地震动反应谱学习报告.docx

地震动反应谱学习报告
一、 周期-频度谱
相对频度按周期用折线画出，这就是周期-相对频度曲线，也叫做周期-频度谱。周期-频度谱可由零交法和峰点法得到。
测出曲线和零线相交点的时间间隔，乘以2倍求得周期的方法，叫做零交法。零交法是从波形与零线的相交点着眼以取得波形所含的周期信息的，但是波中会叠加一些非常短、周期非常小的涟波，由此得到的周期-频度与实际周期有差别。单连波的存在也可以认为是一种优点，在分析过程中去掉一些次要的东西，抓住波的整体的主要特征，更直观、清晰的得到频谱曲线。
以峰与峰之间的时间作为周期，并计算各级间内的峰出现次数，连涟波的波形也统计在内，由此得出波形的周期特性，这种方法称为峰点法。对于同一条地震波，按照峰点法和零交法分析，得到的结果有相当大的差别。峰点法存在高频容易被检测出来的倾向，因此整个曲线向短周期一侧靠拢。
零交法和峰点法在进行周期-频度分析时，都只注意到波的周期性质，没有考虑波的振幅。
二、 概率密度谱
在一个地震波中，包含着各种大小振幅成份的波。有的地震波中大振幅的波反复的多次出现，而有的波中，大的振幅只出现一两次，之后持续的都是一些振幅很小的波。在各式各样波中的大小振幅的混杂情况下，我们研究地震波关心的不是幅值本身，而是分布问题。波的概率密度分布曲线就是概率密度谱。
三、 傅里叶谱
有限傅里叶近似式为
xt=A02+k=1N2-1Akcos2πktN∆t+Bksin2πktN∆t+AN22cos2π(N2)tN∆t
其中第一项A02为全体采样值的平均，也可以说成是整个波形对零线的偏离，没有振动的偏移。令fk=kN∆t，则上式可以写成
xt=A02+k=1N2-1Akcos2πfkt+Bksin2πfkt+AN22cos2πfN2t
此处fk表示一秒时间内的往复次数，即频率又叫做周波数。
由于采样点数有限，fN2是能够检出的频率分量的界限，表示一种分辨能力。钙频率称为奈奎斯特频率。但是波中含有比奈奎斯特频率更高的频率分量，不能简单的检出，而且还会给有限傅里叶系数带进计算麻烦，而引起误差。
通过三角函数的数学计算，可以得到
Ak=XkcosϕkBk=Xksinϕk
Xk是代表k次分量的振动大小，即为振幅，k表示振型。
对于由有限傅里叶系数Ak、Bk、求得的振幅Xk，通常情况下乘上0.5T后的结果表示，该图称为傅里叶振幅谱。
傅里叶谱的意义
埃尔森特罗地震波的傅里叶谱图形如下图所示：

上图傅里叶谱使是对频率坐标画出来的，下图是对周期的对数坐标画出的。这样表示的意义，一是从时间过程中检出频率分量，二是进行了由时域到频域的变换。对于频率分量的检出，可以得到波中含有什么样的频率分量以及哪些分量的振幅大以便推测出这个地震波对结构物的影响。用频域表示时域是还需要结合傅里叶相位谱。利用傅里叶谱在频域上分析地震波或者分析结构物在地震波下的反应，较在时域上分析速度非常快，但也存在一定的问题。当数据的个数不是2的乘幂时就失去了快速分析的优势。
四、 功率谱
平均功率用有限傅里叶稀疏表示可以写成
1Nm=0N-1xm2=C02+2k=0N2-1Ck2+CN22
在式子两边乘以波的持续时间T=N∆t，得到
m=0N-1xm2∆t=TC02+2k=0N2-1TCk2+TCN22
把这个式子的右边各项，对照
k=0,1,2,…N2fk=k∆fωk=2πfk=2πk∆f
做出的图形，叫做功率谱。
式子∆f=1N∆t,表示频率间隔。
把埃尔森特罗地震波的功率谱画成图，如下所示：

功率谱与傅里叶谱在本质上并无区别，与傅里叶谱相比，在纵坐标上近似存在平方的关系，因此我们可以理解为功率谱相对傅里叶谱更加强调了各成份波对结构物的影响。但是功率谱仅仅与振幅有关，对时间轴的移动来说是一个不变量，所以相对于傅里叶振幅谱和傅里叶相位谱，仅凭靠功率谱无法得到特定的波。
五、 谱的平滑化
地震波的谱图大体上都是锯齿状，因此谱峰点的准确位置不好确定，因此要对谱进行平滑化。具体做法为：求出以某采样点为中心，时间宽度为b的区间内采样值的平均值，并用它作为该中心点的采样值。用这样的方法一步一步地往后移动中心点，而时间宽度b保持不变，这样的方法称为滑动平均法。该方法在时域和频域上均适用。
对功率谱作平滑化，可以对原来波形的功率谱直接用谱窗作移动平均，或先求出原来波形的自相关函数，然后乘以滞后窗，再将这个结果作傅里叶变换。也可以从原来的波形直接求，在求得功率谱以后，反过来对它进行傅里叶变换。
对谱进行平滑化，首先要搞清两件事。一是原来的谱值和平滑后值之间的差。二是边叶的影响。考虑到这两个影响因素，引入了关窗法。下面两图便是运用关窗法对埃尔森特罗地震波傅里叶谱处理后的结果。

