非线性控制系统专题培训课件.ppt

v参考书目：v非线性系统（第三版），非线性系统（第三版），Hassan K.Khalil，电子工业出版社，电子工业出版社v非线性控制系统理论与应用，胡跃明 编著，国防工业出版社 v非线性系统的分析与控制，洪奕光 程代展 著，科学出版社v非线性理论数学基础，姚妙新 陈芳启主编，天津大学出版社第一章第一章 绪论绪论1.1 1.1 1.1 1.1 非线性模型和非线性现象非线性模型和非线性现象非线性模型和非线性现象非线性模型和非线性现象一阶常微分方程组：一阶常微分方程组：一阶常微分方程组：一阶常微分方程组：输入变量输入变量输入变量输入变量状态变量状态变量状态变量状态变量时间变量时间变量时间变量时间变量1。状态空间模型的几个基本概念。状态空间模型的几个基本概念 状态方程状态方程状态方程状态方程输出方程输出方程输出方程输出方程状态空间模型状态空间模型状态空间模型状态空间模型无激励状态方程：无激励状态方程：无激励状态方程：无激励状态方程：非自治系统非自治系统非自治系统非自治系统/时变系统时变系统时变系统时变系统自治系统自治系统自治系统自治系统/时不变系统：时不变系统：时不变系统：时不变系统：如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。自治系统的平衡点：自治系统的平衡点：自治系统的平衡点：自治系统的平衡点：对于状态空间中的点对于状态空间中的点对于状态空间中的点对于状态空间中的点x x x x*只要状态从点只要状态从点只要状态从点只要状态从点x*x*x*x*开始，在将来的任何时刻开始，在将来的任何时刻开始，在将来的任何时刻开始，在将来的任何时刻都将保持在点都将保持在点都将保持在点都将保持在点x*x*x*x*不变，那么不变，那么不变，那么不变，那么这点称为系统的平衡点这点称为系统的平衡点这点称为系统的平衡点这点称为系统的平衡点。2。平衡点。平衡点 平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。3。本质非线性现象：。本质非线性现象：有限逃逸时间有限逃逸时间：非稳定线性系统的状态只有当时间趋于无穷时才会非稳定线性系统的状态只有当时间趋于无穷时才会达到无穷，而达到无穷，而非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷多孤立平衡点多孤立平衡点：线性系统只有一个孤立的平衡点，而线性系统只有一个孤立的平衡点，而非线性系统非线性系统可以有多个孤立平衡点可以有多个孤立平衡点，其状态可能收敛于几个稳态工作点之一，其状态可能收敛于几个稳态工作点之一，收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。极限环极限环：在现实生活中，在现实生活中，只有非线性系统才能产生稳定振荡只有非线性系统才能产生稳定振荡，有些，有些非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，而与初始状态无关，非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，而与初始状态无关，这类振荡就是一个极限环。这类振荡就是一个极限环。混沌混沌：非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，也不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。也不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。特性的多模式特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。无激励同一非线性系统显示出两种或多种模式。