高考数列问题研究.doc

高考数列问题研究
一、数列高频考点
数列的概念，数列的通项，数列性质，数列求和。
二、数列高频考点考查方法研究
1．以小题或解答题的第一小问考查概念、通项、性质、求和以及等基本量求解
例1：（1）（2011年湖南理第12题）设是等差数列的前项和，且，，则____________。

（2）（2012年大纲全国卷）已知数列的前项和为，，，,则
A． B。 C。 D。
B

（3）（2012年浙江卷）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
C　[解析] 本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．
法一：特值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不恒成立．
法二：由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，根据二次函数的图象与性质知当d<0时，数列{Sn}有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列{Sn}是递增数列，那么d>0但对任意的n∈N*，Sn>0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.
[点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据．

（4）（2012年陕西）
设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.
（Ⅰ）求数列的公比；
设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，
由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝ a1q4＋a1q3，
由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.

2．以中档解答题考查等差数列、等比数列的通项、性质与求和。有的侧重于基本量计算，有的侧重于推理与证明。
例2：(1)（2012·湖北卷）已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，
Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足此式．
综上，Sn＝

（2）（2012·湖南卷）已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….
(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．

解：(1)对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.
故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列．
于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
(2)①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是
＝＝＝q，
＝＝＝q，
即＝＝q.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．
②充分性：若对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则
B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．
于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.
由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，
从而an＋2－qan＋1＝0.
因为an＞0，所以＝＝q.
故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．

（3）（2012年广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
（I）求a1的值；
（II）求数列{an}的通项公式；
（III）证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：(1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列，
∴2(a2＋5)＝a1＋a3.
又∵2a1＝2S1＝a2－22＋1,2(a1＋a2)＝2S2＝a3－23＋1，
∴a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.
因此4a1＋16＝7a1＋13，从而
a1＝1.
(2)由题设条件知，n≥2时，
2Sn－1＝an－2n＋1，
2Sn＝an＋1－2n＋1＋1.
∴2an＝an＋1－an－2n，于是
an＋1＝3an＋2n(n≥2)．
而由(1)知，a2＝2a1＋3＝5＝3a1＋2，
因此对一切正整数n，有an＋1＝3an＋2n，
所以an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)．
又∵a1＋21＝3，
∴{an＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．
故an＋2n＝3n，即an＝3n－2n.
(3)∵an＝3n－2n＝3·3n－1－2n＝3n－1＋2(3n－1－2n－1)≥3n－1，
∴≤.
∴＋＋…＋≤1＋＋＋…＋＝<.

3．以应用题考查应用意识，建立数列模型，考查的落脚点是数列的概念、性质与求和。
例3：（2012年湖南文科）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（I）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；
（II）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
解：（Ⅰ）由题意得，
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
整理得　.
由题意，
解得.
故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元.
本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.
4．与函数、方程、不等式结合考查数列的函数性（单调性、最值等）、数列不等式的证明、数学归纳法的应用。侧重于数列函数性的考查。考查学生对数学知识的迁移与运用能力。
例4：（2010年湖南理21题）数列中，，是函数的极小值点。
（Ⅰ）当时，求通项；