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中学数学建模在教学中的应用及价值

张竹宇 重庆涪陵第十六中学

摘要：数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。数学建模着重发展学生的实际应用能力，强调了学生在积极主动参与数学活动中对计算器和计算机等常用数学计算工具的熟练应用。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度和层次。本文将结合数学应用题的特点，从把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析的基础上，进一步探究摸索中学数学建模思想在实际教学中的应用及价值，希望得到同仁的帮助和指正。
关键词：中学数学建模 应用及价值 建模活动设计
正文：
当今的中学数学教育中，问题解决已经成为一个新的热点，在国际上，日本当前数学教育研究的两个中心问题，其中一个就是问题解决。二在美国的中学课程标准中，问题解决已经作为一切数学活动的组成部分，成为了数学课程的核心。彰显了问题解决在实际教学中的重要性。而数学建模（Mathematical Modeling）可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象侧重于再非数学领域中出现的，然而需要用数学工具来解决的问题。作为问题解决的一种模式，它更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程。数学模型是用于近似表达事物或其现象特征的一种数学结构，是用一组数学规则和定理来描述、刻画事物和现象的理论模型。而设计数学模型的过程称为数学建模。从广义的角度理解，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模型。而从狭义角度理解，只有那些反映了特定问题的数学结构才称为数学模型。例如，二元一次方程是鸡兔同笼问题的数学模型，一次函数是物理学中的匀速运动的数学模型等等。数学建模也称为数学的塑造艺术，“塑造艺术（modeling）”：《简明不列颠百科全书》中说“…塑造与雕刻相反，它是一种添加性工艺．它不同于雕刻之处在于在塑造过程中可以修正形象。” 一般地，数学建模的过程可用如下框图表示：

在国外的中学教育中，数学建模的引入和发展已经有着相当长的历史和成绩。早在1975年美国数学科学质询委员会就倡议把数学建模引入到中学课程中，并于1984年开始每年都会举行全国规模的数学建模竞赛。在我国，上海市于1991年起步中学数学知识应用竞赛，最多时参加人数达到4000余人。近年来，国内的不少数学教育期刊在近年都新开设了数学知识应用和数学建模的专栏（如《数学通报》和《中学生数学》）。在近几年的高考试题和各个地区的中考试题中，数学知识的应用题已成为稳定的出题内容。如08年重庆市中考试题中的第27题关于物资的分配运输问题就是建立在二元一次方程组、不等式、及一次函数等数学模型基础上的综合试题。很好的考验了学生的分析问题能力和应用数学模型解决问题的能力。
数学建模已经成为国际数学教育中稳定的内容和热点之一，相比之下国外的中学数学建模活动已经起步和发展，但在内容、形式、范围和课堂教学内容真正意义的结合上，还有不少问题有待探索和深入发展。为适应21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终，让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。如何在当前社会条件下，利用有限的教学资源在中学开展数学建模活动？从我个人的角度看，应当从如下的方面来对中学数学建模应用重新定位和思考。

（一）、关于数学建模的教与学活动设计的原则与思考
中学是学生小学到高中的过度时期，学生在期间即时掌握基础知识、基本技能的最佳时期，也是为今后发展创造条件的重要时期。针对学生在中学阶段的学习特征，数学建模的教学设计就更应该反映数学教育的素质发展和面向学生实施主体教育方式的教学课改方向。具体来说应该强调出以下的原则：
（1）：着重发展学生的数学能力，特别是数学应用的能力。其中包括计算、推理、空间想象能力、辨明关系、形式转化、使用计算机、查阅文献、能惊醒口头和书面的分析和交流等能力的培养。
（2）：把强调学生在教学活动中的积极主动参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。鼓励学生有创造性的想法和做法。
在设计数学建模活动时，应该注意以下几点：

1、 结合学生的实际水平，分层次逐步推进。

数学建模对教师和对学生都会有一个逐步的学习和适应过程。教师在设计数学建模活动时，特别是应该考虑学生的实际能力和水平，起点要低，形式应该有利于更多的学生参与。如果在实际的数学建模活动中参与的都是比较优秀的学生，这不便于推广数学建模，更不是我们教学的初衷。而是通过有趣的、丰富的、生动的数学建模活动来激发中差生的学习兴趣，锻炼优等学生的数学分析能力。可以在讲解知识的同事有意识地介绍知识的应用背景。在应用的重点环节有比较多的准备和训练，如实际语言和代数语言（用字母表示某种量，用代数式表示某些条件和结果）的相互转化，列方程和列不等式解应用题等。然后逐步到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果，描述一些实际现象，模仿例题解决一些比较简单的实际应用题，然后再发展到能独立解决教师提供的数学应用和建模问题，最后使少数学生发展成为能独立发现、提出一些实际问题、并能用数学建模的方式解决和部分解决问题的能力。

2、 注意结合正常教学的教材内容。

数学应用和建模应该与在实际教学中的教材内容息息相关并更加系统的结合起来。在中学开展数学建模活动其最终目的是为了更好的实施对学生的主体教育模式。教师要通过活动的指导引导学生了解知识的功能，在实际生活中的作用，了解数学应用、数学建模与学生实现所学知识的“切入点”，引导学生在学中用，在用中学。“切入”是指教师把一些较小的数学应用和数学建模的问题，通过把问题解决的过程分解后，放到正常的教学局部环节中去。比如在新知识的引入，复习课时，可以用以点时间穿插介绍一个数学应用或数学建模的问题，让学生在课堂上通过讨论完成“问题数学化“的过程（如建立起相应的方程或是不等式），而把问题的具体求解过程留到课外学生自己去完成。对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。
比如在中学数学中函数建模为例：
函数建模类型 实际问题
一次函数 成本、利润、销售收入等
二次函数 优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等

