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新理念下初中数学总复习的例题设计初探

新课标在“基本理念”中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”如何提高初中总复习的效率，历来是众多数学教师探索研究的问题。由于总复习时间紧，内容多，要求高，且没有固定的教材，这使得在例题设计上反而有较大的选择空间。如果我们在课堂上只重视习题的训练，单纯套用大量的现成模拟试卷，搞题海战术，不但会大大增加学生负担，而且不利于调动学生的学习积极性，更不能提高复习效果。因此，如何上好复习课，提高复习效率，是每位教师最为关心的问题。上好复习课的关键在于教师的设计一定要有新意，能激发起学生对复习课的兴趣，让学生像学习新知识一样充满热情地投入到复习中去。这就需要教师应具有创新的理念，能创造性地指导复习，展现生动活泼的设计艺术以吸引学生，使学生能抓住重点、要点，全面、系统地掌握所学知识。笔者结合多年的教学实践，谈谈例题设计的几种主要方式。
一、设计递进式例题，满足学生多样化的学习需求
进入初三总复习阶段，学生的学习水平和认知能力等方面的差异更加明显。新课标要求我们“尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要。”因此，设计的例题一定要有层次性，即由易到难，循序渐进，一步步引导学生将问题深化，揭示出解题规律，发展思维能力，使不同的学生各得其所，避免“吃不了”和“吃不饱”的现象发生。比如，为了巩固学生对等腰三角形两底角相等的性质的理解，我设计了以下问题：
例1 （1）若等腰三角形一个底角为55°，则其顶角为多少度？
（2）若等腰三角形一个底角为55°，则其余的角为多少度？
（3）若等腰三角形一个内角为100°，则其余的角为多少度？
（4）若等腰三角形一个内角为m°，则其余的角为多少度？
通过步步深入的引导，不但满足了各个层次学生的需要，加强了学生对性质的理解并能直接应用，还使学生在变化中找出解答这类题的规律和方法。
二、设计多解式例题，发散学生的多种思维
新课标强调：“教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。”一题多解能使知识不断延伸，是深化认识水平、提高思维能力、开发智力的一种较好方式。在精心设计例题时，应有意识地偏重于那些可用多种思路来完成的典型题，引导、鼓励学生不拘泥常规方法，要寻求变异，勇于创新。
例2 已知：△TAB内接于⊙O，C为AB延长线上一点，CT切⊙O于T
求证：BT2：AT2＝BC：AC
该题有多种证法，可利用切割线等定理来证，也可利用相似三角形对应边成比例、变换比例式来证……引导学生沿着不同的途径去思考。通过比较，提炼出最佳方法是利用面积之比来证，从而达到优化解题思路的目的，避免因简单重复带来的枯燥感，同时能激活思维，发散思维，调动学生的积极性，提高复习效率。
三、设计类化式例题，引导学生提炼数学思想方法
新课标重视数学思想方法教学，强调学习方法的指导，注重学会学习和发现、形成知识的过程。平时新课学习的内容比较分散，而总复习时间又较为紧张。为提高效率，可以通过题目的分类归档和有效组合，把初中所学的相关知识点集中体现在例题中，集中力量解决同类题中的本质问题，总结解这类题的方法和规律，达到触类旁通的目的。
例3 解方程组
此题应用韦达定理转化为一元二次方程来解。把握了这个特征，再诱导学生进行思维正迁移，就可顺利地解下列方程组。
（1） （2） （3）

