．
某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．
方案1：总点数是几就送礼券几十元．
总点数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
礼券额
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．
总点数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
礼券额
20
40
60
80
100
120
100
80
60
40
20
方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．
总点数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
礼券额
120
100
80
60
40
20
40
60
80
100
120
如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．
【课内练习】
1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （ ）
A． B． C． D．
2． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P1，第8个人摸出红球的概率是P8，则 （ ）
A．P8=P1 B．P8=P1 C．P8=P1 D．P8=0
第3题图
F
E
D
C
B
A
O
3． 如图，A、B、C、D、E、F是圆O的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为 （ ）
A． B．
C． D．

4． 两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为 （ ）
A． B． C． D．
5． 一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为 ．
6． 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．
7． 在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP≥75°的概率为 ．
8． 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．
（1）共有多少个基本事件？
（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？

9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，求弦长超过半径的倍的概率．

10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．
①设“VP-ABC≥”的事件为X，求概率P(X)；
②设“VP-ABC≥且VP-BCD≥”的事件为Y，求概率P(Y)．

古典概型与几何概型
A组
1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为 （ ）
A． B． C． D．
2． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （ ）
A． B． C． D．
3． 已知椭圆(a＞b＞0)及内部面积为S=πab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点点P是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （ ）
①△PA1A2为钝角三角形的概率为1；
②△PB1B2为直角三角形的概率为0；
③△PB1B2为钝角三角形的概率为；
④△PA1A2为钝角三角形的概率为；
⑤△PB1B2为锐角三角形的概率为。
A．1 B。2 C。3 D。4
4． 古典概型与几何概型的相同点是 ，不同点是基本事件的 ．
5． 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．其中“恰有两枚正面向上”的事件包含 个等可能基本事件．
6． 任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．

A
第7题
O
E
D
C
B
7． 如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和 ∠BOC都不小于30°的概率．

A
C
P
B
第8题
8． 如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：
问题1 在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；
问题2 在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB．

古典概型与几何概型
B组
1． 在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为 （ ）
A． B。 C。 D。
2． 一个罐子里有6只红球，5只绿球，8只蓝球和3只黄球。从中取出一只球，则取出红球的概率为 （ ）
A． B。 C。 D。
3． 已知O（0，0），A（30，0），B（30，30），C（0，30），E（12，0），F（30，18），P （18，30），Q（0，12），在正方形OABC内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ内的概率为 （ ）
A． B。 C。 D。
4． 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是_________．
5． 在所有的两位数（10~99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 ．
6． 在△AOB中，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C。试分别求下列事件的概率：
①△AOC为钝角三角形；
②△AOC为锐角三角形；
③△AOC为锐角三角形。

7． 在区间[-1，1]上任取两实数a、b，求二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率．

8． 一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m，宽20m的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2m”．
（1）试设计一个算法（用伪代码表示），使得计算机能模拟这个试验，并估算出事件A发生的概率；
（2）求P（A）的准确值．

参考答案
古典概型与几何概型
【典型例题】
[例1]（1）A。
（2）C．提示：总事件数为36种。而满足条件的(x，y)为（1，2），（2，4），（3，6），共3种情形。
（3）D．提示：M只能在中间6cm~9cm之间选取，而这是一个几何概型。
（4）作△ABC的边BC上的高AD，取E∈AD且ED=，过E作直线MN∥BC分别交AB于M，AC于N，则当P落在梯形BCNM内时，△PBC的面积小于△ABC的面积的，故P=．
（5）。提示：总事件数为6×6=36种，相同点数的有6种情形。
[例2]由方程有实根知：m2≥4n．由于n∈N*，故2≤m≤6．
骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6×6=36种情形．其中满足条件的有：
①m=2，n只能取1，计1种情形；
②m=3，n可取1或2，计2种情形；
③m=4，n可取1或2、3、4，计4种情形；
④m=5或6，n均可取1至6的值，共计2×6=12种情形．
故满足条件的情形共有1+2+4+12=19（种），答案为．
x
O
15
15
60
60
例3答图
y
[例3]以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是．在平面上建立直角坐标系如图7，则(x，y)的所有基本事件可以看作是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示．故
P(两人能会面) ．
答 两人能会面的概率为．
[例4]由图可知，等可能基本事件总数为36种．
其中点数和为2的基本事件数为1个，点数和为3的基本事件数为2个，点数和为4的基本事件数为3个，点数和为5的基本事件数为4个，点数和为6的基本事件数为5个，点数和为7的基本事件数的和为6个，点数和为8的基本事件数为5个，点数和为9的基本事件数为4个，点数和为10的基本事件数为3个，点数和为11的基本事件数为2个，点数和为12的基本事件数为1个．
根据古典概型的概率计算公式易得下表：
点数和
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
概率

1 2 3
4 5 6
1
2
3
4
5
6
例4答图
第一次抛掷后向上的点数
第二次抛掷后向上的点
2 3 4
5 6 7
3 4 5
6 7 8
4 5 6
7 8 9
5 6 7
8
6 7 8
9 10
7 8 9
10
11
11
12
10
9