3、 注意应用与数学建模的“活动性”。

数学应用于数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充更多的数学课外知识，也不是仅仅为了解决一些具体问题。而是要培养学生的应用意识、提高数学能力和数学素质。所以在实际的活动实施中不要把活动变成老师讲题、学生模仿练习的老路上去。应该用丰富的活动内容调动学生的学习积极性。建模活动应该从实际的生活出发，强化应用意识。日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识、建立初等数学模型，加以解决。只有真正做到数学应用和数学建模活动来源于生活，应用于生活，才能更好的体现数学建模的“活动性”，才能更好的发挥数学建模在教学中的应用和价值。

二、课外的数学应用与数学建模活动设计

在数学建模活动中，常常可用通过教师为学生创设的问题环境，让学生在解决问题的过程中学数学，用数学，从而培养、提高学生的观察能力、创造能力和良好的思维品质。问题环境设计包括了问题的引入方式、利用方式、预计解决方式、连锁引发新问题的方式等。如何设计好问题环境是教师进行问题解决教学设计的重点和难点。
初中生兴趣广泛、好动。利用这一特点，我们可用把应用和建模的内容做得活动性更强更丰富一些。问题的设计也可以更开放一些，这样才能让学生有更多施展才华的机会，特别是一些数学成绩不是很好的学生在活动中常常可以扬长避短，往往会做出很好的结果。教师在对这些学生的鼓励中可以很 好的激发他们的学习兴趣。活动也可以以个人或是小组为单位，在教师的参与和指导下，用课外定时完成作业，成果展示交流，数据与结果的报告，现场比赛动手分析能力等形式进行。
下面提供一些可供参考的活动素材：
1.用尺规画一个跳棋的棋盘。
2.调查某商店各种尺码的鞋子的不同进货量和相应的销售量。体验人群中脚的大小分布，利用所得到的数据画出一个各个尺码的频数分布图，用以指导商店今后的进货。
3.观察城市的汽车牌照，有牌照的号码设计来估计本城市汽车的最大容量。
4.调查出租车的使用情况，来估算出租车的盈利问题。
5.尽可能的选择比较多的方法测量学校或是某座高楼建筑物的高。
6.生活中一些成卷物品如磁带、纸卷、毛线团等，有什么方法测量或计算它们的长度。
7.装修中的图案镶嵌问题。
8.设计方案测量未出旅行时乘坐的汽车或是火车的行驶速度。
9.分配物资以便节约资金的方案设计问题。
10.调查银行现行的利率设计一种存款方式，使得到期获得的利息较多。

三、挖掘数学应用和数学建模活动的教育功能

数学应用和数学建模的活动不仅是学生学习、了解数学知识的实际应用的认识活动和实践过程，也是一个培养学生的数学观念、科学态度、合作精神的过程。在数学应用和数学建模的活动设计中，教师应该特别注意其教育功能。通过应用和建模活动来激发学生学习动机和兴趣，培养学生的注意力、意志力和认真求实、崇尚科学、追求完美、讲求效率、联系实际的学习态度和学习习惯。

1、 从“低“做起，面向全体
建模活动的起点要比较“低“，这样才能使比较多的学生参与。不难想象，学生在活动中的收获与他们的能力和投入的程度有很大的关系教师应该特别注意鼓励”特困生“的参与。

2、 开发原因和建模活动的德育功能
建模活动往往对学生也有较好的德育功能。每到学生初三我都会带领一些学生到涪陵高炮三团进行参观，进行一次实地的弹道射击理论学习。学生通过了解高炮的构成和射击原理，不但激发了学生学习数学的兴趣，也大大的激发了学生爱国情操。通过不同形式的数学建模活动，也可以培养学生体会到数学素养是一种从事各项工作都需要的文化素养、思维素养。

3、 扬长避短、发展个性、培养特长
对学生的教育宗旨就是让每个学生都能在学习中全面发展，但事实上，学生的个人条件、家庭环境、兴趣、爱好、学校、教师和班级都会学生的发展有着各种各样的作用。当今的社会不仅需要的是全面发展的“通才”更需要在某一方面的“特才”。需要人们又更多的人格独立性和创造性。数学应用和数学建模时学生学习中扬长避短的良好调节剂。好的学科教育不仅能给学生学科的知识和技能，而且应使学生学会思考、学会追求、学会做人。利用数学建模活动对学生学会去从多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力都是很有益的，它是提高学生素质，进行素质教育的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力的培养，是实施素质教育所必须的，需要引起教育工作者的足够重视。
参考文献：

《简明不列颠百科全书》7卷，547页 1985年出版

《数学应用的讨论》 郑列主编 数学通报1996年第6期

《数学建模案例分析》 白其铮主编 北京海洋出版社 2000年出版

《数学建模的理论与实践》 成礼智编著 国防科技大学出版社1999年出版

《数学建模导论》 陈理荣主编 北京邮电大学出版社1999年出版

2009年11月25日完稿