（4）
以上题组把初中所学的方程组都包含在其中，不但复习了这些方程组的解法，还通过知识的整理，提示和总结了蕴涵其中的化归思想。因此，在例题设计时，要有整体意识，在知识的交汇点设计问题，在解决问题的过程中提炼数学思想方法。
四、设计引申式例题，锻炼学生解综合题的能力
新课标要求我们“要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践” 。因此，对一个问题不能就题论题，而应进行适当引申和变化，逐步延续伸展，在培养学生思维变通性的同时，让学生思维变得更为深刻流畅，提高其解综合题的能力。
例4 已知：△TAB内接于⊙O，C为AB延长线上一点，CT切⊙O于T，
（1）若∠ABT＝60°，BT＝2，TC＝，求BC的长和⊙O的直径；
（2）若∠BCT＝30°，CT＝，BC＝2，求BT和AB的长及∠A的度数；
（3）作∠ATB的平分线交AB于E，交⊙O于G。
求证：（1）； （2）EB·TC＝AE·BC； （3）CE2＝BC·AC
此题由例2出发，由浅入深，由此及彼，将图形合理演化，形成题链，连成一串，涵盖一片。这种方法能开阔视野，开发智力，促进思维正迁移，提高总复习效率。
五、设计开放性例题，诱发学生的创造性潜质
新课标指出，“要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展。”因此在复习课中设计开放性例题，可以满足不同学生的学习需求。
例5 已知△ABC，将它分成面积相等的三个多边形，你能给出几种分法？
本题有难易不同的多种解法。对于基础差的学生来说，要想出一两种分法来也并不太难；而对于基础好，喜欢思考的学生来说，尽可以充分利用自己所掌握的有关知识，在创造性的王国里自由驰骋，给出许多有趣的分法。由于开放性问题的显著特征是答案呈多样性和多层次性，解答时学生需要通过观察、比较、分析、综合，开展发散性思维，运用已学过的数学知识和方法，经过必要的推理得出正确的结论。
六、设计探索性例题，培养学生发现问题和分析问题的能力
根据新课标 “学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习”的要求，我们在复习课中要给学生提供大量探索数学奥秘的教材，给学生提供充分从事数学活动和探究数学问题的时间和空间，给学生“做数学”的机会，促进学生数学知识和方法的掌握、巩固和提高。
例6 某学习小组在探究“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形。
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形。如图1，△ABC是正三角形，AD＝BE＝CF，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形。
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想边数是7时，它可能也是正多边形。

（1）请你说明乙同学
构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各
角都相等的圆内接七边形
ABCDEFG（如图2）是正
七边形（不必写已知求证）； （3）根据以上探索过程，提出你的猜想。
在复习课中引导学生学会研究问题，这对学生的思维将起到积极的作用。因此，在复习课中应努力揭示数学思维活动的过程，指导、调控学生的思维活动，使之能模拟数学家的思维方式，逐步形成数学头脑”。
七、设计应用性例题，提升学生的数学应用水平
新课标认为，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。在复习课中设计一些源于生活、贴近生活，有很强的时代性如环境保护、国情国策、市场经营、社会热点、新闻事件、现代时尚等的例题，既能巩固学生已学的数学知识，又能培养学生的数学应用能力。
例7 为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米0.8元调整为1.1元，并提出“超额高费措施”，即：每户每月定额用水不超过12立方米，超过12立方米的部分，另加收每立方米2元的高额排污量。
（1）某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3立方米，结果使得260立方米的水比过去多用了半年。问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？
（2）如果该户居民响应节水号召，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水。那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元？
通过这类源自生活的应用题的复习，既发挥了强烈的德育功能，引导学生关注社会热点，了解时事政策和社会发展趋势，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用，提高应用数学知识解决实际问题的能力。
八、设计跨学科例题，强化学生的综合运用知识意识
在新课程中，实践与探索是一个新的课题。这个课题不是增加新知识，而是强调数学知识的整体性、现实性和应用性，注重数学的现实背景以及与其它学科之间的联系。设计跨学科例题，不仅在近几年中考中频频出现，而且还可为学生解题增添新的思路，培养学生综合运用知识的能力。
例8 有一用特殊材料制成的质量为30克的泥块，现把它切开为大小两块，将较大泥块放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑该天平的臂长不等，其它因素忽略不计，请你根据杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量。
这是一个科学和数学的综合题，学生若能从两方面进行分析、综合，不难解决。设计本例的意思是让学生感受到各学科之间的相互联系，因为数学与自然科学以及天文地理、医学、军事乃至语文等的联系都比较密切，它是各学科不可缺少的工具。这就要求我们在总复习时，应重视对学生在相关学科中增强应用意识和应用能力的培养，充分发挥数学的工具作用。
注：本文发表于《中学数学杂志》2005年第6期。
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