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力学中的整体法

一、整体法简介
整体法是指将相互关联的各个物体看作一个整体进行研究的方法。整体法只需要分析整个系统与外界的关系，避免了系统内部繁杂的相互作用的计算。
力学中可采用整体法解决的问题有：平衡问题、牛顿运动定律、动能定理和动量定理。应用整体法处理这些问题时，关键要抓住应用整体法的思路、公式。
二、应用举例
1、平衡中的整体法
主要用于求外界对系统的弹力和摩擦力的情形。
例1、如图1所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，斜面倾角为θ。质量为m
的光滑球B放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和
B都处于静止状态。求地面对A的支持力和摩擦力。

分析：地面对A的力均为外力，可取A、B系统为对象。
解：取A和B组成的系统为对象，受力如图。（F、Ff的存在需分析B的受力）
由平衡条件有：
FN = G总 =（M + m）g， Ff = F
取B为对象，受力如图。
由平衡条件有：
FAB cosθ= GB = mg， FAB sinθ= F
联立解得：FN =（M + m）g，Ff = mg tanθ。
练习1、如图2所示，A是倾角为θ、质量为M的斜面体，B是质量为m、截面为直角三角形的物块。B在一水平力F的推动下沿斜面匀速上升，A静止不动。下列说法正确的有（ ）
A、地面对A无摩擦力
B、B对A的压力大小为FNB = mgcosθ
C、A对地面的压力大小为FNA =（M + m）g
D、B对A的作用力大小为F
例2、用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图3所示。今对小球a持续施加一个向左偏下30º的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30º的同样大的恒力，最后达到平衡。表示平衡状态的图可能是（ ）

分析：以两球系统为对象，施加的外力的合力为零，平衡时上段细线必须竖直，且拉力等于两球的总重力，A正确。
小结：平衡问题的整体法，除系统内各部分相对静止外，也可适用于部分静止、部分匀速运动的情形。这类问题往往需要交替取整体和部分为研究对象进行受力分析。需要注意的是，当对象由整体变为部分时，原来的内力就变为外力需要分析了。
2、牛顿运动定律中的整体法
主要用于求系统内力和超失重等情形。
内容：系统所受的外力之和，等于系统内各部分的质量与加速度的乘积的矢量和。
公式：F合 = m1a1 + m2a2 + m3a3 + …
例3、如图4所示，质量为m的物块放在质量为M、倾角为θ的光滑斜面体上。现对斜面体施加一水平推力F，
使M和m一起运动。求F的值为多大？
分析：M和m的状态相同，可取整体为对象。
解：取M和m组成的系统为对象，受力如图。设加速度为a。
由牛顿第二定律有：
F =（M + m）a
取m为对象，受力如图。将G与FN合成为Fˊ。
由牛顿第二定律有：
Fˊ= mg tanθ= ma
联立解得：F =（M + m）g tanθ。
讨论：若M与m接触面粗糙，则对m作受力分析时可用正交分解法，利用最大静摩擦力来确定F的范围。
例4、一只小猫跳起来抓住悬在天花板上的竖直木杆，
如图5所示。在这个瞬间，悬绳断了。设木杆足够长，由
于小猫继续向上爬，小猫离地高度始终不变，则木杆以多
大的加速度下落？（杆和猫的质量分别为M、m）
分析：杆和猫的运动状态不同，取整体为对象。
解：设木杆的加速度为a1，猫的加速度为a2。
取杆和猫系统为对象，由牛顿第二定律有：
G总 =（M + m）g = M a1 + m a2
又 a2 = 0， ∴ a1 =（M + m）g / M 。
练习2、如图6所示，把盛水容器放在台秤的托
盘上，用固定在容器底部的细线使小木块悬浮在水中。
当剪断细线，木块加速上升时，台秤的读数将如何变
化？（木块浮出水面前）
练习3、如图7所示，在水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的物体A、B的质量均为m，它们到转动轴的距
离分别为rA、rB，A、B与盘面间的最大静摩擦力均
为自身的k倍。试求：
（1）当细线上出现张力时，盘的角速度及A所受的摩擦力；
（2）当A开始滑动时，盘的角速度及线的张力。
小结：当系统各部分的加速度相同时，交替选取系统和部分为对象，可以求系统的内力；加速度不同时，应用牛顿第二定律能快速方便地找到外力与加速度之间的关系，这种方法在处理超重、失重问题时尤其方便。
3、动能定理中的整体法
主要用于有内力做功（如摩擦生热、爆炸等）引起的动能变化的情形。
内容：系统动能的增量等于外力做功和内力做功的代数和。
公式：ΔEk = W内 + W外
例5、如图8所示，传送带与水平面之间的夹角θ=30º，其上A、B两点间的距离l=5m，传送带在电动机的带动下以v=1m/s的速度匀速转动。现将一质量为m=10kg的小物体（可视为质点）轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带间的动摩擦因数
μ=。求在传送带将小物体从A点传送到B
点的过程中，电动机做的功。（g取10m/s2）
分析：电动机做的功用来增加物体的机械能和发热。
解：对传送带和电动机系统，由动能定理有：
W－mgh－fΔs =mv2
对物块，加速度为：
a == g（μcosθ－sinθ）=2.5 m/s2
当其v = 1m/s时，t == 0.4 s，s == 0.2 m＜l
故Δs = vt－s = 0.2 m
联立解得：W = 270J。
小结：应用整体法处理动能定理问题时，关键是要确定内力所做的功。
4、动量定理中的整体法
主要用于外力的作用时间不同或系统内各部分速度不同时的情形，与牛顿运动定律的整体法殊途同归。
内容：系统所受的外力的冲量的矢量和，等于系统内各部分的动量变化量的矢量和。
公式：I合 =ΔP1 +ΔP2 +ΔP3 +…
例6、如图9所示，在光滑地面上静止一质量为M、长为l的小车，车的左端放一质量为m的小物体（可视为质点），物体与车之间的动摩擦因数为μ。现对m施加一水平向右的恒力
F，则m从车的左端滑倒右端所用的时间为多少？
分析：外力的冲量引起物体和车总动量的改变。
解：设时间为t，运动方向为正，此时小车速度为V，物体速度为v。
取小车和物体组成的系统为对象，由动量定理有：
Ft = MV + mv
对小车，由动量定理有：
μmg t = MV
又 l = V t－v t
联立解得：t = 。
小结：应用质点系的动量定理时，往往需要结合质点的动量定理联立求解。
三、整体法在物理解题中的地位
整体法其实就是对以部分为研究对象的综合，但整体法不关心内部之间的作用，对研究外部对系统的作用时非常方便，可作为一种补充方法介绍给学生，这对学生提高解决问题的能力有较大的帮助。