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灵活运用整体、隔离法解决连接体问题
江苏省镇江中学 杨 俊 212017
〖问题背景〗：
连接体问题是动力学问题中一类常见题型，由于涉及整体法和隔离法、正交分解法等方法的综合应用，考查综合分析能力，使许多学生感到困难，本文试图在这方面给学生一个清晰的思路。

一、 连接体问题
两个或两个以上物体相互连接参与运动的系统称为连接体。以平衡态或非平衡态下连接体问题拟题屡次呈现于高考卷面中，是考生备考的难点之一。
二、处理连接体问题的基本方法
在分析和求解连接体命题时，首要问题就是研究对象的选取问题。
其方法有两种：一是隔离法；二是整体法。
1、隔离法
（1）含义：所谓隔离（体）法就是将所研究的对象--包括物体、状态和某些过程，从系统或全过程中隔离出来进行研究的方法。
（2）运用隔离法解题的基本步骤：
① 明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象。原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少。
② 将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来。
③ 对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图。
④ 寻找未知量与已知量之间的关系，选择恰当的物理规律列方程求解。
2、整体法
（1）含义：所谓整体法就是将两个或两个以上物体组成的整个系统或整个过程作为研究对象进行分析研究的方法。
（2）运用整体法解题的基本步骤：
① 明确研究的系统或运动的全过程。
② 画出系统的受力图和运动全过程的示意图。
③ 寻找未知量与已知量之间的关系，选择恰当的物理规律列方程求解。

【类型一】 连接体中的弹力（拉力、支持力）分配问题
例1．如图1在光滑水平面上，质量为5m和3m的A，B两个物体用轻绳连接在一起。用外力F拉A物体，则轻绳上的拉力为________

（解析）：常规解法如下：
先用整体法建立牛顿定律方程 F=8ma，令轻绳的拉力为T，
再用隔离法隔离B物体建立牛顿定律方程 T=3ma，两式联立得T= F

笔者分三步引导学生分析连接体中轻绳拉力的分配规律：
第一步：光滑水平面上连接体中的拉力的分配规律
首先分析质量相等的两个物体组成的连接体中拉力与外力F的关系：
如图2，先用整体法建立牛顿定律方程 F=2ma
隔离B物体建立牛顿定律方程 T= ma
由以上两式可得T= F
（小结1）：把外力F分成两个 F，因为B物体的质量只占连接体总质量的，所以AB之间绳的拉力要占外力F的。
其次分析质量相等的三个物体组成的连接体中的拉力与外力F的关系：
如图3，先用整体法建立牛顿定律方程 F = 3ma
隔离C物体建立牛顿定律方程 TBC = ma
将BC做为一个整体，并隔离BC整体，建立牛顿定律方程TAB = 2ma
由以上三式可得BC绳上的拉力为 F，AB绳上的拉力为 F
（小结2）：把外力F分成三个 F，因为C物体的质量占连接体总质量的，所以BC绳上的拉力只占外力F的；又因为BC整体的质量占连接体总质量的，所以AB绳上的拉力要占外力F的。
有了以上的论证，读者可以自己推导质量相等的多个物体组成的连接体中的拉力分配规律，并画出受力分配规律图。总结归纳出N个质量相等的连接体中的拉力分配规律：
在连接体中某段绳的拉力T的大小取决于该段绳所拉物体的个数在连接体中所占的比例，即：Tn= F（n=1、2、3…），如图4所示

得到了上述拉力分配规律，再让学生重新回到例题1，将A和B两个物体组成的连接体看做是8个质量为m的物体组成的连接体，这下学生利用拉力分配规律能立即写出答案。

第二步：粗糙水平面上连接体中拉力的分配规律
首先同样分析质量相等的两个物体组成的连接体中拉力与外力F的关系。
如图5，令每个物体所受摩擦力为f
先用整体法 F—2f =2ma ，
隔离B物体 T—f = ma 由以上两式可得T= F，
依此类推便可得出结论：即连接体中的拉力分配规律在粗糙水平面也是成立的。
第三步：斜面上连接体中的拉力的分配规律
首先讨论光滑斜面上两个质量相等物体组成的连接体如图6，令斜面的夹角为θ
先用整体法 F—2mgsinθ=2ma ，
隔离B物体 T—mgsinθ= ma 由以上两式可得T = F，
读者可推导多个连接体情况，容易得出在光滑斜面上连接体中的拉力分配规律依旧成立，这一结论很容易推广到粗糙斜面。

【类型二】 具有相同运动状态的连接体问题
例2．一个质量为0.2 kg的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图7，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。

命题意图：考查对牛顿第二定律的理解应用能力、分析推理能力及临界条件的挖掘能力。
错解分析：对物理过程缺乏清醒认识，无法用极限分析法挖掘题目隐含的临界状态及条件，
使问题难以切入。
（解析）：
当加速度a较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面；
当加速度a足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a=10 m/s2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a0（此时，小球所受斜面支持力恰好为零）
由mgcotθ= ma0
所以a0=gcotθ=7.5 m/s2
因为a=10 m/s2＞a0
所以小球离开斜面FN =0，小球受力情况如图8，
则Tcosα=ma， Tsinα=mg
所以绳的拉力T==2.83 N斜面对小球的弹力FN =0

（小结）：
对于具有相同运动状态（加速度a相同）的连接体问题，通常先取整体为研究对象，求解加速度a；如果还需讨论系统内部受力情况，再根据要求的问题隔离其中一个物体用牛顿运动定律求解。

【类型三】 具有不同运动状态的连接体问题
例3．如图9所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的，即a=g,则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？
命题意图：考查对牛顿第二定律的理解运用能力及灵活选取研究对象的能力。
错解分析：（1）部分考生习惯于具有相同加速度连接体问题演练，对于“一动一静”连接体问题难以对其隔离受力分析，列出正确方程。（2）思维缺乏创新，对具有不同运动状态的连接体，用“整体法”列出的方程感到疑惑。
（解析）：
解法一：（“隔离法”）
取小球m为研究对象，受重力mg、摩擦力Ff（如图所示）
据牛顿第二定律得：
mg—Ff = ma ①
取木箱M为研究对象，受重力Mg、地面支持力FN及小球给予的摩擦力Ff′（如图）
据物体平衡条件得：
FN —Mg—Ff′= 0 ②
且Ff = Ff′ ③
由①②③式得FN =g
由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为
FN′= FN =g

解法二：（“整体法”）
对于“一动一静”连接体，也可选取木箱与小球整体为研究对象：
由物体（质点）系牛顿第二定律列式： （mg+Mg）—FN = ma + M×0
故木箱所受支持力：FN =g，
由牛顿第三定律知： 木箱对地面压力为 FN′= FN =g
（小结）：
对于具有不同运动状态（加速度a不同）的连接体问题，如果不需要讨论系统内部受力情况，而只须求解物体系统外力时，对连接整体用物体（质点）系牛顿运动定律讨论往往会简化求解过程。当然，用隔离法依次讨论单个物体，分别列牛顿运动定律也可解决问题。

笔者认为隔离法与整体法，既不孤立也不对立，在复杂问题的求解中，随着研究对象或研究过程的转化，往往两种方法需要交替运用。所以两种方法的取舍，并无绝对的界限，必须具体分析、灵活运用。选取时应以尽可能避免或减少非待求量（即中间未知量）的出现，并简化运算为原则。
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