无激励系统可能有不止一个极限环。具有周期激励的系统可能会显示倍频、系统可能有不止一个极限环。具有周期激励的系统可能会显示倍频、分频或更复杂的稳态特性，这取决于输入信号的幅度和频率。甚至分频或更复杂的稳态特性，这取决于输入信号的幅度和频率。甚至当激励幅度和频率平滑变化时，也会显示出不连续的跳跃性能模式。当激励幅度和频率平滑变化时，也会显示出不连续的跳跃性能模式。分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡：非线性系统在周期信号激非线性系统在周期信号激励下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产励下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产生殆周期振荡。生殆周期振荡。1.2 1.2 1.2 1.2 示例示例示例示例1.2.1 单摆方程单摆方程摆锤沿切线方向的运动方程：摆锤沿切线方向的运动方程：（k为摩擦系数）为摩擦系数）取状态变量：取状态变量：状态方程为：状态方程为：1。单摆方程。单摆方程单摆方程单摆方程解方程得平衡点：解方程得平衡点：实际平衡点：实际平衡点：单摆可以停留在平衡点（单摆可以停留在平衡点（0，0）上，）上，几乎不可能停留在平衡点（几乎不可能停留在平衡点（，0）上。）上。2。单摆的平衡点。单摆的平衡点3。无摩擦单摆方程。无摩擦单摆方程设设k=0：4。有控制输入的单摆方程。有控制输入的单摆方程输入力矩输入力矩1.2.2 隧道二极管电路隧道二极管电路通过结点通过结点c的电流代数和为零：的电流代数和为零：电压定律：电压定律：取状态变量：取状态变量：隧道二极管电路隧道二极管电路的根为系统的平衡点的根为系统的平衡点1.2.3 质量质量-弹簧系统弹簧系统为摩擦阻力为摩擦阻力为弹簧的回复力，只是位移为弹簧的回复力，只是位移y的函数的函数g(y)位移较小时：位移较小时：位移较大时：位移较大时：软化弹簧软化弹簧硬化弹簧硬化弹簧1。运动方程：。运动方程：假设参考点位于假设参考点位于g(0)=0处处弹性系数弹性系数2。回复力分析：。回复力分析：阻力阻力Ff包括：包括：静摩擦力静摩擦力Fs库仑摩擦力库仑摩擦力Fc粘滞摩擦力粘滞摩擦力Fv3。摩擦阻力分析：。摩擦阻力分析：a。静摩擦力：。静摩擦力：静摩擦系数静摩擦系数b。库仑摩擦力：。库仑摩擦力：c。粘滞摩擦力：。粘滞摩擦力：当速度较小时：当速度较小时：4。硬化弹簧的。硬化弹簧的Duffing方程方程：运动方程运动方程对于硬化弹簧，考虑线性粘滞摩擦力和一个周期外力对于硬化弹簧，考虑线性粘滞摩擦力和一个周期外力F=Acost，可以得到，可以得到Duffing方程：方程：这是研究具有周期激励的非线性系统的经典例子。这是研究具有周期激励的非线性系统的经典例子。5。线性弹簧的例子。线性弹簧的例子：对于线性弹簧，考虑静态摩擦力、库仑摩擦力和线性粘滞对于线性弹簧，考虑静态摩擦力、库仑摩擦力和线性粘滞摩擦力，且当外力摩擦力，且当外力F=0时可得到：时可得到：其中：其中：取取状态模型为：状态模型为：以上模型有一组平衡点以上模型有一组平衡点 以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。当当x20时以上模型简化为线性模型：时以上模型简化为线性模型：当当x21时，时，z2变化快，曲线斜率变化快，曲线斜率1，当，当z11时，时，z2变化慢，变化慢，曲线斜率曲线斜率00，则被扰动系统的平衡点是非稳定焦点。，则被扰动系统的平衡点是非稳定焦点。当当00，则被扰动系统的平衡点是稳定焦点。，则被扰动系统的平衡点是稳定焦点。当当A有多重非零特征值时，无穷小的扰动会产生一对复特有多重非零特征值时，无穷小的扰动会产生一对复特征值，因此稳定（或非稳定）结点会继续保持为稳定（或征值，因此稳定（或非稳定）结点会继续保持为稳定（或非稳定）结点，或者变为稳定（或非稳定）焦点。