由概率可知，当点数和位于中间（指在7的附近）时，概率最大，作为追求最大效益与利润的老总，当然不能选择方案2，也不宜选择方案1，最好选择方案3．
另外，选择方案3，还有最大的一个优点那就是，它可造成视觉上与心理上的满足，顾客会认为最高奖（120元）可有两次机会，即点数和为2与12，中次最高奖（100元）也有两次机会，所以该方案是最可行的，事实上也一定是最促销的方案．
我们还可以从计算加以说明．三个方案中，均以抛掷36次为例加以计算（这是理论平均值）：
点数和
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
合计所需
礼券额
点数和出现的次数
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
方案1礼券额
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
2520
方案1各点数和所需礼券额
20
60
120
200
300
420
400
360
300
220
120
方案2礼券额
20
40
60
80
100
120
100
80
60
40
20
2920
方案2各点数和所需礼券额
20
80
180
320
500
720
500
320
180
80
20
方案3礼券额
120
100
80
60
40
20
40
60

80
100
120
2120
方案3各点数和所需礼券额
120
200
240
240
200
120
200
240
240
200
120
从表清楚地看出，方案3所需的礼券额最少，对老总来说是应优先考虑的决策．

【课内练习】
1． D。3个人加入6个小组中有36种方法。3人中恰有2人在同一小组的，于是只须加入两个小组，共有=15种选择，而3人的分组又有6种情形，故答案为。
2． C。提示:虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后摸的人知道先摸人摸出的结果，那么各个摸球者摸到红球的概率都是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性．∴P8=P1。
3． B。
4． B。提示：记“彩珠与两端都大于1m”为事件A，则P(A)=。
5．
6．
7． 。提示：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150°-45°-75°，即就是30°，。
8．（1）三类客车分别记为上、中、下．则有如下的基本事件：
①上-中-下；②上-下-中；③中-上-下；
④中-下-上；⑤下-上-中；⑥下-中-上．
因此，基本事件总数为6个．
（2）小曹能乘上上等车的事件记为A，则A中包含上述事件中的：
③中-上-下；④中-下-上；⑤下-上-中，故
③
④
⑤
①
②
⑥
I
A
第8题答
P(A)=．
答 共有6个基本事件，能乘上上等车的概率为．
9．连结圆心O与A点，作弦AB使∠AOB=120°，这样的点B有两点，分别记为B1与B2，仅当P在劣弧上取点时，AP＞OA，此时∠B1OB2=120°，故所求的概率为．
10．①分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，并连结EF、FG、GE，则平面EFG∥平面ABC．
A
M
D
C
B
J
I
H
G
F
E
N
当P在正四面体DEFG内部运动时，满足VP-ABC≥，故P(X)=．
②在AB上取点H，使AH=3HB，在AC上取点I，使AI=3IC，在AD上取点J，使AJ=3JD，则P在正四面体AHIJ内部运动时，满足VP-BCD≥．
结合①，当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动时，亦即P在正四面体EMNJ内部运动时，同时满足VP-ABC≥且VP-BCD≥，于是
P(Y)= ．

古典概型与几何概型
A组
1． B。提示：所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积。
2． B。提示：乙可选3个位置中的一个坐下。
3． D。提示：①②③⑤是正确的。
4． 基本事件的等可能性；有限性与无限性的区别．
5． 3。提示：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）。
6． 一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0，1，2，…，9中的任意一个，因而基本事件为 ={1，2，3，…，9}，共10个．
正整数的平方的末位数是1的事件A={1，9}，共2个．
因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得．
7． 记A={作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°}，作射线OD、OE使∠AOD=30°，∠AOE=60°．当OC在∠DOE内时，使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则P(A)=．
8． 问题1，因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为区域D．以B为圆心、BA为半径画弧交BC于M，则P必须落在线段BM内才有BP＜BM=BA，于是
．
问题2，作射线AP在∠BAC内是等可能分布的，在BC上取点M，使∠AMB=75°，则BM=BA，当P落在BM内时，BP＜AB．于是所求的概率为．

B组
1． B。
2． C。
3． D。提示：。
4． 。提示：基本事件的总数为6×6=36个，记事件A={点P(m，n)落在圆x2+y2=16内}，则A所包含的基本事件为(1，1)，(2，2)，(1，3)，(1，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(2，1)，共8个．
5． 。提示：被2整除的有45个，被3整除的有30个，被6整除的有15．
O
第7题答图
b
a
6． ①0.4；②0.6；③0。
7． 方程有实根的条件为⊿=(2a)24b2≥0，故|a|≥|b|．点(a，b)的取值围成如图所示的单位正方形的区域D，随机事件A“方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分．易求得．

8． （1）建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x和y组成的有序数组(x，y)来表示海豚嘴尖的坐标．
O
10
15
-15
y
x
-10
第8题答图
这里几何区域D所表示的范围为长方形：x∈（-15，15），y∈（-10，10），事件A所表示的区域为图中的阴影部分d：13≤|x|＜15，8≤|y|＜10．
算法的伪代码表示如下：
s←0
Read n
For I from 1 to n
x←30×Rnd-15
y←20×Rnd-10
If 13≤int(x)＜15 and 8≤int(y)＜10 then s←s+1
End for
Print “海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为”&
End
说明 1．实验次数n由实验者任意输入．
2．∵0＜Rnd＜1，∴x=30×Rnd-15∈（-15，15），y=20×Rnd-10∈（-10，10）．
（2）如图7-3-11，所求概率为
．

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