浅谈数学分类讨论思想.docx

浅谈数学分类讨论思想

温宝壮

（山西省平遥县职业学校， 山西 平遥 031100）

【摘要】在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决．
【关键词】数学思想，分类讨论，原则，归纳
【作者简介】温宝壮（1982—），女，汉族，籍贯：山西省平遥县，单位：山西省平遥县职业学校，研究方向：中学数学教育，学历：大学本科，职称：讲师。
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓
针对数学思想方法与数学知识的紧密联系，要求我们在学好数学的同时要重视数学思想方法的学习与深入。
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。它是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想。
分类讨论思想的本质与意义：针对研究数学对象的本质属性的相同点和差异点将数学对象分为不同的种类，在对划分的每一种类分别进行研究和求解的一种方法。揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思想条理性和概括性。通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．
这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，这种思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置．
分类讨论思想的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程．
分类讨论思想的原则 同一性原则，互斥性原则，相称性原则，层次性原则。
同一性原则：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集，是的子集并以此分类，且，则称这种分类符合同一性原则．
如：把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是满足要求的。但是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形，这种分类就不正确，此种分类同时使用了按边、按角两个分类标准。
互斥性原则：分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项．即对于研究对象，是的子集，且作为分类的标准，若，则称这种分类符合互斥性原则．
如：某班有9个同学参加球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加田径比赛，如把这9个人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误。因为必须有2人既参加球类比赛，又参加田径比赛。
相称性原则：分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等．
如：某人把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。事实上有理数中还包括零。
层次性原则：分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项再次进行分类，直到满足需要为止．
如：对一个数进行划分，最大层次是实数，实数又分为有理数与无理数，有理数可以分为正有理数、负有理数和零，无理数可以分为正无理数和负无理数，当然，还可以继续深化。
分类讨论思想解决问题的一般步骤是：⑴讨论的对象及讨论对象的取值范围的确定；⑵正确选择分类的标准，进行合理分类（分类时需要做到四大原则）；⑶逐步讨论解决问题；⑷归纳并作出结论。
分类讨论思想的原因类型
（1）概念型：涉及的数学概念是分类讨论的，如绝对值、直线的斜率等；
（2）性质型：运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式、数列的前n项和与通项的关系式；
（3）运算型：涉及的数学运算要求分类讨论，如除法中的除数、不等号的方向等；
（4）几何型：涉及的图形具有不确定性，如形状、位置等；
（5）含参型：求解的数学问题中含有参变量，如含参函数、方程、不等式等；
（6）化归型：有的数学问题较复杂或非常规，分类解决简捷，如排列、组合实际问题等；
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
总而言之，分类讨论思想在中学数学中起着很重要的作用，学好分类讨论思想，不仅仅有利于我们对所学知识的归纳，有利于我们应对平常的学习任务，更为我们日常生活中解决实际问题提供了一定的帮助。
由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，希望同学们在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。简化分类讨论的常用策略：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。这是分类讨论思想应用的更高境界。