初三数学培优——判别式根与系数关系.doc

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1，对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，代数式b２－4ac叫做根的判别式，用“△＝b２－4ac”表示．写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为一般形式，凡不是一般形式的一元二次方程，都应当通过去括号、移项、合并等步骤化为一般形式.
任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。
　　①　当 时，方程有两个不相等的实数根。
　　即
　　②　当 时，方程有两个相等的实数根，即 。
　　③　当 时，方程没有实数根。
判别式的作用是可以由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是：
2.由方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 x1,2＝ (b2－4ac≥0)
不难得到 x1＋x2＝－ , x1·x2＝ . 这就是一元二次方程的根与系数关系(韦达定理).
　　在学习和应用上述定理时要注意以下几点:
1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，
在运用时需先将一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0);
2.运用韦达定理的前提是方程有实数根；
3.韦达定理不仅可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);
4.要防止出现x1＋x2＝这样的错误.
典型例题
例1 m取什么值时，方程3x２－2(3m－1)x＋3m２－1＝0
　　　　(1)有两个不相等的实数根?
　　　　(2)有两个相等的实数根?
　　　　(3)没有实数根?

例2 已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值．

例3 当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根?

例4 判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况．

例5当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?

例6 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
分析 这是一道代数、几何知识的综合题，解题前应当明确：
(1) 从条件知，问题与判别式有关，又因原方程不是标准形式，所以必须先将方程
化为标准形式；
(2) 判断△ABC的形状常从边，或角的方面去考虑，从题设条件可知，本题应从边的关系去判断．

例7 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)中，b＞0,c＜0,则( ).
(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根
(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大

例8 如果2＋是方程x2－4x＋c＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c的值.

例9 设x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,不解方程,求的值.

这类题是常见题,解题的规律是通过恒等变形把原代数式化为用二次方程两根和与积表示的代数式.如: x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2; ;
;
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2;(x1＋m)(x2＋m)＝ x1x2＋m·(x1＋x2)＋m2……等等.
但不是任何一个代数式都能用两个根的和与积表示的,如x13＋x22.
例10 k为何值时,方程x2－(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.

例11 已知a、b是方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个实数根,且a2＋b2＝1,求m的值.

例12 已知a2＋a－1＝0,b2＋b－1＝0(a≠b). 求a2b＋ab2的值.

巩固练习
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程2x(mx－4)－x２＋6＝0没有实数根，则m的最小整数值是（ ）
(A)－1 (B)2 (C)3 (D)4
2．已知方程x２－px＋m＝0(m≠0)有两个相等的实数根，则方程x２＋px－m＝0的根的
情况是 （ ）
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)没有实数根 (D)不能确定有无实数根
3．在下面方程中: ①2x２－mx－1＝0；②x２－2mx＋2m２＝0;③4x２＋(m－1)x －m＝0．
无论m取任何实数根都永远有两个实数根的方程的个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
4．如果方程2x2＋kx－6＝0一个根是－3，另一根是x,则（ ）
(A)x1＝1,k＝4 (B)x1＝－1,k＝8 (C)x2＝2,k＝1 (D)x2＝－2,k＝5
5.以 和－为根的一元二次方程是（ ）
(A)15x2＋16x－1＝0 (B) 15x2－16x＋15＝0
(C)15x2＋16x－15＝0 (D) 15x2－16x－15＝0
6.已知一元二次方程的两根之和是，两根的倒数和是－，这个一元二次方程是
(A）x2－x－＝0 (B) x2－x－＝0
(C) x2＋x＋＝0 (D) x2＋x－＝0
7.不解方程，判断x2＋x＋1＝0根的情况是（ ）
（A）有一正根一负根 （B）有两个正根 （C）有两个负根 （D）没有实数根
8．一元二次方程x2－x＋1＝0的根的情况是（ ）
(A)两实数根的和等于两实数根的积
(B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
9．若方程x2－(k2－7)x＝1的两根之和是2，则实数k的值是（ ）
（A）± (B)± (C) ±3 (D) ±2
二、填空题
1．不解方程,判断4x２－4＋3＝0的根的情况是______________________.
2．不解方程,判断y２－（＋ ）y＋2＋＝0的根的情况是___________________.
3.不解方程,判断x2－x－x＋2＝0的根的情况是.
4.当m______时,方程3ｘ２－2（3m＋１）x＋３m２＋1＝０没有实数根．
5.当m_____ 时，方程(m－1)x2＋2(m－7)x＋2m＋2＝0有两个相等的实数根.
6.若关于x的一元二次方程2kx2＋(8k＋1)x＝－8k有两个实数根，则k的取值范围是_____
7.已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,则＋＝ ，
x12＋ x22＝ ,(x1－5)·(x2－5)＝ .
8.以2＋、2－为两根的一元二次方程是 .
9.已知关于x的方程6x2＋2x＋a＝0的一根比另一根大2,则a＝ .
10.已知关于x的方程4x2－9x＋3(k－1)＝0,当k 时,方程有一根为零,
当k 时,方程的两实数根互为倒数.
三、解答题
1．m为何值时，方程mx2－3x＋2＝0没有实数根．

2．试判别一元二次方程x2＋2x＋m＝0的根的情况．

3．求证：对于任何实数m，关于x的二次方程x2－(m＋1)x＋(m－1)＝0总有两个不
　相等的实数根．

4．已知a、b、c是△ABC的三边，且一元二次方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋(a－b)＝0
　　有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．

5．已知方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两实数根的平方和为，求k的值.

6．已知直角三角形ABC中，斜边上的中线长为，两条直角边的长分别是方程
2x2－2mx＋m＋3＝0的两根，求m的值和直角三角形ABC的面积.