六、 反应谱
1. 什么是反应谱
反应谱是单自由度弹性系统在给定地震动作用下的最大反应随结构自振周期或频率的变化曲线。
2. 反应谱的计算理论
单自由度弹性系统在地震作用下的运动方程为
u+2ςωu+ω2u=-ug
利用二阶常微分方程理论，杜哈梅积分和一些简单的高等数学运算，可求出其位移反应，速度反应和绝对加速度反应表达式。
ut=-1ωD0tug(τ)e-ξωt-τsinωD(t-τ)dτ
ut=-ωωD0tug(τ)e-ξωt-τcosωDt-τ+αdτ
ugt+ut=+ω2ωD0tug(τ)e-ξωt-τsinωDt-τ+2αdτ
假设有一组N个自振周期Ti（i=1,2,3……）各不相同而阻尼比ξ相同的单自由度体系，在某一给定的地震动过程ugt的作用下，各个体系的最大绝对值加速度反应为Sa（Ti，ς），（i=1,2,3……）为
SaTi，ς=ugt+utmax
这是绝对加速度反应谱。利用相同的方法可得到相对加速度反应谱Sv，相对位移反应谱Sd。令准速度反应谱为
PSV(T,ς)=ug(τ)e-ξωt-τsinωD(t-τ)dτtmax
则可以得出相对位移反应谱SdT，ς和绝对加速度反应谱SaT，ς将分别为
SdT,ς=1ωPSV(T,ς)
SaT,ς=ωPSV(T,ς)
运算过程在结构动力学中学习过，在此仅仅列出地震反应谱的表达式。
3. 反应的数值计算方法
当地震动加速度ut的时间过程给出时，计算单质点系的反应过程可以用褶积计算法、傅里叶变换法、直接积分法三种计算方法。相比较此三种方法，线型加速度法的直接积分法比其他两种方法计算时间少很多。
4. 反应谱的意义
1) 傅里叶谱只表示地震波本身的频率特性，与结构物的概念没有任何的联系。反应谱可以表现出地震波对单质点系所代表的结构物的最大影响。
2) 加速度反应谱给出了作用于结构物的力，在谱上可以直接得到最大绝对加速度，从而能够求得最大剪力。
3) 速度反应谱代表了地震动给予结构物的最大能量。所以可以得到谱烈度。
4) 位移反应谱表示位移，与结构物中引起的应力有关，将它乘以弹簧常数k便可以得到最大剪力。
5) 复杂的多质点系结构物的振动也可以分解成简单的单质点系，求出每个振型的分量反应合成便得到复杂振型的反应。
七、 利用matlab绘制埃尔森特罗地震波的反应谱

Matlab源代码：
clc
clear
close all
load elcen.dat;
t=elcen(:,1);
xg=elcen(:,2);
xg=xg/100; %单位转换 m/s^2
TA=0.001:0.05:6; %结构自振周期
kesi=0.05; % 结构阻尼比
j=1
for T=0.001:0.05:6
omiga=2*pi/T; % 结构圆频率
A=[0 1;-omiga^2 -2*kesi*omiga];
B=[0;-1];
C=eye(2);
D=zeros(2,1);
y=lsim(A,B,C,D,xg,t);
%求解相对位移
disp=y(:,1);
dispmax(j)=max(disp);
%求解相对速度
vel=y(:,2);
velmax(j)=max(vel);
%求解绝对加速度
acce_abs=-2*kesi*omiga*vel-y(:,1)*omiga^2;
acce_absmax(j)=max(abs(acce_abs));
j=j+1;
end
figure
subplot(3,1,1)
plot(TA,acce_absmax);
title('Abs acceleration Spectrum');
xlabel('Tn(s)');
ylabel('acceleration m/s^2');
subplot(3,1,2);
plot(TA,velmax);
title('Relative velocity Spectrum');
xlabel('Tn(s)');
ylabel('velocity m/s');
subplot(3,1,3);
plot(TA,dispmax);
title('Relative displacement Spectrum');
xlabel('Tn(s)');
ylabel('displacement m');
grid;

注，从上至下依次为绝对加速度，相对速度，相对位移反应谱