高中数学常见易错点提醒.doc

高中数学常见易错点提醒
易错点　充要条件判断不准
1．“x2＝x＋2”是“x＝x2”的________条件．
错解1　由x2＝x＋2⇒x＝⇒x2＝x
得出“x2＝x＋2”是“x＝x2”的充分条件．
错解2　由x＝x2⇒＝x⇒x＋2＝x2
得出“x2＝x＋2”是“x＝x2”的必要条件．
找准失分点　错解1中，事实上x2＝x＋2不能Þx＝；
错解2中，x＝x2也不能Þ＝x．
正解　方程x2＝x＋2的解集为{－1，2}，x＝x2的解集为{0，2}，
所以“x2＝x＋2”是“x＝x2”的既不充分也不必要条件．
答案　既不充分也不必要
易错点　函数概念不清致误
2．已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是 ．
错解　由f(1－x2)＞f(2x)得1－x2＞2x，即－1－＜x＜－1＋．
找准失分点　在解决分段函数的问题时，先要判断其在各个定义域内的单调性，其次要看所求参数或取值范围是否满足相应的定义域，本题容易忽视1－x2＞0．
正解　画出f(x)＝的图象，由图象知：若f(1－x2)＞f(2x)，则，
即－1＜x＜－1＋．
易错点　混淆“切点”致误
3．求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
错解　∵y′＝3x2－2，
∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，
∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
找准失分点　错把(1，－1)当切点．
正解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0＝3x－2．
∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1，或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－(－＋1)＝(－2)(x＋)，即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
易错点　图象变换方向或变换量把握不准致误
4．要得到y＝sin(－3x)的图象，需将y＝(cos 3x－sin 3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．
错解　右　或右　
找准失分点　y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin
＝sin.
题目要求是由y＝sin→y＝sin(－3x)．
右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．
正解　y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin，
要由y＝sin得到y＝sin(－3x)只需对x加上即可，因而是对y＝(cos 3x－sin 3x)向左平移个单位．
答案　左　
易错点　错误理解向量的平移就是点的平移致误
5．已知点A3，7)，B(5，2)，向量按a＝(1，2)平移后所得向量是 ．
错解 (3，－3)
正解 向量平移后所得向量还是向量＝(2，－5)．

易错点　应用an＝Sn－Sn－1 (n≥2)时，忽视n≥2从而导致错误
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，求数列的通项an．
错解　an＝Sn－Sn－1＝2n－1．
正解　 n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－1，
∴an＝
易错点 在等比数列求和时忽视对公比是否为1的讨论　
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
错解　－1
找准失分点　当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1．
正解　①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，
∴S3＋S6＝S9成立．
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9
得＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1．
答案　1或－1
易错点　忽视等比数列中的隐含条件致误
8．各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.
错解　150或－200
找准失分点　数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10＞0．忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.
正解　记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，
b1，b2，b3，b4是以公比为r＝q10＞0的等比数列．
∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，
∴r2＋r－6＝0，∴r＝2或r＝－3(舍去)，
∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝＝150．
答案　150
易错点　直线倾斜角与斜率关系不清致误
9．已知直线xsin α＋y＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是_______．
错解　由题意得，直线xsin α＋y＝0的斜率k＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的变化范围是.
找准失分点　直线斜率k＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．
正解　由题意得，直线xsin α＋y＝0的斜率k＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k＜0时，倾斜角的变化范围是；
当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.
故直线的倾斜角的变化范围是∪. 答案　∪
易错点　忽视斜率不存在情形致误
10．已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．
错解　直线l1的斜率k1＝－，
直线l2的斜率k2＝－，
∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即·＝－1，解得t＝－1． 答案　－1
找准失分点　(1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．
正解　方法一　(1)当l1，l2的斜率都存在时，
由k1·k2＝－1得，t＝－1.
(2)若l1的斜率不存在，
此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，
显然l1⊥l2，符合条件；
若l2的斜率不存在，此时t＝－，
易知l1与l2不垂直，综上t＝－1或t＝1.
方法二　l1⊥l2⇔(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0⇔t＝1或t＝－1.
答案　－1或1

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