非稳定）结点，或者变为稳定（或非稳定）焦点。结点、焦点和鞍点平衡点称为结构稳定的结点、焦点和鞍点平衡点称为结构稳定的。中心平衡点不是结构稳定的中心平衡点不是结构稳定的。当当A有两个零特征值时，考虑四种可能的有两个零特征值时，考虑四种可能的Jordan型扰动，型扰动，四种情况下被扰动系统的平衡点分别是中心、焦点、结点四种情况下被扰动系统的平衡点分别是中心、焦点、结点和鞍点。和鞍点。当当A有一个零特征值时，零特征值的扰动会得到一个实特征有一个零特征值时，零特征值的扰动会得到一个实特征值值1=，可正可负。则此时被扰动系统有两个不相等的可正可负。则此时被扰动系统有两个不相等的实数特征值，平衡点的类型取决于实数特征值，平衡点的类型取决于2和和的符号。的符号。中心中心焦点焦点结点结点鞍点鞍点2.2 2.2 多重平衡点多重平衡点隧道二极管电路：隧道二极管电路：平衡点：平衡点：有摩擦力的单摆：有摩擦力的单摆：2.3 2.3 平衡点附近的特性平衡点附近的特性非线性系统：非线性系统：设设p=(pp=(p1 1,p,p2 2)是非线性系统的平衡点，并假设是非线性系统的平衡点，并假设f f1 1,f,f2 2连续可微。连续可微。在在(p(p1 1,p,p2 2)处按泰勒级数展开：处按泰勒级数展开：定义：定义：状态方程改写为：状态方程改写为：忽略高阶项：忽略高阶项：向量形式表示：向量形式表示：其中：其中：雅可比矩阵在雅可比矩阵在p点的点的计算值计算值称为称为f(x)的雅可的雅可比矩阵比矩阵 如果线性化后状态方程的原点对于不同的特征值是一个稳如果线性化后状态方程的原点对于不同的特征值是一个稳定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或一个鞍点，定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或一个鞍点，那么在平衡点的一个小邻域内，非线性状态方程的轨线就会具那么在平衡点的一个小邻域内，非线性状态方程的轨线就会具有一个稳定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或有一个稳定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或一个鞍点的特性。一个鞍点的特性。如果线性化后的状态方程在平衡点附近具有同样的特性，如果线性化后的状态方程在平衡点附近具有同样的特性，就把非线性状态方程的平衡点称为稳定（或非稳定）结点、稳就把非线性状态方程的平衡点称为稳定（或非稳定）结点、稳定（或非稳定）焦点或鞍点。定（或非稳定）焦点或鞍点。例例2.3 2.3 隧道二极管电路隧道二极管电路解得三个平衡解得三个平衡点分别为：点分别为：特征值：特征值：-3.57，-0.33特征值：特征值：1.77，-0.25特征值：特征值：-1.33，-0.4稳定结点稳定结点鞍点鞍点稳定结点稳定结点得到三个雅可比矩阵：得到三个雅可比矩阵：平衡点分别为：平衡点分别为：例例2.4 2.4 单摆单摆鞍点鞍点稳定焦点稳定焦点得到两个雅可比矩阵：得到两个雅可比矩阵：如果一个平衡点的雅可比矩阵在虚轴上没有特征如果一个平衡点的雅可比矩阵在虚轴上没有特征值，那么这个平衡点就是双曲型的。值，那么这个平衡点就是双曲型的。如果雅可比矩阵在虚轴上有特征值，那么非线性状如果雅可比矩阵在虚轴上有特征值，那么非线性状态方程在平衡点附近的特性与线性化后的状态方程态方程在平衡点附近的特性与线性化后的状态方程完全不同。完全不同。例例2.52.5（0，0）是该系统的一个平衡点）是该系统的一个平衡点在原点线性化后，雅可在原点线性化后，雅可比矩阵的特征值为：比矩阵的特征值为：中心中心用极坐标表示用极坐标表示系统：系统：时，轨线类似稳定焦点的轨线。时，轨线类似稳定焦点的轨线。时，轨线类似非稳定焦点的轨线。