海淀区高三年级第二学期期中练习.doc

海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （理科） 2014.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点的坐标为
A. B. C. D
3.下列函数图象中，满足的只可能是
x
y
O
x
y
O
1
x
y
O
x
y
O

A B C D
4.已知直线的参数方程为(为参数)，则直线的普通方程为
A. B. C. D.
5.在数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有
A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种

7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为
A.1 B.2 C.3 D.4
8. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点.记曲线关于曲线的关联点的个数为，则
A． B． C． D．

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.

10. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_______.

C
O
B
A

11.如图，切圆于，，，则的长为_______．

12. 已知圆与抛物线的准线相切，则_______．

13.如图，已知中，，，，则_____________.

14.已知向量序列：满足如下条件：
，且（）.
若，则________；中第_____项最小.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数，过两点的直线的斜率记为.
（Ⅰ）求的值；
（II）写出函数的解析式，求在上的取值范围.

16. （本小题满分13分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：
甲公司某员工A

乙公司某员工B
3
9
6
5
8
3
3
2
3
4
6
6
6
7
7

0
1
4
4
2
2
2

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

17. （本小题满分14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示.
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A–DC –B的余弦值．
E
B
C
A
D
F
（Ⅲ）在线段上是否存在点使得平面？若存在,请指明点的位置；若不存在，请说明理由.

18. （本小题满分13分）
已知曲线.
(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；
(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.

19. （本小题满分14分）
已知是椭圆上两点，点M的坐标为.
（Ⅰ）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；
（Ⅱ）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形.

20. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，
则称与互为正交点列.
（Ⅰ）求：的正交点列；
（Ⅱ）判断：是否存在正交点列？并说明理由；
（Ⅲ）N，是否都存在无正交点列的有序整点列？并证明你的结论.

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数 学 （理科） 2014.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 96 10. 11. 2 12. 13. 14. 9；3 (本题第一空3分，第二空2分)
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15．解：
（Ⅰ） ---------------------------2分
------------------------------3分
. -------------------------------5分
（Ⅱ） ------------------------------6分
-------------7分
------------------------------8分
------------------------------10分
因为，所以， ------------------------------11分
所以 ， -----------------------------12分
所以在上的取值范围是 -----------------------------13分
16.解：
（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分
（Ⅱ）设为乙公司员工B投递件数，则
当=34时，=136元，当>35时，元，
的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分
{说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}
的分布列为：

136
147
154
189
203

--------------------------------------9分
{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

--------------------------------------11分
（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. --------13分
17．（Ⅰ）因为平面平面，交线为，
又在中，于，平面
所以平面 . --------------------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论平面可得.
由题意可知，又.
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
--------------------------4分
不妨设，则.
由图1条件计算得，，，
则-------5分
.
由平面可知平面DCB的法向量为. -----------------------------------6分
设平面的法向量为，则
即
令，则，所以.------------------------------------8分
平面DCB的法向量为
所以，
所以二面角的余弦值为 ------------------------------9分
（Ⅲ）设，其中.
由于，
所以，其中 --------------------------10分
所以 --------------------------11分
由，即 ---------------------------12分
解得. -----------------------------13分
所以在线段上存在点使，且.-------------14分
18．解
（Ⅰ）， ---------------------2分
因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，
所以且. ----------------------------------4分
解得， -----------------------------------5分
（Ⅱ）法1：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
∀x,，都有，
即∀x,R，恒成立， --------------------------------------6分
令， ----7分
①若a=0，则，
所以实数b的取值范围是； ----------------------------------------8分
②若,，
由得， ----------------------------------------9分
的情况如下：

0

0
+

极小值

------------------------------11分
所以的最小值为， -------------------------------------------12分
所以实数b的取值范围是；
综上，实数b的取值范围是． --------------------------------------13分
法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
∀x,，都有，即
∀x,R，恒成立， -------------------------------------------6分
令，则等价于∀，恒成立，
令，则 ， -----------------------------------------7分
由得， ----------------------------------------9分
的情况如下：

0

0
+

极小值

-----------------------------------------11分
所以 的最小值为， ------------------------------------------12分
实数b的取值范围是． --------------------------------------------13分
19．解：
（Ⅰ） 设,， ---------------------------------------1分
因为为等边三角形，所以. ---------------------------------2分
又点在椭圆上，
所以 消去， -----------------------------------------3分
得到 ，解得或，------------------4分
当时，；
当时，. -----------------------------------------5分
{说明：若少一种情况扣2分}
（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线斜率存在.
设直线:，，，中点为，
联立 消去得， ------------------6分
由得到 ① ----------------------------7分
所以,
， ----------------------------8分
所以，又
如果为等边三角形则有， --------------------------9分
所以， 即， ------------------------------10分
化简，② ------------------------------11分
由②得，代入① 得，
化简得 ，不成立， -------------------------------------13分
{此步化简成或或都给分}
故不能为等边三角形. -------------------------14分
法2：设，则，且，
所以 ，----------------8分
设，同理可得，且 -----------------9分
因为在上单调
所以，有， ---------------------------------11分
因为不关于轴对称，所以.
所以， ---------------------------------13分
所以不可能为等边三角形. ----------------------------14分
20.解：
（Ⅰ）设点列的正交点列是,
由正交点列的定义可知,设，
，，
由正交点列的定义可知 ,,
即 解得
所以点列的正交点列是.------3分
（Ⅱ）由题可得 ，
设点列是点列的正交点列，
则可设,
因为相同，所以有

因为，方程（2）显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列；---------------8分
（Ⅲ），都存在整点列无正交点列. -------------------------9分
，设其中是一对互质整数，
若有序整点列 是点列正交点列,
则，
则有
①当为偶数时，取.
由于是整点列，所以有，.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列无正交点列；
②当为奇数时，
取,,
由于是整点列，所以有，.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列无正交点列.
综上所述，，都不存在无正交点列的有序整数点列----------13分

12