时，轨线类似非稳定焦点的轨线。如果如果f(x)在平衡点的邻域内是解析函数，那么以下论述成立：在平衡点的邻域内是解析函数，那么以下论述成立：对于线性化状态方程，如果原点是稳定（或非稳定）结点，对于线性化状态方程，如果原点是稳定（或非稳定）结点，那么，无论线性化后的特征值是否相同，在平衡点的一个小那么，无论线性化后的特征值是否相同，在平衡点的一个小邻域内，非线性状态方程的轨线都将表现出类似稳定（或非邻域内，非线性状态方程的轨线都将表现出类似稳定（或非稳定）结点的特性。稳定）结点的特性。以上例子说明，在线性化状态方程中描述的中心特性以上例子说明，在线性化状态方程中描述的中心特性在非线性状态方程中不一定成立。在非线性状态方程中不一定成立。2.4 2.4 极限环极限环当系统具有非平凡周期解当系统具有非平凡周期解 时就会振荡。时就会振荡。在相图中，周期解的图形是一条闭合的曲线，通常称为在相图中，周期解的图形是一条闭合的曲线，通常称为周期轨道或或闭轨道。线性系统振荡的例子第二种情况第二种情况 特征值为复数，特征值为复数，称为稳定焦点称为非稳定焦点称为中心变为变为Jordan标准型后该系统的解：标准型后该系统的解：其中：其中：系统有一个幅度为系统有一个幅度为r0的持续振荡，一般称为的持续振荡，一般称为谐振器。线性系统振荡器有两个基本问题：线性系统振荡器有两个基本问题：1。鲁棒性问题。鲁棒性问题2。振荡的幅度取决于初始条件。振荡的幅度取决于初始条件非线性系统振荡器的两个特点：非线性系统振荡器的两个特点：非非线性振性振荡器是器是结构构稳定的（定的（鲁棒性好）棒性好）振振荡幅度（幅度（稳态时）与初始条件无关）与初始条件无关负阻振荡器负阻振荡器满足以下条件：满足以下条件：系统的惟一平衡点（系统的惟一平衡点（0，0）平衡点是非稳定结点或非稳定焦点平衡点是非稳定结点或非稳定焦点从能量的观点来考虑：从能量的观点来考虑：任意时刻任意时刻t，储存在电感，储存在电感和电容中的能量为：和电容中的能量为：其中：其中：例例2.62.6取三个不同值时的相图：取三个不同值时的相图：=5时选择状态变量：时选择状态变量：发生跳跃现象的振荡通常称为发生跳跃现象的振荡通常称为张弛振荡。张弛振荡。稳定极限环稳定极限环的性质：当的性质：当t时，极限，极限环邻域内的所有域内的所有轨线 最最终都都趋于极限于极限环。非稳定极限环非稳定极限环的性质：当的性质：当t时，所有始于接近极限，所有始于接近极限环的的 任意一点的任意一点的轨线都将都将远离极限离极限环。Poincar-Bendixson定理定理2.6 2.6 周期轨道的存在周期轨道的存在Bendixson准则准则指数法指数法引理引理2.1（Poincar-Bendixson准准则）考）考虑系系统（2.7），），设M是平面内的一个有界是平面内的一个有界闭子集子集,使使M不包含平衡点，或只包含一个平衡点，使雅可比矩不包含平衡点，或只包含一个平衡点，使雅可比矩阵f/x在在该点有点有实部部为正的特征正的特征值（因此特征（因此特征值是非是非稳定焦点或非定焦点或非稳定定结点）点）每条始于每条始于M的轨线在将来所有时刻都保持在的轨线在将来所有时刻都保持在M内内那么，那么，M包含系统（包含系统（2.7）的一个周期轨道。）的一个周期轨道。二阶自治系统：二阶自治系统：。（。（2.7）向量场向量场f(x)方向向内方向向内向量场向量场f(x)方向向外方向向外向量场向量场f(x)与曲线相切与曲线相切闭合曲线闭合曲线V(x)连续可微连续可微内积内积定义集合：定义集合：定义集合：定义集合：例例2.7 2.7 谐振器谐振器轨线在轨线在M内。内。集合：集合：其中：其中：系统的平衡点为（系统的平衡点为（0，0）集合集合M不包含平衡点不包含平衡点例例2.82.8平衡点（平衡点（0，0）其中：其中：特征值：特征值：可以保证所有轨线包含在可以保证所有轨线包含在M内，即内，即M内有一个内有一个周期轨道。周期轨道。例例2.9 2.9 负阻振荡器负阻振荡器其中：对以上条件加以限制：根据以上条件，选择h(v)：选择状态变量：状态模型为：(0,0)为系统惟一的平衡点。如图所示，状态平面由两条曲线分为四个区域：证明证明(p)p，只要，只要证证明明V(E)-V(A)0时，如果p0当pr时，随p ，(p)单调减小到-通过选取足够大的通过选取足够大的p，即可保证，即可保证(p)为负，因此为负，因此(p)p引理引理2.2（Bendixson准准则）如果在平面上的）如果在平面上的简单连通区域通区域D内，表内，表达式达式f1/x1+f2/x2不总是为零，且符号不变，那么系统（不总是为零，且符号不变，那么系统（2.7）在）在D内没有周期闭轨道。内没有周期闭轨道。例例2.102.10：D为整个平面为整个平面如果如果b00时，时，平衡点平衡点：两个雅可比矩阵为：两个雅可比矩阵为：稳定结点稳定结点鞍点鞍点1 1。鞍结点分岔。鞍结点分岔一般来说，一般来说，分岔分岔 就是当参数变化时，平衡点、周就是当参数变化时，平衡点、周期轨道或稳定性质的改变期轨道或稳定性质的改变。以上例子中，分岔参数是以上例子中，分岔参数是，分岔点是，分岔点是=0。一般情况下，一般情况下，分岔图分岔图 的坐标是平衡点或周期轨道的模的坐标是平衡点或周期轨道的模值，实线表示稳定结点、稳定焦点和稳定极限环，而值，实线表示稳定结点、稳定焦点和稳定极限环，而虚线表示非稳定结点、非稳定焦点和非稳定极限环。虚线表示非稳定结点、非稳定焦点和非稳定极限环。有两个有两个平衡点平衡点：（0 0，0 0）点的雅可比矩阵）点的雅可比矩阵：（，0 0）点的雅可比矩阵）点的雅可比矩阵：00时，时，（0，0）是鞍点）是鞍点00时，时，（0，0）是稳定结点）是稳定结点2 2。跨临界分岔。跨临界分岔由于对稳态特性的影响不同，在跨临界分岔例子中的分岔称为由于对稳态特性的影响不同，在跨临界分岔例子中的分岔称为安安全分岔全分岔或或软分岔软分岔，而鞍结点分岔中的分岔称为，而鞍结点分岔中的分岔称为危险分岔危险分岔或或硬硬分岔分岔。000时，时，有三个平衡点：有三个平衡点：雅可比矩阵雅可比矩阵：稳定结点稳定结点稳定结点稳定结点鞍点鞍点3 3。超临界叉形分岔。超临界叉形分岔安全分岔安全分岔000时，时，（0，0）是惟一平衡点，为鞍点。）是惟一平衡点，为鞍点。4 4。次临界叉形分岔。次临界叉形分岔危险分岔危险分岔例例2.12 2.12 隧道二极管电路隧道二极管电路平衡点为两曲线的交点：平衡点为两曲线的交点：A时，有一个稳定结点。时，有一个稳定结点。BB时，有一个稳定结点。时，有一个稳定结点。=A=A和和=B处，各有一个鞍结点分岔。处，各有一个鞍结点分岔。（0 0，0 0）点的雅可比矩阵）点的雅可比矩阵：特征值：特征值：j5 5。超临界。超临界hopfhopf分岔分岔0时，原点为非稳定焦点，有一个稳定极限环。时，原点为非稳定焦点，有一个稳定极限环。振荡幅度随振荡幅度随增大而增大，增大而增大，随随减小而减小。减小而减小。当稳定焦点因小的扰动消失时，系统会有小幅度的当稳定焦点因小的扰动消失时，系统会有小幅度的振荡，因此它是安全分岔。振荡，因此它是安全分岔。（0，0）是系统惟一平衡点）是系统惟一平衡点0时，原点为非稳定焦点。时，原点为非稳定焦点。6 6。次临界。次临界hopfhopf分岔分岔0时，有一个极限环：时，有一个极限环：是稳定极限环是稳定极限环有两个平衡点：（有两个平衡点：（0，0），（），（1，0）（0，0）总是鞍点。）总是鞍点。-11时，（时，（1，0）是非稳定焦点。）是非稳定焦点。时产生一条始于鞍点又时产生一条始于鞍点又止于鞍点的轨线，这样止于鞍点的轨线，这样的轨线称为的轨线称为同宿轨道同宿轨道。7 7。全局分岔。全局分岔发生分岔对平衡点发生分岔对平衡点(0,0)和和(1,0)没有任何改变，这类全局没有任何改变，这类全局分岔称为分岔称为鞍点连接鞍点连接或或同宿分岔同宿分岔。